Exercices : Trigonométrie – 3ac

$ABC$ un triangle tels que : $AB=3cm$, $AC=4cm$ et $BC=5cm$.

1. Quelle est la nature du triangle $ABC$? Justifier.
2. Calculer les rapports trigonométriques de l’angle $\widehat{ACB}$.

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tels que : $AC=4$ et $\sin \widehat{ABC}=0,625$.

1. Calculer $BC$.
2. Calculer $AB$.

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tels que : $AC=3$ et $\tan \widehat{ABC}=0,75$.

1. Calculer $AB$.
2. Calculer $BC$.

$\alpha$ est la mesure d’un angle aigu.

1. Sachant que : $\cos\alpha=0,2$, calculer : $\sin\alpha$ et $\tan\alpha$.
2. Sachant que : $\tan\alpha=\sqrt{15}$, calculer : $\cos\alpha$ et $\sin\alpha$.

Simplifier les expressions suivantes tel que $\alpha$ est la mesure d’un angle aigu.

1. $A = {\left( \sin \alpha + \cos \alpha \right)^2} + {\left( \sin \alpha – \cos \alpha \right)^2}$
2. $B = {\cos^2}\alpha + 2{\sin^2}\alpha – 1$
3. $C = {\cos^4}\alpha + 2{\cos^2}\alpha \cdot {\sin^2}\alpha + {\sin^4}\alpha$
4. $D = \dfrac{1}{1 + \sin \alpha} + \dfrac{1}{1 – \sin \alpha} – \dfrac{2}{\cos^2 \alpha}$
5. $E = \sqrt{\cos \alpha + 1} \times \sqrt{1 – \cos \alpha} \times \dfrac{1}{\sin \alpha}$
6. $F = \dfrac{{\cos^4 \alpha} – {\sin^4 \alpha}}{{\cos^2 \alpha} – {\sin^2 \alpha}}$

$\alpha$ est la mesure d’un angle aigu.

1. Montrer que : $\cos^2 \alpha = \dfrac{1}{1 + \tan^2 \alpha}$
2. Montrer que : $\sin^2 \alpha = \dfrac{\tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$
3. Sachant que : $\tan \alpha = 4\sqrt{3}$, calculer : $\sin \alpha$ et $\cos \alpha$.

1. Avec la calculatrice, calculer $\sin 30^\circ$.
2. En déduire $\cos 30^\circ$ et $\tan 30^\circ$.
3. En déduire les rapports trigonométriques de l’angle $60^\circ$.

Simplifier les expressions suivantes :
$$
\begin{aligned}
A &= \cos 25^\circ + \cos 70^\circ – \sin 65^\circ + \sin 20^\circ \\
B &= \sin 80^\circ + 7{\sin^2 50^\circ} – \cos 10^\circ + 7{\sin^2 40^\circ}
\end{aligned}$$