Devoir 5 – 2bac Sc. Maths – modèle 1

On considère la loi $*$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$ (\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2)\, :\,\,\,\, x * y = x + y + \sin(\pi x y) $$

1. 1. Montrer que la loi $*$ est commutative.
   2. Montrer que la loi $*$ admet un élément neutre.
2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 1 + x + \sin(\pi x).$
   1. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet au moins deux solutions distinctes $-1$ et $\alpha\in\left[-\dfrac{1}{2}, 0\right]$.
   2. En déduire que l’élément $1$ admet deux inverses distincts dans $(E, *)$.
   3. Montrer que la loi $*$ n’est pas associative.

Soit $E$ l’ensemble des fonctions deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$ qui vérifient :
$$ (\forall x \in \mathbb{R})\, :\,\,\, \varphi^{\prime\prime}(x) = (1 + x^2) \varphi(x) $$

1. Montrer que $(E, +, .)$ est un espace vectoriel réel de dimension finie.
2. On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
   $$ f(x) = e^{\frac{x^2}{2}} \quad \text{ et } \quad g(x) = f(x) \int_0^x \dfrac{1}{(f(t))^2} dt $$
   1. Montrer que $f \in E$.
   2. Montrer que $g \in E$.
3. Soit $h\in E$.
   1. Montrer que la fonction $h = h’f – hf’$ est constante sur $\mathbb{R}$.
   2. En déduire que la famille $(f,g)$ est génératrice de $E$.
4. Montrer que la famille $\{f, g\}$ est une base de $E$, et déterminer $\dim E$.

Pour tout $q \in \mathbb{Q}$, on considère l’ensemble :
$$ E_q = \left\{ M_{(a,b)} = \begin{pmatrix} a & q b \\ b & a \end{pmatrix} \ \big/ \ (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\} $$

1. Montrer que $(E, +, \times)$ est un espace vectoriel réel.
2. On pose $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $U = \begin{pmatrix} 0 & q \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.
   Montrer que la famille $\{I, U\}$ est une base de $E$.
3. 1. Montrer que $U^2 = qI$.
   2. En déduire que $U$ admet un inverse dans $(M_2(\mathbb{R}),\times)$ si et seulement si $q\neq 0$.
   3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$U^n = \begin{cases} q^{\frac{n}{2}} I & \text{si } n \text{ est pair} \\ q^{\frac{n-1}{2}} U & \text{si } n \text{ est impair} \end{cases}$$
4. 1. Montrer que $M_{(a,b)} \times M_{(a’,b’)} = M_{(a a’ + q b b’, a b’ + b a’)}$.
   2. Montrer que $(E, +, \times)$ est un anneau commutatif et unitaire.
   3. Montrer que $(E,+,\times)$ est un anneau intègre si et seulement si $q<0$.
   4. Montrer que $(E, +, \times)$ est un corps si et seulement si $q < 0$. Donner dans ce cas l'inverse de $M_{(a,b)}$.
5. On suppose que $q < 0$ et on considère dans $\mathbb{C}$ la loi $*$ définie sur $\mathbb{C}$ par : $$z * z' = (x x' + q y y') + i (x y' + y x') \,\,\text{ où }\,\, z = x + i y \,\,\text{ et }\,\, z' = x' + i y'$$
   1. Montrer que $E^*$ est une partie stable de $(E, \times)$, puis en déduire que $\mathbb{C}^*$ est une partie stable de $(\mathbb{C},*)$.
   2. On considère l’application :
      \[\begin{align*}
      \varphi\,\,:\,\, &(E^*,\times) \,\,\to \,\,(\mathbb{C}^*,*)\\
      &{M_{\left( {a,b} \right)}}\,\,\,\,\,\, \mapsto\,\, a + ib
      \end{align*}\]
      1. Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme bijectif de $(E^*,\times)$ dans $(\mathbb{C}^*,*)$.
      2. En déduire que $(E,+,\times)$ est un corps commutatif et déterminer l’inverse de chaque $z$ de $\mathbb{C}^*$.
   3. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, calculer : \[{i^{\left( n \right)}} = \underbrace {i*i* \ldots *i}_{n\,\,fois}\]
6. Soit $$C(E)=\bigg\{A\in M_2(\mathbb{R})\big/(\forall M\in E): AM=MA \bigg\}$$
   1. Montrer que $(C(E),+,\times)$ est un anneau commutatif et unitaire.
   2. Soit $A\in M_2(\mathbb{R})$. Montrer que : \[\bigg[ {\big( {\forall M \in C\left( E \right)} \big)\,\,:\,\,\,\,AM = MA} \bigg] \Leftrightarrow AU = UA\]
   3. Montrer que : $$\left( {A \in {M_2}\left( R \right)} \right)\,\,:\,\,\,\,\,\,\,AU = UA \Leftrightarrow A \in C\left( E \right)$$
   4. Déduire l’ensemble $C(E)$.