Exercices : Projection – TCS

Soit $ABC$ un triangle, et soit $M$ un point tel que : $\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}$.
Soit $M_1$ la projection de $M$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$, $M_2$ la projection de $M_1$ sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$ et $M_3$ la projection de $M_2$ sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$.

1. Exprimer $\overrightarrow {BM_3}$ en fonction de $\overrightarrow{BA}$.
2. En déduire que les segments $[AB]$ et $[MM_3]$ ont le même milieu.

Soit $ABCD$ un parallélogramme et soit $(\Delta)$ une droite mobile passant par $C$ et coupant $(AB)$ en $E$ et $(AD)$ en $F$.
Montrer que : $\dfrac{{\overline {AB} }}{{\overline {AE} }} + \dfrac{{\overline {AD} }}{{\overline {AF} }} = 1$

Soit $ABCD$ un trapèze, de bases $[AB]$ et $[CD]$.
Soit $I$ le milieu de $[AD]$, et $J$ le milieu de $[BC]$.

1. Montrer que $\overrightarrow{IM} = \overrightarrow{NJ}$.
2. En déduire que les segments $[MN]$ et $[IJ]$ ont le même milieu.

Soit un quadrilatère $ABCD$, et soit $M$ un point tel que : $\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{BA}$.
Soit $N$ la projection de $M$ sur $(BC)$ parallèlement à $(AC)$ et $P$ la projection de $N$ sur $(CD)$ parallèlement à $(BD)$

1. Montrer que : $\overrightarrow{DP} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}.$
2. On considère le point $Q$ tel que : $\overrightarrow{DQ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DA}.$
   Montrer que le quadrilatère $MNQP$ est un parallélogramme.

Soit $ABC$ un triangle, et soit $E$ et $F$ deux points tels que :
$$\overrightarrow{AE}= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{AF}= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$$

1. Comparer $\dfrac{\overline {AE}}{\overline {AB}}$ et $\dfrac{\overline {AF}}{\overline {AC}}$.
2. En déduire que $ (EF) \parallel (BC) $.
3. Soit $O$ le point d’intersection de $ (EC) $ et $ (BF)$.
   Vérifier que : $\dfrac{\overline {OE}}{\overline {OC}} = -\dfrac{1}{3}$
4. La droite $(OA)$ coupe $[EF]$ en $I$ et $[BC]$ en $J$. Montrer que $I$ est le milieu de $[EF]$ et $J$ est le milieu de $[BC].$