Exercices : Nombres complexes – 2Bac Sc. Maths

Soit $z \in \mathbb{C}$ tel que $|z|=1$ et $z^{2} \neq 1$. Montrer que le nombre $\dfrac{z^{2}+1}{z^{2}-1}$ est imaginaire pure.

Soit $z \in \mathbb{C}-\{-i\}.$ Montrer que : $\operatorname{Im}(z) > 0 \Leftrightarrow\left|\dfrac{z-i}{z+i}\right|<1$

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres complexes tels que : $|a|=|b|=|c|=1.$

1. Montrer que : $\left|\dfrac{a-b}{1-a \bar{b}}\right|=1.$
2. Montrer que : $\left|a b+b c+c a\right|=\left|a+b+c\right|.$

1. Montrer que : $$(\forall z \in \mathbb{C}),\,\,|z+1|=|z|+1 \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}^{+}.$$
2. Montrer que : $\left(\forall\left(z, z^{\prime}\right) \in \mathbb{C}^{2}\right),$ $$\left|z+z^{\prime}\right|=|z|+z^{\prime} \mid \Leftrightarrow\left(\exists \alpha \in \mathbb{R}^{+}\right):\left(z=\alpha z^{\prime}\right. \text{ ou } \left. z^{\prime}=\alpha_{z}\right)$$

Pour tout $z \neq 1$ on pose $z^{\prime}=\dfrac{z-1}{1-\bar{z}}$ et on considère les points $M(z)$ et $M^{\prime}\left(z^{\prime}\right).$

1. Montrer que $\left|z^{\prime}\right|=1$, $\dfrac{z^{\prime}-1}{z-1}$ est réel et $\dfrac{z^{\prime}+1}{z-1}$ est imaginaire pure.
2. En déduire une construction géométrique du pont $M^\prime$ à partir du point $M.$

Pour tout $z \neq i$ on pose $f(z)=\dfrac{\bar{z}}{1-i \bar{z}}$

1. Montrer que : $$f(z) \in \mathbb{R} \Leftrightarrow|z|^{2}-\operatorname{Im}(z)=0.$$
2. Déterminer la nature des deux ensembles : $E=\{M(z) \in P / f(z) \in \mathbb{R}\}$ et $F=\{M(z) \in P / f(z) \in i\mathbb{R}\}$
3. On considère les points $A(i), M(z), M^{\prime}(f(z))$
   1. Montrer que : $f(z)-i=\dfrac{-i}{1-i \bar{z}}.$ En déduire l’ensemble $G=\{M(z) \in P /|f(z)-i|=2\}$
   2. Montrer que $f(z)-i=\dfrac{1}{|1-i \bar{z}|^{2}}(z-i).$ En déduire un mesure de l’angle $\left( {\widehat {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM’} }} \right)$

Soit $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan complexe d’affixes $a$, $b$ et $c$.
Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes :

1. ABC est un triangle équilatéral.
2. $j$ ou $j^{2}$ est solution de l’équation $a z^{2}+b z+c=0$.
3. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$

Application : Soit $ABC$ un triangle du plan affine euclidien. On construit, à l’extérieur de ce triangle, les trois triangles équilatéraux de bases $A B$, $B C$, $C A$. Montrer que les centres de gravité de ces trois triangles forment un triangle équilatéral.

1. Soit $(\mathscr{C})$ le cercle de centre $A\left(z_{0}\right)$ et de rayon $R$. Montrer que $(\mathcal{C})$ est l’ensemble des points $M\left(z_{0}\right)$ tels que: $z \bar{z}-\bar{z}_{0} z-z_{0} \bar{z}+z_{0} \bar{z}_{0}-R^{2}=0$
2. Réciproquement, soient $c \in \mathbb{C}$ et $\gamma \in \mathbb{R}$. Quel est l’ensemble des points $M(z)$ tels que $z \bar{z}-\bar{cz}-c \bar{z}+\gamma=0.$
3. Application : Soient $\theta \in\mathbb{R}$ et $(a, b) \in \mathbb{C}^{2}$ avec $a \neq b$. On considère les points $A(a)$ et $B(b).$
   Trouver l’ensemble des points $M$ tels que $(\overline{\overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M B}}) \equiv \theta[\pi]$

Soient $u, v, w$ trois nombres complexes unitaires tels que $u+v+w=0$.

1. Montrer que $\operatorname{Re}(v \bar{w})=\dfrac{-1}{2}$. En déduire la valeur de $v \bar{w}$.
2. Montrer que : $u=j v=j^{2} w$ ou $u=j w=j^{2} v$.

On pose $u=e^{\frac{2 i \pi}{7}},$  $S=u+u^{2}+u^{4}$ et $T=u^{3}+u^{5}+u^{6}$

1. Montrer que $S$ et $T$ sont conjugués et $\operatorname{Im}(S)>0$.
2. Calculer : $S+T$ et $S T$. En déduire $S$ et $T.$
3. Calculer : $\dfrac{u}{1+u^{2}}+\dfrac{u^{2}}{1+u^{4}}+\dfrac{u^{3}}{1+u^{6}}$
4. En déduire la valeur de : $\dfrac{1}{\cos \dfrac{2 \pi}{7}}+\dfrac{1}{\cos \dfrac{4 \pi}{7}}+\dfrac{1}{\cos \dfrac{6 \pi}{7}}.$

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^{2}+z+1=0$
2. Pour tout $z=e^{i \theta}$ avec $-\pi \leq \theta \leq \pi$ et $\theta \neq \dfrac{2 \pi}{3}$ et $\theta \neq-\dfrac{2 \pi}{3}$, on pose $z^{\prime}=\dfrac{1}{z^{2}+z+1}$.
   1. Montrer que : $z^{2}+z+1=z(1+z+\bar{z}).$
   2. Calculer le module et l’argument $z^\prime$ en fonction de $\theta$.
   3. On pose $z^{\prime}=x+iy$ avec $x$ et $y$ deux nombres réels. Montrer que : $x^{2}+y^{2}=(1-2 x)^{2}.$
   4. En déduire que le point $M$ d’affixe $z^\prime$ appartient à une hyperbole dont on déterminera le centre les sommets et les asymptotes.

Soit $a$ un nombre complexe dont la forme algébrique est $a=\alpha+i \beta$.

1. Déterminer la nature de $(H)=\left\{M(z) / z^{2}-(\bar{z})^{2}=a^{2}-(\bar{a})^{2}\right\}$ et tracer $(H)$ pour $a=1+i.$
2. Déterminer la nature de $(C)=\{M(z) /(z-a)(\bar{z}-\bar{a})=4 a \bar{a}\}$ et tracer $(C)$ pour $a=1+i.$
3. On considère dans $\mathbb{C}$ le système $(S):\left\{\begin{array}{l}z^{2}-(\bar{z})^{2}=a^{2}-(\bar{a})^{2} \\ (z-a)(\bar{z}-\bar{a})=4 a \bar{a}\end{array}\right.$ et on pose $u=z-a.$
4. Montrer que le système est équivalent au système $(S^\prime) :\left\{\begin{array}{l}u \bar{u}=4 a \bar{a} \\ (u+2 a)\left(u^{3}-8 a(\bar{a})^{2}\right)=0\end{array}\right.$
5. On pose $a=r e^{i \theta}$ avec $r>0$ et $-\pi<\theta \leq \pi$. Déterminer en fonction de $r$ et $\theta$ les affixes des point d’intersection de $(C)$ et $(H)$.
6. Montrer que l’intersection de $(C)$ et $(H)$ contient trois points sommets d’un triangle équilatéral.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $\left(z^{2}+1\right)^{n}+(z-i)^{2 n}=0$

Soit $(a, b) \in \mathbb{R}^{2}$ avec $a \neq b.$

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $(z-b)^{n}-(z-a)^{n}=0.$
2. Prouver que les solutions sont affixes de points alignés.
3. On considère le nombre complexe $a=e^{\frac{2 i \pi}{5}}$. On note $I, A, B, C, D$ les points du plan complexe d’affixes $1, a, a^{2}, a^{3}, a^{4}$.
   1. Vérifier que $a^{5}=1$ et montrer que $I A=A B=B C=C D=D I$.
   2. Placer les points $I, A, B, C, D$ dans le plan complexe (unité: $4cm$).
   1. Vérifier que, pour tout nombre complexe $z$ : $$z^{5}-1=(z-1)\left(1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}\right)$$
   2. En déduire que : \begin{align}1+a+a^{2}+a^{3}+a^{4}=0\end{align}
   3. Montrer que $a^{3}=\overline{a}^{2}$ et que $a^{4}=\overline{a}$ et en déduire que: $$(a+\overline{a})^{2}+(a+\overline{a})-1=0 \quad(2)$$
   4. Résoudre l’équation: $4 x^{2}+2 x-1=0$ et en déduire, à partir de $(2)$, la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)$.

1. Montrer que $(\forall z \in \mathbb{C}-\{-1\}):$ $$|z|=1 \Leftrightarrow(\exists \alpha \in \mathbb{R}),\,\,\, z=\frac{1+i \alpha}{1-i \alpha}$$
2. Soit $a \in \mathbb{C}, n \in \mathbb{N}^{*}$, montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation $\left(\dfrac{1+i x}{1-i x}\right)^{n}=a$ ait des solutions réelles est que $|a|=1.$

Soit $a, b, c \in \mathbb{C}$ tel que $|a|=|b|=|c|=1$ et $a \neq c$ et $b \neq c$.
Montrer que : $$\,\arg \left(\frac{c-b}{c-a}\right) \equiv \frac{1}{2} \arg \left(\frac{b}{a}\right)[2 \pi]$$

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. Pour chaque $k \in\{0,1,2, \ldots \ldots, 2 n-1\},$ on pose $z_{k}=e^{i \frac{k \pi}{n}}$

1. Montrer que  : $(\forall k \in\{0,1,2, \ldots ., 2 n-1\}),\,\,\, \overline{z}_{k}=z_{2 n-k}$
2. En déduire que le nombre $u=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} z_{k}$ est imaginaire pur.

On considère le système $$(S) : \left\{\begin{array}{l}z^{5}(1-\bar{z})=1 \\ |z|=|z-1|\end{array}\right.$$

1. Montrer que si $z$ est une solution de $(S)$ alors $|z|=|z-1|=1.$
2. En déduire que $z$ est une solution de $(S)$ alors $z=e^{i \frac{\pi}{3}}$ ou $z=e^{-i \frac{\pi}{3}}.$
3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ le système $(S).$

Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}):$ $$(1+i \sqrt{3})^{n}+(1-i \sqrt{3})^{n}=2^{n+1} \cos \left(n \frac{\pi}{3}\right)$$

Soit $p$ un nombre complexes de module $1$ on considère l’équation $\left(E_{p}\right): z^{2}-2 p^{2} z-1=0.$

1. Déterminer le nombre complexe $p$ pour que $(E_{p})$ admette une racine double
2. Soit $z_{1}$ et $z_{2}$ les racines de $\left(E_{p}\right)$. On pose $u_{1}=\dfrac{1+z_{1}}{p}$ et $u_{2}=\dfrac{1+z_{2}}{p}$
   1. Calculer $u_{1}+u_{2}$ et $u_{1}u_{2}.$
   2. Montrer que si $u_{1}$ et $u_{2}$ ne sont pas des réels alors $\left|1+z_{1}\right|=\left|1+z_{2}\right|.$
   3. Montrer que si $u_{1}$ et $u_{2}$ sont des réels alors $\arg \left(1+z_{1}\right) \equiv \arg \left(1+z_{2}\right)[2 \pi].$

On appelle birapport des quatre complexes $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ rangés dans cet ordre le nombre complexe que l’on note $\beta\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right)$ et défini par $\beta\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right)=\dfrac{z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}} \div \dfrac{z_{4}-z_{1}}{z_{4}-z_{2}}.$ Soient $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$ les points d’affixes $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$. Déterminer une condition nécessaires et suffisante portant sur $\beta\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right)$ pour que ces points soient cocycliques ou alignés

Déterminer l’ensemble des points d’affixe $z$ tels que :

1. Les points d’affixe $1, z, \dfrac{1}{z}, 1-z$ soient cocycliques.
2. Les points d’affixe $z, z^{2}, z^{5}$ soient alignés.
3. Les points d’affixe $1, z, z^{3}$ soient alignés.
4. Les points d’affixe $z, 2 z+1, z-1$ forment un triangle isocèle en $M$.
5. Les points d’affixe $1,1+z, 1+z^{2}$ forment un triangle équilateral.

1. Résoudre dans l’équation $(1+i z)^{5}=(1-i z)^{5}.$
2. En déduire $\tan \dfrac{\pi}{5}$ et $\tan \dfrac{2 \pi}{5},$ et les exprimer sous la forme $\sqrt{p + q \sqrt{n}}​,$ où $n, p$ et $q$ sont des éléments de $\mathbb{Z}.$
3. Calculer $\tan \left(\dfrac{\pi}{60}\right).$

On pose $u=e^{\frac{2 i \pi}{5}}$

1. Montrer que $1+u+u^{2}+u^{3}+u^{4}=0$ et exprimer $\cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)$ en fonction des puissances de $u$.
2. En déduire que $\cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)$ est racine de l’équation $4 x^{2}+2 x-1=0.$
3. Calculer $\cos \left(\frac{2 \pi}{5}\right)$, $\cos \left(\dfrac{4 \pi}{5}\right), \cos \left(\dfrac{6 \pi}{5}\right), \cos \left(\dfrac{8 \pi}{5}\right)$ puis $\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)$.

En utilisant la formule de Newton déduire les valeurs des sommes : $$
A=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \cos \left(\frac{2 k \pi}{n}\right) \quad \text { et } \quad B=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \sin \left(\frac{2 k \pi}{n}\right)$$

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $\omega=e^{i \frac{2 \pi}{n}}$ pour tout $k \in\{0,1,2, \ldots . ., n-1\}$ on note $A_{k}$ le point d’affixe $\omega^{k}.$

1. Montrer que $A_{k+1}$ est l’image de $A_{k}$ par la rotation $r$ de centre $O$ et d’angle $\dfrac{2 \pi}{n}$.
2. Calculer la somme $S=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} A_{k} A_{k+1}.$

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ et $m \in \mathbb{C}$. On considère l’équation $(E): z^{2}-m z+e^{i \alpha}=0$ on désigne par $z_{0}$ et $z_{1}$ les solutions de l’équation $(E)$.

1. Montrer que $\arg \left(z_{0}\right) \operatorname{targ}\left(z_{1}\right) \equiv 0[2 \pi]$ et $\left|z_{0}\right|\left|z_{1}\right|=1.$
2. On suppose que $z_{0}=e^{i \theta}$. Donner la forme exponentielle de $m.$

Soit $\alpha \in\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[.$ On considère l’équation $\left(E_{\alpha}\right): z^{2}-2 z+1+\tan ^{2}(\alpha)=0.$

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $\left(E_{\alpha}\right)$ on notera $z_{1}, z_{2}$ ses solutions.
2. Déterminer la forme trigonométrique de $z_{1}$ et $z_{2}$.
3. Soient $M_{1}$ et $M_{2}$ les points images de $z_{1}$ et $z_{2}$ respectivement.
   1. Montrer que $OM_{1}=OM_{2}$.
   2. Déterminer la valeur de $\theta$ pour que le triangle $\left(O M_{1} M_{2}\right)$ soit équilatère directe.