Enoncé 
On considère la fonction $ f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1} $.
On considère la fonction $ f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1} $.
- Montrer que $3$ est le maximum absolu de $f$ atteint en $x=1$.
- Montrer que $-1$ est le minimum absolu de $f$.
Exercice 2
Mathxi
- Analyse des variations et extrema d'une fonction rationnelle [Signaler une erreur]
- Analyse des variations et extrema d'une fonction rationnelle [Signaler une erreur]
Enoncé
On considère la fonction $ f(x)=\dfrac{4 x-3}{x^{2}+1} $.
On considère la fonction $ f(x)=\dfrac{4 x-3}{x^{2}+1} $.
- Montrer pour tout $ x $ et $ y $ de $\mathbb{R}$ tel que $ x \neq y $, on a : $$ \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{(2 x+1)(2-y)+(2 y+1)(2-x)}{\left(x^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)}.$$
- En déduire les variations de $ f $ sur $ [2,+\infty[ $, $ \left[-\dfrac{1}{2}, 2\right] $, et $ \left]-\infty,-\dfrac{1}{2}\right] $.
- Déterminer le maximum et le minimum absolus de $ f $.
- Montrer que $ f\left(\left[2,+\infty\right[\right)=\left] 0,1\right]$.
- On considère la fonction $g(x)=\dfrac{4x-3x^2}{1+x^2}.$
- Montrer que $(\forall x\neq 0)\,:\,\,\, g(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right).$
- En déduire les variations de la fonction $g$ sur chacun des intervalles : \[\left[ {2, + \infty } \right[\,\,,\,\,\left[ {\frac{1}{2},2} \right]\,\,,\,\,\left] {0,\frac{1}{2}} \right]\,\,,\,\,\left[ { – \frac{1}{2},0} \right[\,\,,\,\,\left[ { – 2, – \frac{1}{2}} \right]\,\,,\,\,\left] { – \infty , – 2} \right]\]
Enoncé
On considère les deux fonctions : $f(x)=\sqrt{x+1}$ et $g(x)=-x^3$.
On considère les deux fonctions : $f(x)=\sqrt{x+1}$ et $g(x)=-x^3$.
- Construire dans un même repère les courbes $ C_f $ et $ C_g $.
- En déduire que l’équation $ x^{3}+\sqrt{1+x}=0 $ admet une solution unique $ \alpha $ telle que $ -\dfrac{7}{8}<\alpha<-\dfrac{3}{4}.$
- Résoudre dans $ \left[-1,+\infty\right[ $ l’inéquation $ x^{3}+\sqrt{1+x}<0.$
- Déterminer graphiquement $ f\left(\left[-1,2\right]\right) $ et $ f\left(\left[3,+\infty\right[\right).$
Enoncé
On considère les fonctions $ f(x)=\sqrt{x+1} $ et $ g(x)=\dfrac{x+1}{x-2}.$
Déterminer le domaine de définition de $ h=g \circ f $ puis étudier ses variations.
On considère les fonctions $ f(x)=\sqrt{x+1} $ et $ g(x)=\dfrac{x+1}{x-2}.$
Déterminer le domaine de définition de $ h=g \circ f $ puis étudier ses variations.
Enoncé
On considère les fonctions $ f(x)=x^{2}-2x $ et $ g(x)=x^{2}-4x+5.$
Étudier les variations de la fonction $ h=g \circ f.$
On considère les fonctions $ f(x)=x^{2}-2x $ et $ g(x)=x^{2}-4x+5.$
Étudier les variations de la fonction $ h=g \circ f.$
Enoncé
On considère la fonction $ f(x)=\dfrac{8 x+4}{x^{2}+2 x+1}.$
On considère la fonction $ f(x)=\dfrac{8 x+4}{x^{2}+2 x+1}.$
- Déterminer $ D_f.$
- Montrer que $f$ admet un maximum absolu.
- On considère la fonction $ g(x)=4-x^{2} $.
- Déterminer une fonction $ h $ telle que $ \left(\forall x \in D_f\right)\,: \,\,\,f(x)=g \circ h(x)$.
- En déduire les variations de $f$.
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}+x^{2}+x $.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}+x^{2}+x $.
-
- Montrer que $ \left(\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2\right)\,:\,\,\, x^{2}+x(1+y)+y^{2}+y+1 > 0.$
- En déduire que $f $ est croissante sur $ \mathbb{R} $.
- On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : $ g(x)=\dfrac{1+x+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} $.
- Montrer que $ \left(\forall x \in \mathbb{R}_+^*\right)\,:\,\,\, g(x)=f\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right).$
- En déduire les variations de $g$ sur $ \mathbb{R}_+^*.$
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x^{2}+1}}$.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x^{2}+1}}$.
- Déterminer $D_f$.
- Monsrer que $\left(\forall x \in D_f\right)\,:\,\,\, f(-x)=\dfrac{1}{f(x)}$.
- Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}^{+}$ puis sur $\mathbb{R}^{-}$.
- Soit $g$ la restriction de $f$ sur $\mathbb{R}^{+}$.
Montrer que $g$ est une bijection de $\mathbb{R}^{+}$ sur $[1,+\infty[$ puis déterminer sa bijection réciproque.
Enoncé
On considère la fonction $f(x)=\dfrac{1}{x+1}\sqrt{x^{2}-1}$.
On considère la fonction $f(x)=\dfrac{1}{x+1}\sqrt{x^{2}-1}$.
- Déterminer $D_f$.
- On considère la fonction $g$ définie par : $g(x)=(f(x))^{2}$.Donner le tableau de variation de $g$ puis celui de $f$.
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie par : $ f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x} $ pour $ x \neq 0 $ et $ f(0)=0 $.
On considère la fonction $f$ définie par : $ f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x} $ pour $ x \neq 0 $ et $ f(0)=0 $.
- Montrer que $ \left(\forall x \in \mathbb{R}\right)\,:\,\, -1 < f(x) <1$.
- Monsrer que $1$ et $-1$ ne sont pas des extremums de la fonction $f$.
Exercice 11
Mathxi
- Étude des variations d'une fonction définie sur un intervalle [Signaler une erreur]
- Étude des variations d'une fonction définie sur un intervalle [Signaler une erreur]
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[$ par : $ f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{1-x}\right).$
On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[$ par : $ f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{1-x}\right).$
- Montrer que $ \left(\forall x \in ]0,1[\right)\,:\,\, f(x)=1-\dfrac{2}{x^{2}-x}.$
- Étudier les variations de la fonction $f$ sur chacun des intervalles $\left]0, \dfrac{1}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{1}{2},1\right[$.
- Quelle est la valeur maximale que prend le nombre $ A=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)$ lorsque $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs vérifiant $a+b=1$?
Exercice 12
Mathxi
- Analyse de l'injectivité et des variations de la fonction avec racine carrée [Signaler une erreur]
- Analyse de l'injectivité et des variations de la fonction avec racine carrée [Signaler une erreur]
Enoncé
On considère la fonction définie sur $[1,+\infty[$ par $f(x)=x-1-2 \sqrt{x-1}.$
On considère la fonction définie sur $[1,+\infty[$ par $f(x)=x-1-2 \sqrt{x-1}.$
- Déterminer $A=f^{-1}\left(\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}\right)$ et en déduire que $f$ n’est pas injective.
- On considère les deux fonctions $u(x)=x^{2}-2 x$ et $v(x)=\sqrt{x-1}.$
- Montrer que pour tout $x \in[1,+\infty[$, on a : $f(x)=(u \circ v)(x).$
- Étudier les variation de $f$.
- En déduire que $f$ n’est pas surjective de $[1,+\infty[$ vers $\mathbb{R}$.
- Déterminer le maximum absolu de la fonction $g(x)=\dfrac{1}{x}\left(1-2 \sqrt{x-x^{2}}\right)-1$ sur l’intervalle $\left[\dfrac{2}{5}, \dfrac{1}{2}\right]$
Exercice 13
Mathxi
- Étude des variations et des limites d'une fonction fractionnaire [Signaler une erreur]
- Étude des variations et des limites d'une fonction fractionnaire [Signaler une erreur]
Enoncé
On considère la fonction $f(x)=\dfrac{\sqrt{|x|}-2}{\sqrt{|x|}+2}.$
On considère la fonction $f(x)=\dfrac{\sqrt{|x|}-2}{\sqrt{|x|}+2}.$
- Déterminer le domaine de définition de $f$ et étudier sa parité.
- Étudier les variations de $f$.
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a : $-1 \leq f(x) < 1.$
- Montrer que $-1$ est le minimum absolu de $f$, et que $f$ n’admet pas de maximum absolu.
- Montrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}^{+}$ vers $[-1,1[$, puis déterminer sa bijection réciproque.
Exercice 14
Mathxi
- Analyse des extremums d'une fonction sur les réels positifs [Signaler une erreur]
- Analyse des extremums d'une fonction sur les réels positifs [Signaler une erreur]
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$par $f(x)=\dfrac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}+\sqrt{1+x}.$
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$par $f(x)=\dfrac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}+\sqrt{1+x}.$
- Montrer que $-1$ est le minimum absolu de $f$.
- Montrer que la fonction $f$ n’est pas majorée.
Enoncé
On considère les deux fonctions définies par : $f(x)=x^{2}-2 x+2$ et $g(x)=\sqrt{x-1}+1.$
On considère les deux fonctions définies par : $f(x)=x^{2}-2 x+2$ et $g(x)=\sqrt{x-1}+1.$
- Étudier les variations des deux fonctions $f$ et $g$.
- Soit $h$ la restriction de $f$ à l’intervalle $[1,+\infty[$.
- Montrer que $f \circ h$ et $h\circ f$ sont définies sur $[1,+\infty[$.
- Montrer que $f \circ h=h \circ f=Id$.
- En déduire que $f$ et $h$ sont des bijections de $[1,+\infty[$ vers $[1,+\infty[$ et déterminer leur bijection réciproque.
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $[0,12]$ par : $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{12-x}.$
On considère la fonction $f$ définie sur $[0,12]$ par : $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{12-x}.$
-
- Montrer que $(\forall x \in[0,12])\,:\,\,\, 12-x \in[0,12]$ et $f(12-x)=f(x)$.
- Montrer que pour tout $(x, y) \in\mathbb{R}^{2}$ les points $M(x, y)$ et $M(12-x, y)$ son symétriques par rapport à la droite $(D)\,:\,\,\, x=6$.
- En déduire que la droite $(D)\,:\,\,\, x =6$ est un axe de symétrie de la courbe $\left(C_{f}\right)$.
- Étudier les variation de la fonction $f$ sur $[0,6]$ puis sur $[6,12]$.
- En déduire la comparaison des nombres $\sqrt{2}+\sqrt{10}$, $\sqrt{3}+3$ et $\sqrt{5}+\sqrt{7}.$
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par : $f(x)=E\left(x^{2}\right)-2 E(x).$
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par : $f(x)=E\left(x^{2}\right)-2 E(x).$
-
- Montrer que $\left(\forall x \in\mathbb{R}^{+}\right)\,:\,\,\,(E(x))^{2} \leq E\left(x^{2}\right)$.
- En déduire que $-1$ et le maximum absolu de $f$.
- On pose $x=n+\dfrac{1}{2}$ avec $x \in\mathbb{N}$.
- Calculer $f(x)$ en fonction de $n$.
- En déduire que $f$ n’est pas majorée.