Exercices : Calcul Trigonométrique – 1SM

Déterminer les abscisses curvilignes principales des points $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ dont l’une des abscisses est respectivement : $\dfrac{37 \pi}{3}, \dfrac{157 \pi}{4},-\dfrac{1115 \pi}{6}$ puis représenter ces points sur le cercle trigonométrique.

Représenter sur le cercle trigonométrique les points dont les abscisses curvilignes sont les nombres de la forme $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k \pi}{4}$ Avec $k \in \mathbb{Z}$.

Soit $ABC$ un triangle équilatère tel que $\overline {\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \equiv \dfrac{\pi }{3}[2\pi ]$.
Calculer : \[\overline {\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)} \quad ,\quad \overline {\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CB} } \right)} \quad ,\quad \overline {\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BA} } \right)}.\]

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls tel que : $(\overline{\vec{u}, \vec{v}}) \equiv \dfrac{3 \pi}{7}[2 \pi].$
Calculer : \[\overline {\left( {\overrightarrow u , – \overrightarrow v } \right)} \quad ,\quad \overline {\left( {\overrightarrow v ,2\overrightarrow u } \right)} \quad ,\quad \overline {\left( {\overrightarrow v , – 3\overrightarrow u } \right)} \quad ,\quad \overline {\left( { – \overrightarrow u , – \overrightarrow v } \right)} .\]

Soit $ABCD$ un parallélogramme, $M$ un point du segment $[AB]$ tel que $(DM)$ est bissectrice la de l’angle $\widehat {{\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {DA} } \right)}}$, et $N$ un point du segment $[AB]$ tel que $(CN)$ est la bissectrice de l’angle $\widehat {\left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CN} } \right)}.$
Démontrer que $(CN)$ et $(DM)$ sont perpendiculaires.

Soit $A$ et $B$ deux points du cercle trigonométrique tel que $\overline {\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)}  \equiv \dfrac{\pi}{2}[2 \pi].$
Déterminer le point $M$ du cercle trigonométrique vérifiant:\[\overline {\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OA} } \right)} \equiv 2\overline {\left( {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OM} } \right)} [2\pi ].\]

Calculer : $$\cos \left(\dfrac{7 \pi}{6}\right)\,\,\, ,\,\,\,\sin \left(\dfrac{176 \pi}{3}\right)\,\,\, ,\,\,\,\cos \left(-\dfrac{139 \pi}{6}\right)\,\,\, ,\,\,\,\tan \left(\dfrac{173 \pi}{4}\right)$$

Soit $U$ le cercle trigonométrique lié au repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$ dont les abscisses curvilignes sont respectivement : $$\dfrac{37 \pi}{2}\,\, , \,\,\dfrac{117 \pi}{6}\,\, , \,\,\dfrac{-151 \pi}{3}\,\, , \,\, \dfrac{11983 \pi}{4}$$

Soit $x$ un nombre réel. Simplifier les expressions : $$
\begin{aligned}
& A=\sin (x+\pi)+\cos (x-\pi)-\sin (x-7 \pi)+\cos (x-121 \pi) \\
& B=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)+\sin \left(\dfrac{117 \pi}{2}-x\right)-\cos \left(x-\dfrac{119 \pi}{2}\right)
\end{aligned}$$

Soit $A$, $B$, $C$ trois points du cercle trigonométrique d’abscisses curvilignes $\alpha$, $\alpha+\dfrac{2 \pi}{3}$, $\alpha+\dfrac{4 \pi}{3}$ respectivement, avec $\alpha \in \mathbb{R}$.

1. Montrer que $ABC$ est un triangle équilatère.
2. En déduire que :$$
   \begin{aligned}
   & \cos (\alpha)+\cos \left(\alpha+\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\cos \left(\alpha+\dfrac{4 \pi}{3}\right)=0 \\
   & \sin (\alpha)+\sin \left(\alpha+\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\alpha+\dfrac{4 \pi}{3}\right)=0
   \end{aligned}
   $$

Montrer que pour tout réel $x$ on a :$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\,\,\ \sin ^{4} x+\cos ^{4} x=1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x\\
\mathbf{2.}\,\,\ (1+\sin x+\cos x)^{2}=2(1+\sin x)(1+\cos x) \\
\mathbf{3.}\,\,\ 2\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)-3\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)=-1\\
\mathbf{4.}\,\,\sin ^{3} x+\cos ^{3} x-\sin x \cos x(\sin x+\cos x)=\sin x+\cos x
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ 2 \cos x+\sqrt{3}=0 &\quad\mathbf{2.}\ 2 \cos x-1=0 &\quad\mathbf{3.}\ \sqrt{2} \sin x-1=0\\
\mathbf{4.}\ \sin x-\cos x=0 &\quad\mathbf{5.}\ \tan x-1=0 &\quad\mathbf{6.}\ \sqrt{3} \tan x+1=0
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \tan (3 x)-\tan (x)=0 &\quad\mathbf{2.}\ \tan (3 x)+\tan \left(x-\dfrac{2 \pi}{3}\right)=0\\
\mathbf{3.}\ \tan (x) \tan (4 x)=-1 &\quad\mathbf{4.}\ \cos (2 x)+\cos (3 x)=2\\
\mathbf{5.}\ \cos ^{2}(2 x)+\cos ^{2}(3 x)=1 &
\end{array}$$

Résoudre dans $[0,2 \pi]$ les équations suivantes : :$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ \sin \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos \left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=0\\
\mathbf{2.}\ \sqrt{3} \tan ^{2} x+(\sqrt{3}-1) \tan x-1=0 \\
\mathbf{3.}\ -2 \sin ^{2} x+\cos x+1=0
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ 2 \cos x-1 \geq 0 &\quad\mathbf{2.}\ 2 \cos x-1<0\\
\mathbf{3.}\ 2 \sin x-\sqrt{3} \geq 0 &\quad\mathbf{4.}\ 2 \sin x+1<0
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \sqrt{2} \cos (2 x)+1<0 &\quad\mathbf{2.}\ \cos \left(2 x-\dfrac{\pi}{4}\right) \geq \dfrac{1}{2}\\
\mathbf{3.}\ \tan x-1>0 &\quad\mathbf{4.}\ \tan \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3} \leq 0
\end{array}$$

Résoudre dans $[-\pi, \pi]$ les inéquations suivantes :$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ 2 \cos (3x)+1>0 &\quad\mathbf{2.}\ \sqrt{2} \sin \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)<1\\
\mathbf{3.}\ 2 \cos ^{2} x>1 &\quad\mathbf{4.}\ 2 \sqrt{2} \sin ^{2}x+(\sqrt{2}-2) \sin x-1 \geq 0
\end{array}$$

Résoudre le système suivant :$$
\left\{\begin{array}{l}
2 \sin x=\cos y \\
\sin ^{2} x+\sin ^{2} y+\cos y+\dfrac{3}{4}=0
\end{array}\right.
$$

On considère la fonction $f(x)=\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}$

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ et montrer que : $$(\forall x \in \mathbb{R}) \,:\,\,\, f(x+\pi)=f(x).$$
2. Montrer que $(f(x))^{2}=2(1+|\sin x|)$ et en déduire que : $$(\forall x \in \mathbb{R})\,:\,\, \sqrt{2} \leq f(x) \leq 2.$$
3. Montrer que $f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sqrt{2} \sqrt{1+|\cos x|}$ puis résoudre dans $[0, \pi]$ l’équation $$f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=f(x).$$

Soient $a, b, c$ les longueurs des trois cotés d’un triangle.
Montrer que : $$\left(\forall x \in \mathbb{R}-\left\{\dfrac{k \pi}{2} / k \in \mathbb{Z}\right\}\right);\,\,\,\, a^{2}<\dfrac{b^{2}}{\cos ^{2} x}+\dfrac{c^{2}}{\sin ^{2} x}.$$

Soient $a$, $b$ et $c$ les mesures des trois angles d’un triangle. Montrer ce qui suit : $$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ \sin b \cdot \cos c+\sin c \cdot \cos b=\sin a \\
\mathbf{2.}\ a=b \cos c+c \cos b\\
\mathbf{3.}\ \tan b+\tan c=\dfrac{\sin a}{\cos b \cos c}
\end{array}$$

1. Montrer que si $|a| \leq 1$ et $|b| \leq 1$ alors : $$ab=1 \Leftrightarrow (a=1 \,\,\text{ et }\,\, b=1) \,\,\text{ ou }\,\, (a=-1 \,\,\text{ et }\,\, b=-1)$$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\sin (4 x) \sin (6 x)=1.$

Soit $a \in\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que : $\sin (a)=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$

1. Montrer que : $\cos (2a)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$ et en déduire $\cos (4a)$.
2. Montrer que $a$ est solution de l’équation : $\cos (4x)=\sin (x)$.
3. Résoudre dans $[0, \pi]$ l’équation $\cos (4 x)=\sin (x)$ et en déduire la valeur de $a$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $S_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{k} \cos ^{3}\left(3^{k} x\right).$

1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}\,:$ $$\cos ^{3}(x)=\dfrac{1}{4}(3 \cos x+\cos 3 x).$$
2. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N})(\forall x \in \mathbb{R})\,:$  $$S_{n}(x)=\dfrac{3}{4} \cos x+\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n} \cos \left(3^{n+1} x\right)$$

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}-\{2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\}$, on pose : $$
S=\cos x+\cos 2 x+\ldots  \cos n x$$Démontrer que : $$S=\dfrac{\sin \left(\dfrac{n x}{2}\right) \cos \left((n+1) \dfrac{x}{2}\right)}{\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)}$$

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $\cos 3 \mathrm{x}=\cos 4 \mathrm{x}$.
2. Démontrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $\left\{\begin{array}{l}\cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x \\ \cos 4 x=8 \cos ^{4} x-8 \cos ^{2} x+1\end{array}\right.$
3. En déduire que les solutions de l’équation : $8 X^{4}-4 X^{3}-8 X^{2}+3 X+1=0$ sont : $1$, $\cos \dfrac{2 \pi}{7}$, $\cos \dfrac{4 \pi}{7}$, $\cos \dfrac{6 \pi}{7}$.
4. Factoriser $8X^{4}-4X^{3}-8X^{2}+3X+1$, et en déduire que :$$
   \begin{aligned}
   & \cos \dfrac{2 \pi}{7} \times \cos \dfrac{4 \pi}{7} \times \cos \dfrac{6 \pi}{7}=\dfrac{1}{8} \\
   & \cos \dfrac{2 \pi}{7}+\cos \dfrac{4 \pi}{7}+\cos \dfrac{6 \pi}{7}=-\dfrac{1}{2}
   \end{aligned}
   $$

1. Résoudre dans l’équation : $\cos \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin \left(3 x-\dfrac{\pi}{12}\right)$. Préciser les solutions appartenant à $]-\pi,+\pi[$ et les représenter sur un cercle trigonométrique.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\sqrt{2} \sin ^{2} x+3 \cos x-2 \sqrt{2}=0$, puis représenter les solutions sur un cercle trigonométrique.
3. Soit $\alpha$ la solution commune aux 1) et 2) et appartenant à $]-\pi,+\pi]$. Exprimer $\cos \alpha$ en fonction de $\cos \dfrac{\alpha}{2}$ et de $\sin \dfrac{\alpha}{2}$. En déduire la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$ et de $\sin \dfrac{\pi}{8}$.
4. Procéder comme au 3) pour obtenir la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{16}$ et $\sin \dfrac{\pi}{16}$. Peut-on faire une conjecture sur l’expression de $\cos \dfrac{\pi}{2^{n}}$ et $\sin \dfrac{\pi}{2^{n}}$ pour $n \geq 2$ et si oui laquelle?

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \sqrt{2} \sin \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)-\sin x=\cos x &\quad\mathbf{2.}\ \sin 2 x+\cos 2 x=-1\\
\mathbf{3.}\ \tan x=\sin 2 x &\quad\mathbf{4.}\ \sin ^{3} x+\sin 3 x=0\\
\mathbf{5.}\ \sin ^{2} x+\dfrac{5}{2} \cos x=2
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ (\sqrt{3}-1) \sin ^{2} x-(1+\sqrt{3}) \cos x \sin x+1=0\\
\mathbf{2.}\ \tan x+2 \cos x-2 \sin x=1
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante et représenter sur le cercle trigonométrique.$$
2 \sin ^{2} x+\sqrt{3} \sin 2 x=3$$et représenter sur le cercle trigonométrique.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ 1+\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x=\cos x-\cos 2 x+\cos 3 x \\
\mathbf{2.}\ \tan x+\tan 2 x+\tan 3 x=0\\
\mathbf{3.}\ \sin 5 x-\sin 3 x=\cos 6 x+\cos 2 x\\
\mathbf{4.}\ \tan x=\dfrac{\tan 2 x+1}{\tan 2 x+1}\\
\mathbf{5.}\ \sin (5 x)+\sin x+2 \sin ^{2} x=1
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ \sin a+\sin (a+x)+\sin (a+2 x)+\sin (a+3 x)=0 \text{ avec } \sin a \neq 0 \\
\mathbf{2.}\ \tan (a+x) \tan (a-x)=\dfrac{1-2 \cos (2 a)}{1+2 \cos (2 a)},\,\,\,a\in\mathbb{R}
\end{array}$$

1. Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R})\,:\,\,\, \cos ^{6} x+\sin ^{6} x=\dfrac{5+3 \cos (4 x)}{8}.$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation : $\cos ^{6} x+\sin ^{6} x>\dfrac{13}{16}.$

On considère la fonction : $$
g(x)=4 \cos ^{2} x+\sqrt{3} \cos x \sin x+3 \sin ^{2} x-4$$

1. Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R})\,:\,\,\, g(x)=2 \sin x \cos \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $g(x)=0$ et représenter les solution sur le cercle trigonométrique.
3. Résouder dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $g(x) \leq 0$.
4. Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R})\,:\,\,\, g(x)=\sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{6}\right)-\dfrac{1}{2}.$
5. Calculer $g\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et en déduire les valeurs de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.

1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}\,:\,\,\, \sin 3 x=(1+2 \cos 2 x) \sin x.$
2. Soit $\alpha \neq k \pi$. Montrer que : $\cos \alpha+\cos 3 \alpha+\cos 5 \alpha=\dfrac{\sin 6 \alpha}{2 \sin \alpha}.$
3. En déduire : $S=\cos ^{2} \dfrac{\pi}{14}+\cos ^{2} \dfrac{3 \pi}{14}+\cos ^{2} \dfrac{5 \pi}{14}.$

1. Montrer que : $\sin \dfrac{\pi}{9} \sin \dfrac{2 \pi}{9}=\dfrac{1}{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{9}-\cos \dfrac{3 \pi}{9}\right)$.
2. Montrer que : $\cos \dfrac{\pi}{9} \sin \dfrac{4 \pi}{9}-\cos \dfrac{3 \pi}{9} \sin \dfrac{4 \pi}{9}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$
3. En déduire que : $\sin \dfrac{\pi}{9} \sin \dfrac{2 \pi}{9} \sin \dfrac{3 \pi}{9} \sin \dfrac{4 \pi}{9}=\dfrac{3}{16}.$
4. Montrer que : $P=\cos \dfrac{\pi}{9} \cos \dfrac{2 \pi}{9} \cos \dfrac{3 \pi}{9} \cos \dfrac{4 \pi}{9}=\dfrac{1}{16}$.

On considère les nombres :$$\begin{array}{l}
\ A=\cos \dfrac{2 \pi}{7}+\cos \dfrac{4 \pi}{7}+\cos \dfrac{6 \pi}{7} \\
\ B=\cos \dfrac{2 \pi}{7} \cos \dfrac{4 \pi}{7}  \cos \dfrac{6 \pi}{7} \\
\ C=\cos \dfrac{2 \pi}{7} \cos \dfrac{4 \pi}{7}+\cos \dfrac{4 \pi}{7}  \cos \dfrac{6 \pi}{7}+\cos \dfrac{6 \pi}{7}  \cos \dfrac{2 \pi}{7}\end{array}$$

1. Montrer que $A=4 B-1$.
2. Montrer que $C=A$.
3. Calculer $B\sin \dfrac{2 \pi}{7}$ et en déduire les valeurs de $A$, $B$ et $C$.
4. En déduire que : $\sin \dfrac{\pi}{7}\sin \dfrac{2 \pi}{7}\sin \dfrac{3 \pi}{7}=\dfrac{\sqrt{7}}{8}$.

Soient $a, b, c, d \in \mathbb{R}$. Montrer ce qui suit :$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ \sin a-\sin b+\sin c=4 \sin \dfrac{a}{2} \cos \dfrac{b}{2} \sin \dfrac{c}{2},\text{ avec } a+b+c=\pi.\\
\mathbf{2.}\ \sin (a+c) \sin (a+d)=\sin (b+c) \sin (b+d),\text{ avec }  \sin (a+b+c+d)=0.\\
\mathbf{3.}\ 4 \sin \dfrac{a+b}{2} \sin \dfrac{b+c}{2} \sin \dfrac{c+a}{2}=\sin a+\sin b+\sin c-\sin (a+b+c+d)
\end{array}$$

1. Montrer que : $$P=\cos \dfrac{\pi}{9} \cos \dfrac{2 \pi}{9} \cos \dfrac{3 \pi}{9} \cos \dfrac{4 \pi}{9}=\dfrac{1}{16}.$$
2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[{P_n} = \cos \left( {\frac{\pi }{{2n + 1}}} \right) \times \cos \left( {\frac{{2\pi }}{{2n + 1}}} \right) \times \cos \left( {\frac{{3\pi }}{{2n + 1}}} \right) \times \cdots \times \cos \left( {\frac{{n\pi }}{{2n + 1}}} \right) = \frac{1}{{{2^n}}}\]