Exercices : Ordre et opérations – 3ac

Exercice 1 Mathxi math

- Simplifier une expression entenat compte du signe [Signaler une erreur]

Enoncé

$x$ et

$y$ sont deux nombres réels tels que:

$2 \leq x \leq 3 \quad$ et

$\quad 6 \leq y \leq 7$ .
On considère l’expression

$E$ :

$E=\sqrt{4 x^2-4 x y+y^2}+2 \sqrt{(x-3)^2+12 x}.$
Donner une écriture simplifiée de

$E$ .

Indication math

Utiliser les identités remarquable et la propriété :

$\sqrt {{x^2}} = \left\{ \begin{aligned} \begin{array}{*{20}{c}} x&{si}&{x \ge 0} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} { – x}&{si}&{x < 0} \end{array} \end{aligned} \right.$

Corrigé

On a :

$\begin{aligned} & E=\sqrt{4 x^2-4 x y+y^2}+2 \sqrt{(x-3)^2+12 x} \\ & E=\sqrt{(2 x-\mathrm{y})^2}+2 \sqrt{x^2-6 x+9+12 x} \\ & E=\sqrt{(2 x-\mathrm{y})^2}+2 \sqrt{x^2+6 x+9} \\ & E=\sqrt{(2 x-\mathrm{y})^2}+2 \sqrt{(x+3)^2} \end{aligned}$
Déterminons les signes de

$(2 x-y)$ et

$(x+3)$ .

On a : $2 \leq x \leq 3 \quad et \quad 6 \leq y \leq 7$

Donc : $4 \leq 2 x \leq 6 \quad \text { et } \quad-7 \leq-y \leq-6$

Donc : $-3 \leq 2 x-y \leq 0$

Alors $2 x-y$ est un nombre négatif, donc $\sqrt{(2 x-y)^2}=-(2 x-y)$

On a : $2 \leq x \leq 3$ , alors : $5 \leq x+3 \leq 6$

Alors $x+3$ est donc un nombre positif ; donc $\sqrt{(x+3)^2}=x+3$

Par suite :
$\begin{aligned} E &=-(2 x-y)+2(x+3) E &=-2^{\prime} x+\mathrm{y}+2^{\prime} x+6\\ E &=y+6 \end{aligned}$

Exercice 2 Mathxi math

- Comparer deux expressions [Signaler une erreur]

Enoncé

$a$ et

$b$ sont deux nombres réels tels que:

$a>1$ et

$b>1$
Démontrer que :

$a \sqrt{b-1}+b \sqrt{a-1} \leq a b.$

Indication math

Remarquer que :

$(\sqrt{b-1}-1)^2 \geq 0$ et développer l’expression

$(\sqrt{b-1}-1)^2$ , puis simplifier pour isoler

$\sqrt{b-1}$ .

Corrigé

On a :

$b>1$ , donc

$b-1>0$ et

$\sqrt{b-1}>0$ .
On a :

$(\sqrt{b-1}-1)^2\ge 0$ (car le carré de tout nombres réel est toujours positif).
Donc :

$\begin{aligned} \sqrt {b -1} ^2 -2\sqrt {b -1} + 1 \ge 0\\ b-1-2\sqrt {b -1} + 1 \ge 0\\ b-2\sqrt {b -1} \ge 0\\ b \ge 2\sqrt {b -1} \\ \frac{b}{2} \ge \sqrt {b -1} \\ \sqrt {b -1} \le \dfrac{b}{2} \end{aligned}$ Et comme

$a$ est positif car

$a>1$ , alors :

$\boxed{a\sqrt{b-1}\le \dfrac{ab}{2}}~~(*)$
De la meme maniére, on démontre que :

$\boxed{b\sqrt{a-1}\le \dfrac{ab}{2}}~~(**)$
On déduit, en ajoutant membre à membre les membres des deux inégalités

$(*)$ et

$(**)$ que :

$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le \dfrac{ab}{2}+\dfrac{ab}{2}$
Donc :

$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab$

Exercice 3 Mathxi math

- Encadremment [Signaler une erreur]

Enoncé

Soit

$a$ et

$b$ deux nombres réels tels que :

$1 \leq \sqrt{a-3} \leq 3$ et

$-4 \leq b \leq \dfrac{1}{2}$

Montrer que : $4 \leq a<12$ .
Encadrer le nombre $\dfrac{3}{a}+b^2$ .

Indication math

Corrigé

Montrons que : $4\le a\le 12$ .
On a : $\begin{array}{l} 1 \le \sqrt {a – 3} \le 3\\ {1^2} \le {\sqrt {a – 3} ^2} \le {3^2}\\ 1 \le a – 3 \le 9\\ 1 + 3 \le a \le 9 + 3 \end{array}$
Donc $4 \le a \le 12$ .
Encadrement du nombre $\dfrac{3}{a}+b^2$ .
On a : $\begin{array}{l} 4 \le a \le 12\,\,\,\,et\,\,\,\, – 4 \le b \le \dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{{12}} \le \dfrac{1}{a} \le \dfrac{1}{4}\,\,\,\,et\,\,\,\,0 \le {b^2} \le {\left( { – 4} \right)^2}\\ \dfrac{3}{{12}} \le \dfrac{3}{a} \le \dfrac{3}{4}\,\,\,\,et\,\,\,\,0 \le {b^2} \le 16\\ \dfrac{1}{4} \le \dfrac{3}{a} \le \dfrac{3}{4}\,\,\,\,et\,\,\,\,0 \le {b^2} \le 16 \end{array}$
Donc : $\dfrac{1}{4} + 0 \le \dfrac{3}{a} + {b^2} \le \dfrac{3}{4} + 16$
Donc : $\dfrac{1}{4}\le \dfrac{3}{a} + {b^2} \le \dfrac{67}{4}$