Examen National de Mathématiques BTS – Session de Mai 2023

1. Déterminer la nature des séries numériques suivantes :
   1. $\displaystyle\sum_{n \geq 0} \dfrac{3^n}{n^2 + 1}$
      $\quad$(On pourra utiliser le critère de D’Alembert).
   2. $\displaystyle\sum_{n \geq 0} \left( \dfrac{2 \sqrt{e^n} + 1}{3 \sqrt{e^n} + 2} \right)^n $
      $\quad$(On pourra utiliser le critère de Cauchy).
2. 1. Montrer que la fonction $ x \mapsto \dfrac{\ln(x+1)}{x+1} $ est décroissante sur l’intervalle $ [2, +\infty[ $.
   2. En déduire la nature de la série $ \displaystyle\sum_{n \geq 2} (-1)^n \dfrac{\ln(n+1)}{n+1} $.

Barème : $(3pts)=(0.75+0.75)+(0.75+0.75)$

On considère l’équation différentielle suivante : $$(E) : y^{\prime\prime} – 6y^\prime + 5y = -4e^x .$$où $ y $ est une fonction de la variable réelle $ x $, deux fois dérivable sur $ \mathbb{R}$.

1. Résoudre l’équation différentielle homogène $ (H)\, :\,\,\, y^{\prime\prime} – 6y’ + 5y = 0 $.
2. Vérifier que la fonction $ g $ définie par : $ g(x) = xe^x $ est une solution particulière de $ (E) $.
3. Déduire la solution générale de l’équation $ (E) $.
4. Soient $ f $ la fonction numérique définie sur $ \mathbb{R} $ par : $ f(x) = (x+2)e^x $ et $ (C_f) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (O, \vec{i}, \vec{j}) $.
   1. En utilisant une intégration par parties, calculer l’intégrale $ I = \displaystyle\int_0^1 f(x) dx $.
   2. Déterminer le développement limité de $ f $ à l’ordre 2 au voisinage de 0.
   3. En déduire l’équation de la tangente $ (T) $ à $ (C_f) $ au point $ A(0, 2) $ et préciser sa position relative par rapport à $ (C_f) $.

Barème : $(7pts)=1+1+1+(1.5+1+1.5)$

On considère l’endomorphisme $f$ de $ \mathbb{R}^2 $ défini par : $ f(x, y) = (5x – 3y, 6x – 4y) $.
Et $ \mathcal{B} = (e_1, e_2) $ la base canonique de $ \mathbb{R}^2 $ (On rappelle que $ e_1 = (1, 0) $ et $ e_2 = (0, 1))$.

1. Montrer que la matrice de $f$ dans la base $ \mathcal{B} $ est $ A = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix} $.
2. Montrer que le polynôme caractéristique de $A$ est $ P(\lambda) = (\lambda + 1)(\lambda -2) $, puis déduire les valeurs propres $ \lambda_1 $ et $ \lambda_2 $ de la matrice $A$ où $ \lambda_1 < \lambda_2 $.
3. Soit $ \mathcal{B}’ = (u_1, u_2) $ où $ u_1 = (1, 2) $ et $ u_2 = (1, 1) $.
   1. Etablir que $ \mathcal{B}’ $ est une base de $ \mathbb{R}^2 $.
   2. Vérifier que $ u_1 $ et $ u_2 $ sont des vecteurs propres de $f$ associés respectivement aux valeurs propres $ \lambda_1 $ et $ \lambda_2 $.
4. Donner la matrice de passage $P$ de $ \mathcal{B} $ à $ \mathcal{B}’ $ et vérifier que $ P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $.
5. Déterminer la matrice diagonale $ D $ vérifiant $ A = PDP^{-1} $.
6. Calculer $ A^n $ en fonction de $n$ pour tout $n \in \mathbb{N} $.

Barème : $(6pts)=0.5+1+(0.5+1)+1+1+1$

Le tableau suivant présente l’évolution du budget publicitaire et du chiffre d’affaire d’une société au cours des $5$ dernières années:

Budget publicitaire en millions de dirhams: $x_i $	$10$	$12$	$14$	$16$	$18$
Chiffre d’affaire en millions de dirhams: $ y_i $	$52,5$	$57,5$	$70$	$77,5$	$92,5$

1. Déterminer le point moyen $ G $ de cette série statistique.
2. 1. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique.
   2. Peut-on envisager une relation linéaire entre les deux variables $x$ et $y$ ?
3. Montrer que l’équation de la droite de régression linéaire de $y$ en $x$ est : $ y = 5x $.
4. Estimer le budget publicitaire lorsque la société aura un chiffre d’affaire de $200$ millions de dirhams.

Barème : $(4pts)=1+(1+0.5)+1+0.5$