Exercices : Équations et inéquations – 3ac

1. Résolvons l’équation $x + \sqrt 2 = 3\sqrt 2$ :
   $$\begin{aligned}
   & x + \sqrt 2 = 3\sqrt 2 \\
   & x = 3\sqrt 2 -\sqrt 2 \\
   & x = \boxed{2\sqrt 2}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $2\sqrt 2$.
2. Résolvons l’équation $4x -5 = x + \frac{1}{2}$ :
   $$\begin{aligned}
   & 4x -5 = x + \frac{1}{2}\\
   & 4x -x = \frac{1}{2} + 5\\
   & 3x = \frac{1}{2} + \frac{{10}}{2}\\
   & 3x = \frac{{11}}{2}\\
   & x = \frac{{11}}{2} \times \frac{1}{3}\\
   & x = \boxed{\frac{{11}}{6}}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $\frac{11}{6}$
3. Résolvons l’équation $2x + 1 = \sqrt 3 x + 4$ :
   $$\begin{aligned}
   & 2x + 1 = \sqrt 3 x + 4\\
   & 2x -\sqrt 3 x = 4 -1\\
   & \left( {2 -\sqrt 3 } \right)x = 3\\
   & x = \frac{3}{{2 -\sqrt 3 }}\\
   & x=\boxed{3\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $3\left(2+\sqrt 3\right)$
4. Résolvons l’équation $4x -4\sqrt 7 = x + 2\sqrt 7$ :
   $$\begin{aligned}
   & 4x -4\sqrt 7 = x + 2\sqrt 7 \\
   & 4x -x = 2\sqrt 7 + 4\sqrt 7 \\
   & 3x = 6\sqrt 7 \\
   & x = \boxed{\frac{{6\sqrt 7 }}{3} = 2\sqrt 7}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $2\sqrt 7$
5. Résolvons l’équation $2\left( {x + 3} \right) -3x = -4\left( { -x -5} \right)$ :
   $$\begin{aligned}\mathbf 5.\quad
   & 2\left( {x + 3} \right) -3x = -4\left( { -x -5} \right)\\
   & 2x + 6 -3x = 4x + 20\\
   & 2x -3x -4x = 20 -6\\
   & -5x = 14\\
   & x = \frac{{ -14}}{5}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $\frac{-14}{5}$
6. Résolvons l’équation $\sqrt 3 \left( {x + \sqrt 3 } \right) = 2\left( {x -\sqrt 3 } \right)$ :
   $$\begin{aligned}\mathbf 6.\quad
   & \sqrt 3 \left( {x + \sqrt 3 } \right) = 2\left( {x -\sqrt 3 } \right)\\
   & \sqrt 3 x + 3 = 2x -2\sqrt 3 \\
   & \sqrt 3 x -2x = -2\sqrt 3 + 3\\
   &\left( {\sqrt 3 -2} \right)x = -2\sqrt 3 + 3\\
   & x = \frac{{ -2\sqrt 3 + 3}}{{\sqrt 3 -2}}\\
   & x = \boxed{2\sqrt 3 -3}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $2\sqrt 3 -3$
7. Résolvons l’équation $\frac{x}{2} + \frac{3}{2} = \frac{{2x}}{3} -\frac{5}{2}$ :
   $$\begin{aligned}
   & \frac{x}{2} + \frac{3}{2} = \frac{{2x}}{3} -\frac{5}{2}\\
   & \frac{{3x + 9}}{6} = \frac{{4x -15}}{6}\\
   & 3x + 9 = 4x -15\\
   & 3x -4x = -15 -9\\
   & -x = -24\\
   & x = \boxed{24}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $24$
8. Résolvons l’équation $\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{2x -4}}{5}$ :
   $$\begin{aligned}
   & \frac{{x + 1}}{3} = \frac{{2x -4}}{5}\\
   & 5\left( {x + 1} \right) = 3\left( {2x -4} \right)\\
   & 5x + 5 = 6x -12\\
   & 5x -6x = -12 -5\\
   & -x = -17\\
   & x = \boxed{17}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $17$
9. Résolvons l’équation $\frac{{4 + x}}{3} -\frac{{2x -1}}{8} = \frac{{x + 4}}{4}$ :
   $$\begin{aligned}
   & \frac{{4 + x}}{3} -\frac{{2x -1}}{8} = \frac{{x + 4}}{4}\\
   & \frac{{8\left( {4 + x} \right)-3\left( {2x -1} \right)}}{{24}} = \frac{{6\left( {x + 4} \right)}}{{24}}\\
   & 8\left( {4 + x} \right) -3\left( {2x -1} \right) = 6\left( {x + 4} \right)\\
   & 32 + 8x -6x + 3 = 6x + 24\\
   & 8x -6x -6x = 24 -32 -3\\
   & -4x = -11\\
   & x = \frac{{ -11}}{{ -4}} = \frac{{11}}{4}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $\frac{{11}}{4}$

Soit $x$ la masse de Laila (en kg).
Alors la masse de Imad est $x+15$.

On a donc :

$$
x + (x+15) = 135
$$
$$
\begin{aligned}
x + x + 15 &= 135 \\
2x &= 135 – 15 \\
2x &= 120 \\
x &= \frac{120}{2} \\
x &= 60
\end{aligned}
$$

Donc :

• Masse de Laila : $60\ \text{kg}$
• Masse de Imad : $60+15=75\ \text{kg}$

Coût avec le tarif (1) : $C_1=40n. $

Coût avec le tarif (2) : $C_2=360+16n.$

Le tarif (1) est avantageux lorsque $C_1< C_2$. Résolvons :

$$
\begin{aligned}
360+16n & < 40n\\
360 & <40x-16n\\
360 & < 24n\\
\frac{360}{24} & < n \\
15 & < n
\end{aligned}
$$

Comme $n$ est un nombre entier, l’inégalité $15 < n$ signifie : $n \ge 16$.

Vérification :

• Pour $n=15$ : $C_1=40\times15=600$ et $C_2=360+16\times15=600$ → mêmes coûts.
• Pour $n=16$ : $C_1=40\times16=640$ et $C_2=360+16\times16=616$ → l’abonnement est moins cher.

Conclusion : L’abonnement (tarif (2)) devient avantageux à partir de 16 tickets.