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Exercices : Ordre dans R – TCS

Exercice 1 Mathxi math math - Encadrement des expressions quadratiques sous des contraintes [Signaler une erreur]
Enoncé math

  1. Donner l’encadrement du nombre x2+y2+4x2yx2+y2+4x2y sachant que 3<x<43<x<4 et 5<y<25<y<2.
  2. Donner l’encadrement des nombres : xyxy et x2yx2y sachant que 1<x<11<x<1 et 1<y<11<y<1

Indication math
Corrigé math
Exercice 2 Mathxi math math math - Analyse approfondie d'une fonction quadratique et ses encadrements [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soit A=x25x+6A=x25x+6 avec 2<x<32<x<3.

  1. Donner un encadrement pour le nombre AA.
  2. Vérifier que A=(x2)(x3)A=(x2)(x3) et déduire un encadrement plus précis du nombre AA.
  3. Vérifier que A=(x52)214A=(x52)214 et dédure un encadrement encore plus précis du nombre AA.

Indication math
Corrigé math
Exercice 3 Mathxi math math math math - Étude de la convergence et encadrement des variables sous contraintes [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soient xx et yy deux nombres réels tels que |2x32|<122x32<12 et |y34|<14.

  1. Montrer que x et y sont des éléments de l’intervalle ]12,1[.
    1. Vérifier que : xy3x2y1=(x2)(y3)7.
    2. Montrer que : 5<xy3x2y1<134.

Indication math
Corrigé math
Exercice 4 Mathxi math math - Approximation des fonctions avec contraintes absolues [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soit a un nombre réel tel que |a1|<12​.
Montrer que 43 est une approximation du nombre 1a  avec une précision de 23​.
Indication math
Corrigé math
Exercice 5 Mathxi math math math - Approximation de valeurs de fonctions rationnelles avec précision définie [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soit x un nombre réel tel que  |x32|<12. On pose : a=1x2+1.

  1. Donner une approximation par défaut et par excès avec une précision de 310.
  2. Trouver une approximation du nombre a avec une précision de 320.

Indication math
Corrigé math
Exercice 6 Mathxi math math math math - Encadrement des racines carrées avec précision donnée [Signaler une erreur]
Enoncé math

  1. Montrer que pour tout xR+, 9+x3+x6.
  2. Montrer que pour tout 0x7, 3+x79+x.
  3. Déduire un encadrement du nombre 9,789 avec une précision 2×102.

Indication math
Corrigé math
Exercice 7 Mathxi math math - Analyse des fonctions rationnelles et approximation avec précision [Signaler une erreur]
Enoncé math

  1. Vérifier que 1x+1(1x)=x2x+1 pour tout x1.
  2. Montrer que si |x|<12, alors 01x+1(1x)<2x2.
  3. Trouvez une approximation du nombre 11,0005 avec une précision de 5×107.

Indication math
Corrigé math
Exercice 8 Mathxi math math math - Encadrement d'expressions radicales avec précision définie [Signaler une erreur]
Enoncé math

  1. Montrer que pour tout x de R, |x|<x2+1<|x|+12|x|.
  2. Trouver un encadrement du nombre 1223 avec une précision de 166.

Indication math
Corrigé math
Exercice 9 Mathxi math math - Analyse des fonctions rationnelles et estimation des écart [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soit x un nomre réel.

  1. Montrer que si 1x3, alors 1|x+2|<13.
  2. En déduire que si 1x3, alors |x1x+214|14|x2|.

Indication math
Corrigé math
Exercice 10 Mathxi math math math math - Approximation de polynômes avec précision élevée [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soit x un nombres réel positif.

  1. Montrer que : |(12x)3(16x)|=x2|128x|.
  2. Supposons que 12x12.
    1. Montrer que : |128x|16.
    2. En déduire que : |(12x)3(16x)|16x2.
    3. Donner une approximation du nombre 0,99983 avec une précision de 16×108.

Indication math
Corrigé math
Exercice 11 Mathxi math math math - Analyse et vérification d'approximation d'une racine carrée [Signaler une erreur]
Enoncé math

  1. Montrer que pour tout x]1,+[, x+11=xx+1+1.
  2. Montrer que si 0,19<x<0,21, alors |x|2,1x+11|x|1,9.

Indication math
Corrigé math
Exercice 12 Mathxi math math math math - Étude des relations entre variables et analyse d'expressions complexes [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soient a et b deux réels tels que 0<ab2a.

    1. Montrer que : (ab)(2ab)0.
    2. Développer et factoriser (ab)(2ab) et (a2b)2.
  1. Posons A=2a2+b23ab. Montrer que :223A1
  2. Montrer que (1+2)26 est une valeur approchée du nombre A à (12)26 près.

Indication math
Corrigé math
Exercice 13 Mathxi math math math math - Approximation des racines carrées avec des erreurs contrôléese [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soit aR tel que |a|<12. On pose : A=11+a(1a2)

    1. Montrer que : A=1+a(1+a2)+a221+a
    2. Montrer que 1+a1+a2, puis en déduire que : Aa2
    3. Montrer que 11+a1a2.
  1. Déduire une valeur approchée du nombre 11,01 à 104 près.

Indication math
Corrigé math
Exercice 14 Mathxi math math math - Étude des inégalités et relations entre variables réelles [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soient a et b deux réels tels que 1b3 et |a+3|1.

    1. Montrer que 4a2
    2. Montrer que |a+b+1|2.
  1. On Considère l’expression E=2b3a+ab.
    1. Vérifier que E=(a+2)(b3)+6
    2. Montrer que 6E10.

Indication math
Corrigé math
Exercice 15 Mathxi math math math math - Approximation des valeurs réelles avec des expressions irrationnelles [Signaler une erreur]
Enoncé math

On considère le nombre a=5212

  1. Vérifier que : a=732
  2. Sachant que 2,64<7<2.65 et 1,73<3<1,74, donner l’approximation décimale du nombre a à 102 près, par excès et par défaut.

Indication math
Corrigé math
Exercice 16 Mathxi math math math math - Encadrement des expressions quadratiques avec variables dépendantes [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soient x et y deux réels tels que 3,13x3,17 et |y+1|3×102.

  1. Montrer que 1,03y0,97.
  2. Déterminer un encadrement de (y3)2.
  3. Comparer les deux expressions 2x+3y et x+2yxy.

Indication math
Corrigé math