Exercices : Suites numériques – 2Bac Sc. Maths

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2 \\ u_{n+1}=u_{n}+\arccos \left(\dfrac{1}{u_{n}}\right)\end{array}\right.$

1. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}):\,\, u_{n}>1.$
2. Etudier le sens de variation de $\left(u_{n}\right).$
3. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}):\,\, u_{n}>n \dfrac{\pi}{3}+2$.
4. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n’est pas majorée.

Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par : $\displaystyle u_{n}=\prod_{k=1}^{n} \cos \left(\dfrac{\alpha}{2^{k}}\right)$

1. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et minorée et déduire qu’elle est convergente.
2. Montrer que $(\forall n \geq 1):\,\, u_{n}=\dfrac{\sin (\alpha)}{2^{n} \sin \left(\dfrac{\alpha}{2^{n}}\right)}$ et en déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right).$

Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par : $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=\dfrac{n+u_{n}}{n^{2}}\end{array}\right.$

1. Montrer que $(\forall n \geq 1): u_{n} \leq 2$. En déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite $\ell.$
2. Montrer que $(\forall n \geq 2): \dfrac{1}{n-1} \leq u_{n} \leq \dfrac{n+1}{(n-1)^{2}}$. En déduire $\lim \left(n u_{n}\right).$
3. On veut étudier la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$.
   1. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)_{n \geq 2}$ définie par $v_{n}=\dfrac{n}{n^{2}-1}$ est décroissante.
   2. Montrer que pour tout $n \geq 2$, on a $u_{n} \geq v_{n}$.
   3. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 2}$ est décroissante .

Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}u_{1}=2 \\ u_{n+1}=\dfrac{(n+2) u_{n}+2\left(n^{2}+n-1\right)}{(n+1)^{2}}\end{array}\right.$

1. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
2. Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite $\ell.$
3. Calculer $u_{n+1}-\ell$ en fonction de $u_{n}-\ell$. En déduire $u_{n}$ en fonction de $n.$

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2 \\ u_{n+1}=2 \sqrt[3]{u_{n}}+\dfrac{1}{n+1}\end{array}\right.$

1. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}): u_{n}>1.$
2. Etudier le sens de variation de $\left(u_{n}\right).$
3. Montrer que $\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)$ est convergente et donner sa limite.

Soit $\theta \in\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right[$, pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose $u_{n}=2^{n} \sin \left(\dfrac{\theta}{2^{n}}\right)$ et $v_{n}=2^{n} \tan \left(\dfrac{\theta}{2^{n}}\right).$
Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes et déterminer leur limite commune.

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $0 < a < b$. On considère les deux suites $\left(a_{n}\right)_{n \ge 0}$ et $\left(b_{n}\right)_{n \ge 0}$ définies par :
$$\left\{\begin{aligned}& a_{0}=a,\,\,\, b_{0}=b\\ & a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)\end{aligned}\right.\,\,\,\text { et }\,\,\, b_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)}$$

1. Montrer que les suites $\left(a_{n}\right)_{n \ge 0}$ et $\left(b_{n}\right)_{n \ge 0}$ sont convergentes et ont la même limite.
2. Montrer que pour tout $n \geq 0 :$ $$0 \leq b_{n+1}-a_{n+1} \leq \dfrac{1}{8 a}\left(b_{n}-a_{n}\right)^{2}.$$
3. En déduire que pour tout $n \geq 0:$  $$0 \leq b_{n}-a_{n} \leq 8 a\left(\dfrac{b-a}{8 a}\right)^{2^{n}}.$$

Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par : $$\left\{\begin{array}{l}u_{0}=1 \\ u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{u_{n}}\end{array}\right.$$

1. Montrer que $(\forall n \geq 0): u_{n} \geq 1.$
2. Etudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right).$
3. Montrer que $(\forall n \geq 1)$ : $2 \leq u_{n}^{2}-u_{n-1}^{2} \leq 2+u_{n}-u_{n-1}$ et $2 n \leq u_{n}^{2}-1 \leq 2 n+u_{n}-1.$
4. En déduire la divergence de la suite $\left(u_{n}\right).$
   en déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite $l.$
5. Montrer que $(\forall n \geq 0): 1-\dfrac{1}{u_{n}} \leq \dfrac{2 n}{u_{n}^{2}} \leq 1-\dfrac{1}{u_{n}^{2}}$. En déduire $\lim \left(\dfrac{1}{\sqrt{2 n}} u_{n}\right).$

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$par : $f_{n}(x)=3 x^{n}-x-1$

1. Montrer que $f_{n}$ est croissante sur $\left[\sqrt[n-1]{\dfrac{1}{3 n}},+\infty\right[$ et décroissante sur $\left[0, \sqrt[n-1]{\dfrac{1}{3 n}}\right],$ puis poser le tableau de variation de $f_{n}$.
2. Montrer que l’équation $f_{n}(x)=0$ admet une solution unique $u_{n}$ dans l’intervalle $[0,+\infty[$.
3. Calculer $f_{n}(1)$, en déduire que $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right):\,\,$ $0 < u_{n} < 1$.
   1. Montrer que : $(\forall x \in] 0,1[):\,\, f_{n+1}(x) < f_{n}(x)$
   2. Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est croissante, en déduire qu’elle est convergente.
4. On pose $\lim u_{n}=\ell$
   1. Montrer que: $0 \leq \ell \leq 1$
   2. Montrer que: $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right): u_{n} \leq l$ (penser au raisonnement par absurde)
   3. Montrer que : $\ell=1.$  (penser au raisonnement par absurde encore)

On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $\left\{
\begin{array}{l}
u_{0} \in\ \left]0,1\right[\\
u_{n+1}=u_{n}-u_{n}^{2}
\end{array}\right.$
Et on pose $v_{n}=n u_{n}$

1. 1. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}):\,\,  0 < u_{n} < \dfrac{1}{n+1}$.
   2. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est croissante.
2. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ converge vers un réel $\lambda$ tel que $0<\lambda \leq 1$
3. Montrer que la suite $w_{n}=n\left(v_{n+1}-v_{n}\right)$ converge vers une limite $\ell$ à déterminer.
   1. Montrer que si $\lambda \neq 1$ alors : $$\left(\exists n_{0} \in \mathbb{N}^{*}\right)(\exists a>0): n>n_{0} \Rightarrow v_{n+1}-v_{n}>\frac{a}{n}$$
   2. En déduire que $\left(\forall n>n_{0}\right): v_{2 n} \rightarrow v_{n}>\dfrac{a}{2}$.
   3. Montrer que $\lim v_{n}=+\infty$.
4. Déterminer $\lim v_{n}$.

Soit $a \in[0,1]$, et soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=0 \\ u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{2}\left(a^{2}-u_{n}^{2}\right)\end{array}\right.$

1. Soient $x_{n}=a-u_{n}$ et $y_{n}=a+u_{n}$. Trouver des relations liant $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ à $x_{n}$ et $y_{n}.$
2. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}): x_{n} \geq 0$ et $y_{n} \geq 0$. En déduire la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$.
3. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.

Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ on définie la fonction $f_{n}$ sur $\mathbb{R}$ par : $f_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k x^{k}$.

1. Simplifier l’expression $(1-x)^{2} f_{n}(x)$. En déduire une autre expression de $f_{n}(x)$ pour $x \neq 1$.
2. Pour tout $x \in[0,1]$, On pose $F(x)=\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x).$
   1. Donner l’expression de $F(x)$.
   2. Représenter sur un même graphique, dans l’intervalle $[0,1]$, les fonctions $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ et $F$.
3. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, l’équation $f_{n}(x)=1$ admet une unique solution, notée $u_{n}$, dans l’intervalle $[0,1]$. Puis calculer $u_{1}$ et $u_{2}.$
4. Etudier le sens de variation de le suite $\left(u_{n}\right)$. En déduire qu’elle converge. On notera $\ell$ sa limite.
5. Montrer que $\left(\forall x \in\left[0, \dfrac{1}{2}\right]\right)\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right):\left| F(x)-f_{n}(x)\right| \leq 6 \dfrac{n+1}{2^{n+1}}$.
6. Montrer que $\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}\left(u_{n}\right)=F(\ell)$. En déduire la valeur de $\ell.$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on définie la fonction $f_{n}$ sur $\mathbb{R}$ par: $f_{n}(x)=x^{n+1}+x^{n}+\cdots+x-1.$

1. Montrer que l’équation $f_{n}(x)=0$ admet une seule solution dans $[0,1]$, notée $u_{n}$.
2. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}): f_{n}\left(u_{n+1}\right)<0$. En déduire le sens de variation de $\left(u_{n}\right)$.
3. Calculer la limite de $\left(u_{n}\right)$.
4. Soit $a_{n}=u_{n}-\dfrac{1}{2}$. Montrer que $\lim (n+1) a_{n}=0$. En déduire $\lim 2^{n+2}\left(u_{n}-\dfrac{1}{2}\right).$