Olympiades de mathématiques TCS – 2025 – Test 1

Trouver tous les couples $(x,y)$ d’entiers relatifs vérifiant : $$x^2(y-1) + y^2(x-1)=1$$

Le code de sécurité du smartphone d’Ahmed est formé par une liste de dix chiffres. Ahmed a oublié deux chiffres de son code, indiqués par $a$ et $b$ dans le tableau ci-dessous :

Heureusement, il se rappelle que les chiffres de son code forment un nombre divisible par $99$.
Aider Ahmed à retrouver son code.

Soient $A$ et $B$ deux points distincts d’un cercle $(\Gamma)$. Les tangentes à $(\Gamma)$ en $A$ et $B$ se coupent au point $E$.
Soit $M$ le milieu du segment $[BE]$.
La droite $(AM)$ recoupe $(\Gamma)$ en $C$ et la droite $(EC)$ le recoupe en $D$.
Montrer que les droites $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles.

Dans chacune des cases d’un tableau carré $6 \times 6$, on inscrit l’un des nombres suivants : $0;1;−1$ tels que la valeur absolue de la somme des nombres inscrits dans toutes ses cases soit inférieure ou égale à $12$.
Prouver que le tableau ainsi obtenu contient un carré $3 \times 3$ dont la valeur absolue de la somme de tous les nombres inscrits dans ses cases est inférieure ou égale à $3$.