Devoir libre 1 – semestre 1 – 3ac

1. Développer et réduire les expressions suivantes :
   $$\begin{aligned}
   A &= {\left( {\sqrt 2 -5\sqrt 3 } \right)^2}\\
   B &= {\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^2}\\
   C &= \left( { -2x -\sqrt 7 } \right)\left( { -2x + \sqrt 7 } \right)
   \end{aligned}$$
2. Factoriser les expressions suivantes :
   $$\begin{aligned}
   D &= {\left( {x -5} \right)^2} -\left( {2x + 1} \right)\left( {x -5} \right)\\
   E &= 49{x^2} -14x + 1 -{\left( {3x -5} \right)^2}
   \end{aligned}$$

1. Écrire sous forme d’une seule puissance :
   \begin{array}{l}
   F = {a^2} \times {\left( {{a^3}} \right)^5}\\
   G = \dfrac{{{a^{12}}}}{{a \times {a^3}}}\\
   H = {27^2} \times {100^3}
   \end{array}
2. Donner l’écriture scientifique de $I$ :
   
   $$I = \dfrac{{7 \times {{10}^{ -12}} \times 36 \times {{10}^5}}}{{21 \times {{10}^{ -4}}}}$$

Calculer et simplifier :
$$\begin{aligned}
J &= 3\sqrt {50} -\sqrt {18} + 2\sqrt {72}\\
K &= {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 -1}}} \right)^{ -2}} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}} \right)^{ -2}}\\
L &= {\left( {\sqrt {6 + 2\sqrt 5 } } \right)^{ -1}} \times {\left( {\sqrt {6 -2\sqrt 5 } } \right)^{ -1}}\\
M &= \sqrt {\dfrac{{20 -4\sqrt 3 }}{{45 -9\sqrt 3 }}}\\
N &= {\left( {\sqrt 3 -\sqrt 2 } \right)^{2018}} \times {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^{2018}}\\
O &= \dfrac{{ -4}}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 -1}}
\end{aligned}$$

1. Écrire sans « $\sqrt{\quad}$ » au dénominateur :
   $$\begin{aligned}
   P &= \dfrac{{\sqrt 7 + 4}}{{3\sqrt 7 }}\\
   Q &= \dfrac{{\sqrt 3 }}{{3\sqrt 3 -2\sqrt 2 }}
   \end{aligned}$$
2. Montrer que : $\dfrac{1}{{3 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{1}{2}$