Exercices : Droite dans le plan – TCS

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$
Soit $ABC$ triangle, $I$, $J$, et $K$ sont trois points tels que :
$$\overrightarrow{BI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{CJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA}, \quad\overrightarrow{AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.
$$

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ par rapport à la base $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
2. Conclure que les points $I$, $J$, et $K$ sont alignés.

Le plan est muni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par $A(1,2)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(1,-1)$.
2. Soit $(\Delta)$ la droite dont la représentation paramétrique : $$\left\{\begin{aligned}x &= 1 + 2t \\y &= 2 -t\end{aligned}\right.$$
   1. Trouver un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$.
   2. Déterminer trois points appartenant à $(\Delta)$.
   3. Déterminer parmi les points $A(3,1)$ et $B(1,-1)$ celui qui appartient à la droite $(\Delta)$.
3. Déterminer le point d’intersection des droites $(D)$ et $(\Delta)$.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$ Soient les points $A(1,-1)$, $B(3,1)$, $C(1,-1)$.

1. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $D$ passant par $A$ et dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u}(1,2)$.
2. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(BC)$.
3. Étudier l’intersection des deux droites $(BC)$ et $(D)$.
4. Donner la représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $E(-2,1)$ et parallèle à la droite $\,\,(L) :\,\, 2x -y + 1 = 0$.
5. Étudier l’intersection des deux droites $(\Delta)$ et $(D)$.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$ On considère les deux droites : $$(D) \,\,:\,\, x-y = 0 \quad\text{et}\quad (D^\prime) \,\,:\,\, 3x -5y + 6 = 0$$

1. Trouver la représentation paramétrique des droites $(D)$ et $(D^\prime)$.
2. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ passant par $B(1,0)$ et parallèle à $(EC)$, où $E(3,3)$ et $C(4,0)$.
3. Déterminer les coordonnées du point $I$, intersection des droites $(\Delta)$ et $(D)$, ainsi que les coordonnées du point $J$, intersection des droites $(\Delta)$ et $(D^\prime)$.
4. Montrer que $J$ est le milieu du segment $[IB]$.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$
Considérons la droite $(\Delta) \,\,:\,\, 2x -y + 2 = 0$ et les points $A(3,2)$, $B(4,-2)$, et $C(-2,-2)$.

1. Trouver les coordonnées du point d’intersection $I$ de la droite $(\Delta)$ avec l’axe des ordonnées.
2. Montrer que les droites $(AI)$ et $(BC)$ sont parallèles.
3. Trouver l’équation cartésienne de la droite $(AB)$.
4. Montrer que les droites $(\Delta)$ et $(AB)$ se coupent en $E(2,6)$.
5. Soit $M_1$ et $M_2$ respectivement les milieux des segments $[AI]$ et $[BC]$.
   1. Déterminer les coordonnées des points $M_1$ et $M_2$.
   2. Montrer que les points $E$, $M_1$ et $M_2$ sont alignés.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$ Considérons les points $A(2,6)$ et $C(4,0)$.

1. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(AC)$.
2. Considérons la droite $(\Delta_1)$ dont l’une des représentations paramétriques est :$$\left\{\begin{aligned}x &= \frac{11}{2} +\frac{5}{2}t \\y &= \frac{7}{2}+\frac{1}{2}t \\\end{aligned}\right. \quad (t \in \mathbb{R})$$
3. Vérifier que l’équation $x-5y + 12 = 0$ est l’équation cartésienne de la droite $(\Delta_1)$.
4. Déterminer les coordonnées du point $I$, intersection des droites $(\Delta_1)$ et $(AC)$, et montrer que $I$ est le milieu du segment $[AC]$.
5. On considère la droite $(\Delta_2)$ d’équation $x+y=0$, et soit $B$ un point de $(\Delta_1)$ et $D$ un point de $(\Delta_2)$Déterminer les coordonnées des points $B$ et $D$ tels que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$ Considérons les droites $(D)$ et $(D’)$ définies respectivement par les équations paramétriques suivantes : $$
(D)\,\,:\,\, \left\{
\begin{aligned}
x &= 1 \\
y &= 2 -t
\end{aligned}
\right. \quad (t \in \mathbb{R})
\quad\text{et}\quad
(D’)\,\,:\,\, y=-2
$$

1. Déterminer le point d’intersection de $(D)$ avec l’axe des abscisses.
2. Déterminer le point d’intersection de $(D’)$ avec l’axe des ordonnées.
3. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(D)$ et une représentation paramétrique de la droite $(D’)$.
4. Déterminer les coordonnées du point d’intersection $I$ des droites $(D)$ et $(D’)$.
5. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ passant par $A(-1,1)$ et dirigée par le vecteur $\vec i$.
6. Montrer que les droites $(\Delta)$ et $(D)$ sont parallèles.

Soit $MNQ$ un triangle. On associe le plan au repère $(M,\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MQ})$

1. Déterminer les coordonnées du point $P$ pour que le quadrilatère $MNPQ$ soit un parallélogramme.
2. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(QJ)$ où $J$ est le milieu du segment $[MN]$.
3. Considérons la droite $(D)$ passant par $P$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}=-2\vec i+\vec j$.Montrer que les droites $(D)$ et $(QJ)$ sont parallèles.

Soit $ABCD$ un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$ tels que : $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}$.
On considère le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$.

1. Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$.
2. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(AC)$.
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(BD)$.
4. Vérifier que le point $L\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) est l’intersection des droites $(AC)$ et $(BD)$.
5. Soient $I$ et $J$ les milieux respectif des segments AL et BL. Montrer que CDIJ est un parallèlograme
6. Soient $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AL]$ et $[BL]$. Montrer que $CDIJ$ est un parallélogramme.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$ On considére les droites :
\[\begin{align*}
&\left( {{\Delta _m}} \right)  &&:\quad \left( {m -1} \right)x + \left( {m -2} \right)y + 3m -5 = 0\\
&\left( D \right) &&:\quad 2x -y + 5 = 0\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\\
&\left( {D’} \right)&&:\quad\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 -3t\\
y = 2 + t
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {t \in R} \right)
\end{align*}\]

1. Déterminer la valeur du paramètre $m$ dans chacun des cas suivants : $(D)\parallel(\Delta_m)$ ; $(D’)\parallel(\Delta_m)$ ; $(O,\vec j)\parallel(\Delta_m)$
2. Trouver la valeur de $m$ pour laquelle $A(1,1)$ appartient à $(\Delta_m)$.
3. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(L)$ passant par $A$ et parallèle à $(D)$.