Exercices : Introduction aux nombres rationnels – 2ac

On remarque que :  $72=9\times 2\times 4$ et $54=9\times 2\times 3$, alors :
\[\frac{{ – 72}}{{54}} = \frac{{ – 9 \times 2 \times 4}}{{9 \times 2 \times 3}} = \frac{{ – 4}}{3}\]On remarque que :  $165=11\times 3\times 5$ et $75=5\times 5\times 3$, alors : \[\frac{{165}}{{75}} = \frac{{11 \times 3 \times 5}}{{5 \times 5 \times 3}} = \frac{{11}}{5}.\]

On constate que $25$ est un multiple de $5$, donc $25$ est leur dénominateur commun, alors : \[\frac{6}{5} = \frac{{6 \times 5}}{{5 \times 5}} = \frac{{30}}{{25}}\quad et \quad \dfrac{17}{25}=\dfrac{17}{25}\]

On a : $24=8\times 3$ et $32=8\times 4$, donc : $8\times 3\times 4$ est un multiple commun de $24$ et $32$, alors :\[\frac{5}{{24}} = \frac{{5 \times 4}}{{24 \times 4}} = \frac{{20}}{{96}} \quad et \quad \frac{{ – 7}}{{32}} = – \frac{{7 \times 3}}{{32 \times 3}} = – \frac{{21}}{{96}}\]

Étape 1 : Écrire la relation proportionnelle $$\dfrac{15}{27} = \dfrac{-30}{x}.$$Cela signifie que : $$15 \times x = -30 \times 27.$$Étape 2 : Calculer le produit $$-30 \times 27 = -810.$$
Donc, on a : $$15 \times x = -810.$$Étape 3 : Divisons les deux membres de l’équation par $15$ : $$x = \dfrac{-810}{15}.$$Étape 4 : Calculer $x$
$$x = -54.$$Résultat final : $$\dfrac{15}{27} = \dfrac{-30}{-54}.$$

Calculons les produits en croix : $$45 \times 84 = 3780 \quad \text{ et } 60 \times 63 = 3780$$Conclusion
Puisque les produits en croix sont égaux $(45 \times 84=60 \times 63)$, cela montre que : $$\dfrac{45}{60} = \dfrac{63}{84}.$$Ainsi, les deux fractions sont égales.

Corrected ici

Corrected ici

Corrected ici

Calcul du débit de chaque robinet :

• Le robinet A remplit le bassin en 4 heures, donc son débit est :
  \[
  \text{Débit de } A = \frac{1}{4} \text{ du bassin par heure}
  \]
• Le robinet B remplit le bassin en 6 heures, donc son débit est :
  \[
  \text{Débit de } B = \frac{1}{6} \text{ du bassin par heure}
  \]

Calcul du temps nécessaire pour remplir la moitié du bassin avec le robinet A :

Étant donné que seul le robinet A est ouvert au début, le temps nécessaire pour remplir la moitié du bassin est :
\[
\text{Temps pour remplir la moitié du bassin} = \frac{0,5 \times 4}{1} = 2 \text{ heures}
\]
Ainsi, à 11h30, la moitié du bassin sera remplie, et on ouvre le robinet B.

Calcul du débit lorsque les robinets A et B sont ouverts ensemble :
Quand les deux robinets A et B sont ouverts ensemble, le débit total est :
\[
\text{Débit A+B} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \text{ du bassin par heure}
\]

Calcul du temps nécessaire pour remplir l’autre moitié du bassin :

Comme la moitié du bassin est déjà remplie, il reste à remplir l’autre moitié. Le temps nécessaire pour remplir l’autre moitié avec les deux robinets est :
\[
\text{Temps pour remplir l’autre moitié} = \frac{0,5}{\frac{5}{12}} = \frac{0,5 \times 12}{5} = \frac{6}{5} = 1,2 \text{ heures}=1h12min
\]

Détermination de l’heure à laquelle le bassin sera entièrement rempli :

Si on ouvre le robinet B à 11h30, et que les deux robinets mettent 1 heure et 12 minutes pour remplir l’autre moitié, le bassin sera entièrement rempli à :
\[
11h30 + 1h12 = 12h42
\]Ainsi, le bassin sera entièrement rempli à 12h42.