Exercices : Polynômes – TCS

On considère le polynôme $P(x) = 2x^3 -x^2 + 3x + 6$

1. Montrer que le polynôme $P(x)$ est divisible par $(x+1)$.
2. Déterminer le polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x+1)Q(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = x^3 -3x^2 + x + 2$

1. Calculer $P(2)$
2. Démontrer qu’il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x-2)Q(x)$ et déterminer $Q(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = x^3 + \left(\sqrt{5}-1\right)x^2 -\left( \dfrac{\sqrt{6}}{2} -\sqrt 5\right)x -\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
Montrer qu’il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x-1)Q(x)$ et déterminer $Q(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = -x^4 + x^3 + 5x^2 -3x -6$

1. Calculer $P(2)$ et $P(-1)$ puis factoriser $P(x)$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation: $P(x) \ge 0$.
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^+$ l’équation:  $-x^2-x\sqrt x +5x-3\sqrt x-6=0$.
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation: $(x-1)^4+|x-1|^3-5(x-1)^2+3|x-1|+6=0$.

On considère le polynôme $P(x) = 2x^3 -7x^2 + 7x -2$

1. Calculer $P(2)$.
2. Démontrez que si $\alpha$ est une racine de $P(x)$, alors $\dfrac{1}{\alpha}$ est une racine de $P(x)$.
3. En déduire une factorisation de $P(x)$.
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation: $P(|x|)\ge 0$.

On considère le polynôme $P(x) = (1 -\alpha)x^3 + \alpha x^2 + 3\alpha x -3$

1. Déterminer le nombre $\alpha$ pour que $P(x)$ soit divisible par $(x+1)$.
2. Déterminer dans ce cas les nombres $a, b$ et $c$ tels que : $P(x) = (x + 1)(ax^2 + bx + c)$.

On considère le polynôme $P(x) = ax^3 + bx^2 + 2x + 1$

1. Déterminer les nombres $a$ et $b$ pour que $1$ et $-1$ soient des racines de $P(x)$.
2. On suppose que : $a=-2$ et $b=-1$. Factoriser le polynôme $P(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = x^3 -(3 + \alpha)x^2 + (2 + 3\alpha)x -2\alpha$
Calculer $P(\alpha)$ puis factoriser $P(x)$.

Montrer qu’il existe un polynôme $P(x)$ de second degré qui satisfait : $$P(-1)=4\quad,\quad P(1)=3\quad,\quad P(2)=4$$

1. Déterminer un polynôme $P(x)$ de second degré tel que : $P(x+1)-P(x)=x$.
2. En déduire la somme : $S=1+2+3+\ldots+n$