Exercices : Ordre dans R – TCS

1. Donner l’encadrement du nombre $x^2+y^2+4x -2y$ sachant que $3 < x  < 4$ et $-5 < y < 2$.
2. Donner l’encadrement des nombres : $xy$ et $x^2y$ sachant que $-1 < x < 1$ et $-1 < y < 1$

Soit $A = x^2 -5x + 6$ avec $2 < x < 3$.

1. Donner un encadrement pour le nombre $A$.
2. Vérifier que $A = (x -2)(x -3)$ et déduire un encadrement plus précis du nombre $A$.
3. Vérifier que $A = \left( x -\dfrac{5}{2} \right)^2 -\dfrac{1}{4}$ et dédure un encadrement encore plus précis du nombre $A$.

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que $ \left| 2x-\dfrac{3}{2}\right| < \dfrac{1}{2}$ et $\left| y-\dfrac{3}{4}\right| < \dfrac{1}{4}$.

1. Montrer que $x$ et $y$ sont des éléments de l’intervalle $\left] \dfrac{1}{2}, 1 \right[$.
2. 1. Vérifier que : $xy -3x -2y -1 = (x -2)(y -3) -7$.
   2. Montrer que : $-5 < xy -3x -2y -1 < -\dfrac{13}{4}$.

Soit $a$ un nombre réel tel que $|a -1| < \dfrac{1}{2}$​.
Montrer que $\dfrac{4}{3}$ est une approximation du nombre $\dfrac{1}{a}$  avec une précision de $\dfrac{2}{3}$​.

Soit $x$ un nombre réel tel que  $\left| x-\dfrac{3}{2}\right|<\dfrac{1}{2}$. On pose : $a=\dfrac{1}{x^2+1}$.

1. Donner une approximation par défaut et par excès avec une précision de $\dfrac{3}{10}$.
2. Trouver une approximation du nombre $a$ avec une précision de $\dfrac{3}{20}$.

1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, $\sqrt{9 + x} \leq 3 + \dfrac{x}{6}$.
2. Montrer que pour tout $0\le x \le 7$, $3+\dfrac{x}{7} \leq \sqrt{9 + x}$.
3. Déduire un encadrement du nombre $\sqrt{9,789}$ avec une précision $2\times 10^{-2}$.

1. Vérifier que $\dfrac{1}{x+1}-(1-x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$ pour tout $x \neq -1$.
2. Montrer que si $|x| < \dfrac{1}{2}$, alors $0 \le \dfrac{1}{x + 1}-(1-x) < 2x^2$.
3. Trouvez une approximation du nombre $\dfrac{1}{1,0005}$ avec une précision de $5\times 10^{-7}$.

1. Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}^*$, $|x| < \sqrt{x^2 + 1} < |x|+ \dfrac{1}{2|x|}$.
2. Trouver un encadrement du nombre $\dfrac{\sqrt{122}}{3}$ avec une précision de $\dfrac{1}{66}$.

Soit $x$ un nomre réel.

1. Montrer que si $1\le x\le 3$, alors $\dfrac{1}{\left| x+2\right|} <\dfrac{1}{3}$.
2. En déduire que si $1 \leq x \leq 3$, alors $\left| \dfrac{x -1}{x + 2}-\dfrac{1}{4} \right| \le \dfrac{1}{4}\left| x-2\right|$.

Soit $x$ un nombres réel positif.

1. Montrer que : $\left|(1 -2x)^3 -(1 -6x)\right| = x^2\left|12-8x\right|$.
2. Supposons que $-\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{1}{2}$.
   1. Montrer que : $\left|12 -8x\right| \leq 16$.
   2. En déduire que : $\left|(1-2x)^3-(1-6x)\right| \leq 16x^2$.
   3. Donner une approximation du nombre $0,9998^3$ avec une précision de $16\times 10^{-8}$.

1. Montrer que pour tout $x \in ]-1,+\infty[$, $\sqrt{x + 1} -1 = \dfrac{x}{\sqrt{x + 1} + 1}$.
2. Montrer que si $-0,19 < x < 0,21$, alors $\dfrac{|x|}{2,1} \le \sqrt{x + 1} -1 \le \dfrac{|x|}{1,9}$.

Soient $ a $ et $ b $ deux réels tels que $ 0 < a \leq b \leq 2a $.

1. 1. Montrer que : $(a-b)(2a-b) \leq 0$.
   2. Développer et factoriser $ (a-b)(2a-b) $ et $ (a\sqrt{2} -b)^2 $.
2. Posons $ A = \dfrac{2a^2 + b^2}{3ab} $. Montrer que :$\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \leq A \leq 1$
3. Montrer que $ \dfrac{(1 + \sqrt{2})^2}{6} $ est une valeur approchée du nombre $A$ à $ \dfrac{(1 -\sqrt{2})^2}{6} $ près.

Soit $ a \in \mathbb{R} $ tel que $ |a| < \dfrac{1}{2} $. On pose : $A = \dfrac{1}{\sqrt{1 + a}} -\left(1 -\dfrac{a}{2}\right)$

1. 1. Montrer que : $A = \dfrac{{\sqrt {1 + a} -\left( {1 +\dfrac{a}{2}} \right) + \dfrac{{{a^2}}}{2}}}{{1 + a}}$
   2. Montrer que $ \sqrt{1 + a} \leq 1 + \dfrac{a}{2}$, puis en déduire que : $A\le a^2$
   3. Montrer que $ \dfrac{1}{\sqrt{1 + a}} \geq 1 -\dfrac{a}{2} $.
2. Déduire une valeur approchée du nombre $\dfrac{1}{\sqrt{1,01}} $ à $ 10^{-4}$ près.

Soient $ a $ et $ b $ deux réels tels que $ 1 \leq b \leq 3 $ et $ |a + 3| \leq 1 $.

1. 1. Montrer que $ -4 \leq a \leq -2 $
   2. Montrer que $|a + b + 1| \leq 2 $.
2. On Considère l’expression $E = 2b -3a + ab$.
   1. Vérifier que $E=(a+2)(b-3)+6$
   2. Montrer que $ 6 \leq E \leq 10 $.

On considère le nombre $a=\dfrac{\sqrt{5-\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}$

1. Vérifier que : $ a = \dfrac{\sqrt{7} -\sqrt{3}}{2} $
2. Sachant que $2,64 < \sqrt{7} < 2.65$ et $1,73 < \sqrt{3} < 1,74$, donner l’approximation décimale du nombre $a$ à $10^{-2}$ près, par excès et par défaut.

Soient $ x $ et $ y $ deux réels tels que $ 3,13 \leq x \leq 3,17 $ et $ |y + 1| \leq 3 \times 10^{-2} $.

1. Montrer que $ -1,03 \leq y \leq -0,97 $.
2. Déterminer un encadrement de $ (y -3)^2 $.
3. Comparer les deux expressions $2x+3y$ et $ x + 2y -xy $.