Devoir 4 – 2bac Sc. Maths – modèle 1

On considère les suites $ (I_n)_{n \in \mathbb{N}} $ et $(J_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies par : $$\begin{aligned}
I_n &= \int_0^1 (1-x)^n e^{-x^2} dx\\
J_n &= \int_0^1 x(1-x)^n e^{-x^2} dx
\end{aligned}$$

1. On considère la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par : $ f(x) = x e^{-x^2} $.Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations. $(1pt)$
   1. Montrer que $ (\forall n \in \mathbb{N}),\,\,\, 0 \leq J_n \leq \dfrac{1}{\sqrt{2e}(n+1)}.$ $(1pt)$
   2. En déduire que la suite $ (J_n) $ est convergente et calculer sa limite. $(0.5pt)$
2. Étudier la monotonie de la suite $(I_n)$. $(1pt)$
   1. Montrer que : $ (\forall n \in \mathbb{N}),\,\,\, I_n = \dfrac{1}{n+1}-\dfrac{2}{n+1} J_{n+1}.$ $(1pt)$
   2. En déduire $ \lim I_n $ puis $ \lim nI_n$. $(1pt)$

On considère la fonction $F$ définie par : $ F(x) = \displaystyle\int_0^{\ln x} \dfrac{e^t}{(1+t)^2} dt $

1. Montrer que l’ensemble de définition de la fonction $ F $ est $ D_F = \left]\dfrac{1}{e}, +\infty\right[$. $(1pt)$
2. 1. Montrer que  $ \left(\forall x \in \left]\dfrac{1}{e}, 1\right]\right),\,\,\, F(x) \leq x \left( 1 – \dfrac{1}{1 + \ln x} \right) $ $(1pt)$
   2. En déduire : $ \displaystyle\lim_{x \to \left( \frac{1}{e} \right)^+} F(x) $ $(0.5pt)$
3. 1. Montrer que : $ F(x) = \displaystyle\dfrac{x}{(1 + \ln x)^2} -1 + 2 \int_0^{\ln x} \dfrac{e^t}{(1+t)^3} dt $ $(1pt)$
   2. En déduire que $(\forall x\ge 1),\,\,\, F(x) \geq \dfrac{x}{(1 + \ln x)^{2}}-1$ et calculer $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} F(x).$ $(1pt)$
4. 1. Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur $\left]\dfrac{1}{e}, +\infty\right[$ et calculer $F'(x)$. $(1pt)$
   2. En déduire les variations de la fonction $ F $. $(0.5pt)$

On considère l’équation $$(E)\,\,:\,\,\,\, z^2 + az + b = 0\,\,\,\,\text{ où }\,\,\,\,(a, b) \in \mathbb{C}^{*2}.$$Soient, $z$ et $z’$ les solutions de l’équation $(E)$.
Première partie:

1. On suppose que $|z| = |z’| = 1$.
   1. 1. Montrer que $|b| = 1$ et $|a| \leq 2$.
      2. Montrer que $\left(\forall u, v \in \mathbb{C}^*\right)$ : $$|u + v| = |u| + |v| \iff \text{arg}(u) = \text{arg}(v) [2\pi].$$
      3. Déduire le cas d’égalité dans l’inégalité $|a| \leq 2$.
   2. 1. Montrer que : $$\dfrac{\left(z + z’\right)^2}{zz’}\in \mathbb{R}_+^{*}. $$
      2. En déduire que : $$\arg(b) \equiv 2 \arg(a) [2\pi].$$
2. On suppose que : $\left\{ \begin{aligned}
   &\left| b \right| = 1\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\left| a \right| \le 2\\
   &\arg \left( b \right) \equiv 2\arg \left( a \right)\left[ {2\pi } \right]
   \end{aligned} \right.$
   1. Montrer qu’il existe $\alpha$ de $\mathbb{R}_+^*$ tel que $b=\alpha a^2$ et que $\alpha \ge \dfrac{1}{4}$.
   2. Calculer $z$ et $z’$ les solutions de l’équation $(E)$ en fonction de $a$ et $\alpha$.
   3. En déduire que $|z| = |z’| = 1$.
3. Conclure.

Deuxième partie:

On suppose dans cette partie que $a \in \mathbb{R}$ et $b = 1$.
L’équation $(E)$ devient $(E)\,:\,\, z^2 + az + 1 = 0$.

On Considère $(\Gamma)$ l’ensemble des points $M$ qui sont les images des solutions de l’équation $(E)$ lorsque lorsque $a$ varie dans $\mathbb{R}$.

1. Montrer que :
   \[M\left( z \right) \in \left( \Gamma \right) \iff \overline {\left( {\frac{{{z^2} + 1}}{z}} \right)} = \frac{{{z^2} + 1}}{z}.\]
2. Déduire que l’ensemble $(\Gamma)$ est l’union d’un cercle et d’une droite, et déterminer leurs équations.