Exercices : Calcul vectoriel – TCS

Soit $ABC$ un triangle. $M$, $N$, et $P$ sont respectivement les milieux des segments $[BC]$, $[CA]$, et $[AB]$.
Montrez que :  $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow 0.$

Soit $ABC$ un triangle. $I$, $J$, et $K$ sont trois points tels que : $$\overrightarrow {BI} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {BC}\,\,\,;\,\,\,\overrightarrow {CJ} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {CA}\,\,\,;\,\,\,\overrightarrow {AK} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {AB}$$Montrez que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.

Soit $ABC$ un triangle. $I$, $J$, et $K$ sont respectivement les milieux des segments $[BC]$, $[CA]$, et $[AB]$. Soit $L$ un point tel que $KBJL$ est un parallélogramme.

1. Construisez le point $L$.
2. Montrez que $J$ est le milieu de $[IL]$.
3. En déduisez que $ALCI$ est un parallélogramme.

Soient $A$, $B$, et $C$ trois points non alignés.

1. Exprimez $\overrightarrow {AB}$ en fonction de $\overrightarrow {CA}$ et $\overrightarrow {CB}$.
2. Soit $M$ un point tel que $\overrightarrow {CM}=3\overrightarrow {MB}$. Exprimez $\overrightarrow {AM}$ en fonction de $\overrightarrow {CA}$ et $\overrightarrow {CB}$.
3. Les points $A$, $M$, et $B$ sont-ils alignés ?

Soit $ABC$ un triangle. $M$ et $N$ sont deux points tels que : $$\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}\,\,\,;\,\,\,
\overrightarrow {NA} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {NC}$$

1. Montrez que $\overrightarrow {MC}$ et $\overrightarrow {BN}$ sont colinéaires.
2. Soit $I$ le milieu du segment $[BN]$. Construisez le point $D$ tel que $\overrightarrow {CI} + \overrightarrow {DI} = \overrightarrow {0}$, puis montrez que $BCND$ est un parallélogramme.

Soit $ABC$ un triangle. $B’$ et $C’$ sont deux points tels que : $\overrightarrow {AB’} = k\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC’} = (1-k)\overrightarrow {AC}$, avec $k\in\mathbb{R}$, et $I$ est le milieu du segment $[B’C’]$.

1. Montrez que : $\overrightarrow {AI} = \dfrac{{1 – k}}{2}\overrightarrow {AC} + \dfrac{k}{2}\overrightarrow {AB}$.
2. On Considère le point $A’$ tel que $I$ soit le milieu de $[AA’]$. Montrez que $\overrightarrow {BA’} = \left( {1 – k} \right)\overrightarrow {BC}$.
3. Montrez que : $\overrightarrow {IA} + k\overrightarrow {IB} + \left( {1 – k} \right)\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$.

Soit $ABC$ un triangle. $D$, $E$, et $F$ sont trois points tels que :
$$\overrightarrow {BD} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BC}\,\,\,;\,\,\,\overrightarrow {AE} = -2\overrightarrow {AD}\,\,\,;\,\,\,\overrightarrow {BF} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow {BE}$$

1. Construisez les points $D$, $E$, et $F$.
2. Montrez que $\overrightarrow {EA} = 2\overrightarrow {AB} + \dfrac{4}{3}\overrightarrow {BC}$ et que $\overrightarrow {FB} = \dfrac{9}{5}\overrightarrow {AB} + \dfrac{4}{5}\overrightarrow {BC}$.
3. Montrez que les points $A$, $F$, et $C$ sont alignés et que $F$ est le point d’intersection des droites $(AC)$ et $(BE)$.

$A$, $B$, et $C$ sont trois points non alignés, et $E$ et $F$ sont deux points tels que : $\overrightarrow {AE} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AF} = 3\overrightarrow {AC}$.

1. Construire la figure.
2. Soit $P$ le point d’intersection des droites $(BC)$ et $(EF)$. Montrez que $\overrightarrow {AP} = 2\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC}$.

$A$, $B$, et $C$ sont trois points non alignés, et $D$ est un point tel que : $\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC}$. $E$ est le point d’intersection de $(AD)$ et $(BC)$.

1. Trouvez une relation entre $\overrightarrow {AD}$ et $\overrightarrow {AE}$.
2. Déterminez la position du point $E$ sur $\overrightarrow {BC}$.

Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe tel que $\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {BC}$. $M$ et $N$ sont les milieux des segments $[AB]$ et $[DC]$ respectivement.

1. Montrez que : $\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {BC}$.
2. Soit $I$ et $P$ les milieux des segments $[BC]$ et $[BD]$ respectivement, et $J$ un point tel que $\overrightarrow {AJ} = \dfrac{5}{6}\overrightarrow {AD}$. Exprimez $\overrightarrow {IJ}$ et $\overrightarrow {IP}$ en fonction de $\overrightarrow {BA}$ et $\overrightarrow {BC}$ et montrez que les points $I$, $P$, et $J$ sont alignés.

Soit $ABCD$ un parallélogramme et $E$ et $F$ deux points tels que : $\overrightarrow {BE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} $ et $\overrightarrow {AF} = 3\overrightarrow {AD}$.

1. Montrez que : $\overrightarrow {CE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {BC}$ et que $\overrightarrow {CF} = 2\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {DC}$.
2. Montrez que les points $E$, $F$ et $C$ sont alignés.
3. Soit $N$ le milieu du segment $[DF]$ et $M$ un point tel que $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BM}$.
   1. Calculez $\overrightarrow {CM}$ et $\overrightarrow {CN}$ en fonction de $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AD}$.
   2. Montrez que $C$ est le milieu du segment $[MN]$.
   3. Montrez que $\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {BD}$.

Soit $ABCD$ un trapèze tel que $(AB)\parallel(CD)$ et $I$ et $J$ les milieux des segments $[AB]$ et $[DC]$ respectivement.

1. 1. Montrez que pour tout point $M$ du plan, on a : $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MJ}$.
   2. En déduire la construction du point $N$ tel que : $\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow{0}$.
2. Soit $G$ un point tel que : $\overrightarrow {CG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CI}$. Montrez que les points $N$, $B$ et $G$ sont alignés.

$ABCD$ est un parallélogramme. $E$ et $F$ sont les milieux des segments $[AB]$ et $[CD]$ respectivement. Les droites $(BD)$ et $(CE)$ se coupent en $I$. Les droites $(BD)$ et $(AF)$ se coupent en $J$.
Montrez que $\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {JD}$.

Soit $ABC$ un triangle.

1. Construisez les points $P$, $Q$ et $E$ tels que : $\overrightarrow {AP} = 2\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AQ} = 5\overrightarrow {AC}$ et $\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AQ} + \overrightarrow {AP}$.
2. Quelle est la nature du quadrilatère $APEQ$ ?
3. Les droites $(AE)$ et $(BC)$ se coupent en un point $D$.
   1. Exprimez $\overrightarrow {AE}$ en fonction de $\overrightarrow {AD}$, $\overrightarrow {DC}$ et $\overrightarrow {DB}$.
   2. En déduire que $\overrightarrow {AE}=7\overrightarrow {AD}$.
4. Soit $I$ le point d’intersection des droites $(AE)$ et $(PQ)$.
   1. Montrez que $\overrightarrow {AD}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow {DI}$, puis en déduire que $\overrightarrow {AD}=\dfrac{1}{5}\Big(\overrightarrow {DP} + \overrightarrow {DQ}\Big)$.
   2. Exprimez les vecteurs $\overrightarrow {AP}$ et $\overrightarrow {AQ}$ en fonction de $\overrightarrow {DP}$ et $\overrightarrow {DQ}$.