Exercices : Vecteurs et translation – 3ac

Soit $ABC$ un triangle.

1. Construire le point $M$ tel que : $\overrightarrow {AM}= \overrightarrow {BC} $.
2. Construire le point $N$ tel que : $\overrightarrow {AN}= \overrightarrow {CB} $.
3. Montrer que $A$ est le milieu du segment du segment $[MN]$.

Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$.

1. Construire le point $N$ tel que : $\overrightarrow {AO}= \overrightarrow {BN} $.
2. Montrer que $ONCD$ est un parallélogramme.

Soient $ABCD$ un parallélogramme, et $I$ le milieu du segment $[BC]$.

1. Construire $E$ le symétrique de $A$ par rapport à $I$.
2. Construire $J$ le le milieu de $[BE]$.
3. Construire $F$ le symétrique de $A$ par rapport à $J$.
4. Montrer que : $\overrightarrow {DC}=\overrightarrow {CE}=\overrightarrow {EF}$.

Soit $ABCD$ un parallélogramme.

1. Construire les points $M$ et $N$ tels que :
   $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ~~~~\text{et}~~~~ \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD}$
2. Montrer que : $\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {MN}$.

Soit $ABC$ un triangle, et $I$ le milieu du segment $[BC]$.

1. Construire les points $D$ tel que :
   $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {IB}$.
2. Montrer que : $\overrightarrow {DB}=\overrightarrow {AI}$.

Simplifier les vecteurs suivants :

1. $\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {FG}$
2. $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CA} – \overrightarrow {CB}$
3. $\overrightarrow {FE} – \overrightarrow {GE} – \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {GH} + \overrightarrow {GF}$
4. $\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} – \overrightarrow {EA} – \overrightarrow {BC}$

Soit $ABC$ un triangle.

1. Construire les points $E$ et $F$ tels que : $\overrightarrow {AE} = 2\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AF} = 2\overrightarrow {AC}$.
2. Montrer que : $\overrightarrow {BE}=\overrightarrow {AB}$.
3. Montrer que : $\overrightarrow {EF}=2\overrightarrow {AB}$.

Soit $ABC$ un triangle.

1. Construire les points $M$ et $N$ tels que :
   $\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {CN} = -2\overrightarrow {CA}$.
2. Montrer que : $\overrightarrow {AN}=3\overrightarrow {AC}$.
3. Montrer que : $\overrightarrow {MN}=3\overrightarrow {BC}$.
4. En déduire que : $(MN)\parallel (BC)$.

Soit $ABCD$ un parallélogramme.

1. Construire les points $E$ et $F$ tels que :
   $\overrightarrow {AE} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD}$ et $\overrightarrow {EF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BA}$.
2. Montrer que les points $A$, $C$ et $F$ sont alignés.

Soit $ABC$ un triangle, $I$, $J$ et $K$ trois points tels que :
$$\overrightarrow {BI} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {BC}
~~;~~
\overrightarrow {CJ} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {CA}
~~;~~
\overrightarrow {AK} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {AB} $$

1. Construire les points $I$, $J$ et $K$.
2. Montrer que : $\overrightarrow {IJ} = – \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} – \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} $
3. Montrer que : $\overrightarrow {JK} = – \dfrac{2}{5}\overrightarrow {BC} – \dfrac{4}{{15}}\overrightarrow {AC}$
4. En déduire que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.

Soit $ABCD$ un parallélogramme.

1. Construire $E$ l’image de $A$ par la translation qui transforme $B$ en $D$.
2. Construire $F$ l’image de $B$ par la translation qui transforme $A$ en $C$.
3. Montrer que $E$ est l’image de $D$ par la translation qui transforme $C$ en $D$.
4. Montrer que $F$ est l’image de $C$ par la translation qui transforme $D$ en $C$.
5. En déduire que : $\overrightarrow {ED} = \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CF} $ et $\overrightarrow {EF} \,\, = \,\,3\overrightarrow {AB} $

Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$.

1. Construire $E$ l’image de $D$ par la translation du vecteur $\overrightarrow {AC}$.
2. Construire $F$ le symétrique de $D$ par rapport à $A$.
3. Montrer que $O$ est le milieu du segment $[EF]$.

Soit $EFGH$ un carré tel que $EF=3cm$.

1. Construire $A$ l’image de $F$ par la translation du vecteur $\overrightarrow {EG}$.
2. Construire $B$ l’image de $H$ par la translation du vecteur $\overrightarrow {EG}$.
3. Déterminer la distance $AB$.

Soient $ABC$ un triangle et $[AH]$ sa hauteur.

1. Construire $B’$ et $C’$ les images respectives de $B$ et $C$ par la translation du vecteur $\overrightarrow {AH}$.
2. Déterminer l’image de la droite $(BC)$ par la translation du vecteur $\overrightarrow {AH}$.
3. Montrer que $\left( {AH} \right) \bot \left( {B’C’} \right)$.

Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$.

1. Construire $E$ l’image de $A$ par la translation du vecteur $\overrightarrow {OD}$.
2. Construire $F$ l’image de $C$ par la translation du vecteur $\overrightarrow {OD}$.
3. Montrer que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés.

Soient $ABC$ un triangle rectangle $A$, et $E$ un point du segment $[BC]$.

1. Construire $B’$ et $C’$ les images respectives de $B$ et $C$ par la translation du vecteur $\overrightarrow {AE}$.
2. Montrer que le triangle $EB’C’$ est rectangle.
3. Montrer que $(BC)\parallel(B’C’)$.

Soient $O$ et $O’$ deux points du plan, soit le cercle $(\mathscr{C})$ de centre $O$ et de rayon $r=\dfrac{1}{4}OO’$.

1. Construire $(\mathscr{C}’)$ l’image du cercle $(\mathscr{C})$ par la translation du vecteur $\overrightarrow {OO’}$.
2. Soient $E$ un point de $(\mathscr{C})$ et $E’$ un point du plan tel que $OEE’O’$ est un parallélogramme. Montrer que le point $E’$ appartient au cercle $(\mathscr{C}’)$.