Exercices : Limites et continuité – 2Bac Sc. Maths

On considère la fonction f définie par $\left\{\begin{align*}&f(x)=x \sin \left(\frac{1}{x}\right) &;&\,\, x>0 \\ &f(0)=1 & &\\ &f(x)=x E\left(\frac{1}{x}\right) &;&\,\, x<0\end{align*}\right.$

1. Etudier la continuité de la fonction $f$ en $0$.
2. Calculer $\displaystyle\lim _{|x| \rightarrow+\infty} f(x).$

Etudier la continuité de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ dans les cas suivants : $$\begin{align}
&\textbf{1.}\quad f(x)=E(x)(x-E(x))
&\textbf{2.}&\quad f(x)=\left|x-2 E\left(\frac{x+1}{2}\right)\right|\\
&\textbf{3.}\quad f(x)= \begin{cases}0 & \text { si } x \in \mathbb{Z}\\ x & \text { si } x \notin \mathbb{Z}\end{cases}
&\textbf{4.}&\quad f(x)= \begin{cases}0 & \text { si } x \in \mathbb{Q} \\ x & \text { si } x \notin \mathbb{Q}\end{cases}\end{align}$$

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$.
Montrer qu’il existe $c \in[a, b]$ tel que $2 f(a)+3 f(b)=5 f(c).$

Soient $f$ et $g$ et $h$ trois fonctions continues sur un intervalle $I$ telles que:
$$(\forall x \in I):\,\, g(x) \leq f(x) \leq h(x)$$Montrer que si chacune des deux fonctions $g$ et $h$ admet un point fixe dans $I$ alors $f$ en admet un aussi.

Soit $f, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ continue telle que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$
Montrer que $f$ s’annule. Appliquer ceci aux polynôme de degré impair.

Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f(0)=f(1)=0,\, (\forall x \in[0,1]):\,\, f(x) \geq 0.$
Montrer que : $\quad(\forall \lambda \in] 0,1[)\left(\exists x_{\lambda} \in[0,1]\right): f\left(x_{\lambda}+\lambda\right)=f\left(x_{\lambda}\right)$.

Soient $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ continues. On suppose que $(\forall x \in[a, b]): f(x)>g(x)>0$
Montrer qu’il existe $k>1$ tel que $f>k g.$

Soient $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ continues. On suppose que $(\forall x \in[a, b])(\exists y \in[a, b])$ tel que  $f(x)=g(y)$.
Montrer qu’il existe $x \in[a, b]$ tel que $f(x)=g(x)$.

Montrer que toute fonction polynôme de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ de degré impaire, s’annule en au moins un point.

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$ et $[m, M]$ un segment contenant $f(a)$ et $f(b)$.
Montrer que la courbe représentative de $f$ coupe les diagonales du rectangle $[a, b] \times[m, M].$

1. Montrer que : $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right)\left(\exists!a_{n} \in\right] 0,1[),\,\,\,\, 2 n a_{n} \tan \left(\dfrac{\pi}{2} a_{n}\right)=\pi$
2. Comparer $a_{n}$ et $a_{n+1}.$
3. Montrer que $a_{n}$ est solution de l’équation $2\arctan \left( {\dfrac{\pi }{{2nx}}} \right) – \pi x = 0.$

On considère la fonction $f(x)=\dfrac{4 x}{x^{2}+1}$. Montrer que $f$ est une bijection de $[-1,1]$ vers un intervalle à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x).$

Soit $f$ une fonction définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ tel que:$$
f \text { continue en } 0 \quad \text { et } \quad\left(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\right): f(x+y)=f(x)+f(y)$$

1. Montrer que $f(0)=0$.
2. Montrer que : $\left(\forall(x, y) \in I R^{2}\right): f(x)=f(x-y)+f(y)$.
3. En déduire que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ une fonction définie sur $] 0,+\infty[$. On suppose que $f$ est croissante sur $] 0,+\infty[$ et la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ est décroissante sur $] 0,+\infty[$.

1. Soit $\left.x_{0} \in\right] 0,+\infty\left[\right.$. Montrer que : $$\left(\forall x>x_{0}\right): 0 \leq f(x)-f\left(x_{0}\right) \leq\left(x-x_{0}\right) g\left(x_{0}\right)$$ et
   \[\left( {\forall x < {x_0}} \right):\left( {x -{x_0}} \right)g\left( {{x_0}} \right) \le f(x) -f\left( {{x_0}} \right) \le 0\]
2. Montrer que $f$ est continue sur $] 0,+\infty[$.

Soit $f$ une fonction continue sur $ \left] {a,b} \right[$ tel que : $\left\{\begin{align*}&\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty \\ &\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=-\infty\end{align*}\right.$

1. Montrer que : $\exists(\alpha, \beta) \in\left] a, b\right[^{2}/\,\,\, f(\alpha) \cdot f(\beta)<0.$
2. En déduire que l’équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l’intervalle $] a, b[$.
3. Soit $g$ une fonction continue sur $[a, b]$. Montrer que: $\exists c \in] a, b[/\,\,\, f(c)=g(c)$
4. Montrer que : \[\exists c \in \left] {a,b} \right[/\,\,\,\sqrt {\frac{{b -c}}{{c -a}}} – \sqrt {\frac{{c -a}}{{b -c}}} = \sqrt {\left( {b -c} \right)\left( {c -a} \right)} \]

On considère la fonction $f(x)=(\sqrt[3]{1-x}-1)^{3}+1$.
Montrer que $f$ est une bijection de $]-\infty, 1]$ vers un intervalle à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x)$.

On considère la fonction $f(x)=\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\pi} \arcsin x}-1\right)^{3}$.

1. Déterminer le domaine de définition de $f$.
2. Montrer que $f$ est une bijection de $[-1,1]$ vers un intervalle à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x)$.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}.$

1. Déterminer le domaine de définition de $f$. est ce que $f$ réalise une bijection de $D_{f}$ vers $\mathbb{R}$?
2. Soit $g$ la restriction de $f$ à $I=\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right]$.
   1. Montrer que $g$ est une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer.
   2. Déterminer $g^{-1}(x)$.
   3. En déduire que : $(\forall x \in J): \arcsin\left(\dfrac{2 x}{1+x^{2}}\right)=\arccos\left(\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)$

Pour tout entier $n$ non nul on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par : $f_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k x^{k}.$

1. Montrer que pour tout $n \geq 1$ l’équation $f_{n}(x)=1$ admet un unique solution positive que l’on notera $u_{n}$
2. Comparer $u_{n}$ et $u_{n+1}.$

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\arcsin \left(\dfrac{2 x}{1+x^{2}}\right).$

1. Déterminer $D_{f}$.
2. Montrer que : $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-\pi-2 \arctan x & ; & x \leq-1 \\ 2 \arctan x & ; & -1 \leq x \leq 1 \\ \pi-2 \arctan x & ; & x \geq 1\end{array}\right.$
3. Soit $g$ la restriction de $f$ à $I=[1,+\infty[$.
   Montrer que $g$ est une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer puis déterminer $g^{-1}(x)$.

On considère la fonction $f$ définie par : $$\left\{\begin{array}{l}f(x)=\arcsin (2 x-1)+\arctan \sqrt{\dfrac{1-x}{x}} ; x \in\left] 0,1\right] \\ f(0)=0\end{array}\right.$$

1. Montrer que : $(\forall x \in] 0,1])\left(\exists \alpha \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right[\right):\quad x=\cos ^{2} \alpha.$
2. En déduire que $(\forall x \in[0,1]):\quad f(x)=\dfrac{\pi}{2}-\arccos \sqrt{x}.$
3. Que $f$ est une bijection de $[0,1]$ vers un intervalle $J$ à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x)$.

On considère la fonction $f$ définie par : $$f(x)=\arctan\left(\dfrac{x-\sqrt{1-x^{2}}}{x+\sqrt{1-x^{2}}}\right)$$

1. Déterminer $D_{f}$.
2. Montrer que : \[
   \left\{
   \begin{aligned}
   &f(x)=\arcsin x+\dfrac{3\pi}{4} &si & & -1\le x\le \dfrac{-\sqrt{2}}{2}\\
   & f(x)=\arcsin x-\dfrac{\pi}{4} &si & & -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\le x\le 1
   \end{aligned}
   \right.
   \]

On considère dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante : $$(E): \arctan (x+1)+\arctan (x-1)=\dfrac{\pi}{4}$$

1. Montrer que l’équation $( E )$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$ et qu’elle appartient $]0,1[$.
2. Résoudre l’équation $(E)$.
3. En déduire $\tan \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.

On considère la fonction $f_{n}$ définie par : $$f_{n}(x)=\sqrt[n]{\arctan (x)}-\arccos (\sqrt[n]{x})\,\,\text{ où }\,\,\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)$$

1. Montrer que $f_{n}$ est une bijection de $[0,1]$ vers un intervalle $J$ à déterminer.
2. 1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, l’équation $f_{n}(x)=0$ admet une unique solution $a_{n}$ dans l’intervalle $] 0,1$.
   2. Montrer que $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right)(\forall x \in] 0,1[$ ): $\sqrt[n]{x}<\sqrt[n+1]{x}$
   3. En déduire que : $\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\left( {\forall x \in \left] {0,1} \right[} \right):{f_n}\left( x \right) < {f_{n + 1}}\left( x \right)$
   4. Comparer $a_n$ et $a_{n+1}$

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que : $ab<1$. On pose : $$\alpha=\arctan(a) \quad \text{ et } \quad \beta=\arctan(b)$$

1. Montrer que $\cos (\alpha+\beta)=\cos (\alpha) \cos (\beta)(1-a b)$
2. En déduire que $-\dfrac{\pi}{2}<\alpha+\beta<\dfrac{\pi}{2}$
3. Montrer que : $\arctan(a)+\arctan(b)=\arctan\left(\dfrac{a+b}{1-a b}\right)$
4. Calculer $2 \arctan \left(\dfrac{1}{4}\right)+\arctan \left(\dfrac{1}{7}\right)+2 \arctan \left(\dfrac{1}{13}\right)$