Exercices : Ensemble N – Notions d’arithmétique – TCS

Démontrez les affirmations suivantes :

1. Si $a$ et $b$ sont pairs, alors $a+b$ est pair.
2. Si $a$ et $b$ sont impairs, alors $a+b$ est pair.
3. Si $a$ est pair et $b$ est impair, alors $a+b$ est impair.
4. Si $a$ et $b$ sont pairs, alors $ab$ est pair.
5. Si $a$ et $b$ sont impairs, alors $ab$ est impair.
6. Si $a$ est pair et $b$ est impair, alors $ab$ est pair.
7. Si $a$ et $b$ sont deux nombres consécutifs, alors l’un est pair et l’autre est impair.

1. Démontrez que si $a$ est pair, alors $a^2$ est pair.
2. Démontrez que si $a$ est impair, alors $a^2$ est impair.
3. En déduisez que si $a^2$ est pair, alors $a$ est pair, et si $a^2$ est impair, alors $a$ est impair.
4. Démontrez que $\sqrt{2}\not\in \mathbb{Q}$.

Soit $a$ un nombre impair.

1. Démontrez que $a^2-1$ est un multiple de $8$.
2. En déduisez que $a^4-1$ est un multiple de $16$.
3. Démontrez que si $m$ et $n$ sont des nombres impairs, alors $8$ divise $m^2+n^2+6$.

Soit $x\in \mathbb{N}$.

1. Développez et simplifiez $(x+1)^2-x^2$.
2. En déduisez que tout nombre impair est une différence de deux carrés parfaits.
3. Écrivez le nombre $2005$ comme différence de deux carrés parfaits.
4. On considère le nombre $a=n^2+n+7$ où $n\in \mathbb{N}$.
   1. Démontrez que le nombre $a$ est impair.
   2. En déduisez que le nombre $a$ est une différence de deux carrés parfaits.

Soit $m$ et $n$ de $\mathbb{N}$ tels que $m>n$.

1. Démontrez que $m+n$ et $m-n$ ont la même parité.
2. Déterminez les entiers naturels $x$ et $y$ qui satisfont $x^2-y^2=12$.

1. Démontrez que : $a=3n^2+15n+7$ est un nombre impair.
2. Démontrez que : $b=5n^2-7n+4$ est un nombre pair.
3. Démontrez que : $c=n^4-n^2+16$ est un multiple de $4$.

Déterminez les entiers naturels $n$ qui vérifient $5n<32<5(n+1)$.

Déterminez le plus grand diviseur commun et le plus petit multiple commun des nombres $a$ et $b$ dans les cas suivants :

1. $a=214$ et $b=816$
2. $a=7371$ et $b=4095$
3. $a=1959$ et $b=1963$

1. Déterminez le nombre $a$ pour que le nombre $\overline {4a3a}$ soit divisible par $9$.
2. Déterminez les nombres $a$ et $b$ pour que le nombre $\overline{65ab}$ soit divisible par $3$ et $4$.

Démontrez que pour tout entier naturel $n$, le nombre $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$ est un entier naturel.

1. Démontrez que si $d$ divise $a$ et $b$, alors $d$ divise $ax+by$ pour tout $x$ et $y$ de $\mathbb{N}$.
2. Démontrez que si $d$ divise $ab$ et $a+b$, alors $d$ divise $a^2$.
3. Déterminez $\left( {{n^2} + n + 1} \right) \wedge \left( {n + 1} \right)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
4. Déterminez $\left( {{2^{n + 1}} – 1} \right) \wedge \left( {{2^n} – 1} \right)$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$.

Déterminez parmi les nombres suivants ceux qui sont premiers :

1. $119$
2. $503$
3. $1559$
4. $2523$
5. $341$
6. $2027$

Soit $n\in\mathbb{N}^*$.

1. Démontrez que $n^3-n=(n+2)(n^2-2n+3)-6$.
2. En déduisez les valeurs de $n$ pour que $\dfrac{n^3-n}{n+2}$ soit un entier naturel.

Soit $a\in\mathbb{N}$. Sachant que le reste de la division de $a$ par $12$ est $6$, quel est le reste de la division de $a$ par $4$, $3$, et $2$?