Exercices : Ensembles de nombres – TCS

Rendre le dénominateur de chacun des nombres suivants un nombre entier :

1. $A = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
2. $B = \dfrac{{\sqrt 2 + 3}}{{2\sqrt 3 + \sqrt 5 }}$
3. $C = \dfrac{1}{{\sqrt {14} + \sqrt {21} + \sqrt {15} + \sqrt {10} }}$
4. $D = \dfrac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 + \sqrt 5 }}$

Démontrer les égalités suivantes :

1. $\sqrt {8 + \sqrt {15} } = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {1 + \sqrt {15} } \right)$
2. $\sqrt {17 + 12\sqrt 2 } + \sqrt {17 – 12\sqrt 2 } = 6$

Considérons le nombre : $A=\sqrt{6-2\sqrt{5}}-\sqrt{6+2\sqrt{5}}$

1. Déterminer le signe du nombre $A$.
2. Calculer $A^2$ et en déduire une forme simplifiée pour le nombre $A$.

Soit $a$ et $b$ dans $\mathbb{R}$ tels que $a+b=10$ et $ab=1$.

1. Calculer $\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
2. Calculer $\dfrac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$.

Soit $x$ et $y$ deux éléments de $\mathbb{R}$.

1. Montrer que si $x^2+y^2=0$, alors $x=y=0$.
2. Trouver tous les nombres réels $a$ et $b$ vérifiant : $2a^2+b^2+1=2ab-2a$.

Soit $x$ et $y$ deux entiers naturels premiers entre eux tels que : $\dfrac{1001}{5577}+\dfrac{285}{665}=\dfrac{x}{y}$.
Calculer $x+y$.

Soit $x$ et $y$ deux nombres entiers rationnels tels que : $x^2+2y+6=x(y+6)$.

1. Montrer que : $\big(2x-(y+6)\big)^2=(y+2)^2+8$.
2. Déterminer les valeurs de $x$ et $y$.

Trouver un nombre naturel $n$ composé de deux chiffres tel que : $\sqrt{n+\sqrt{n+7}}\in\mathbb{N}$

Effectuer les expressions : $A=x^8+x+1$ et $B=x^{10}+x^5+1$.