Devoir 2 – 2bac Sc. Maths – modèle 1

Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left( {O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)$

1. 1. Montrer que : $\left( {\forall x < 0} \right)\,\,;\,\,\,\arctan \left( x \right) – x > 0$. (0.75)
      (0,75)
   2. En déduire que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. (0.5pt)
      (0,5)
   1. Montrer que : $\left( {\forall x < 0} \right)\,\,;\,\,\,\dfrac{{{x^5}}}{5} < \arctan \left( x \right) – x + \dfrac{{{x^3}}}{3} < 0$
      (1,5)
   2. Calculer : $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \dfrac{{\arctan \left( x \right) – x}}{{{x^3}}}$
      (0,75)
   3. Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $0$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.(1)
   4. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.(1,5)
2. Calculer $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right)$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.(0,75)
   1. Calculer $\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f\left( x \right)$
      (1)
   2. Montrer que : $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\arctan \left( x \right) – x}}{{{x^2}}} = 0$
      (Utiliser la question 2a)
      (1)
   3. Montrer que : $$\left( {\forall x > 0} \right)\,\,;\,\,\,\,\,f\left( x \right) – x = \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\left( {\dfrac{{\arctan \left( {\dfrac{1}{{x + 1}}} \right) – \dfrac{1}{{x + 1}}}}{{{{\left( {\dfrac{1}{{x + 1}}} \right)}^2}}}} \right) – \dfrac{x}{{x + 1}}$$
      En déduire la nature de la branche infinie au voisinage de $+\infty$.
      (0,75)
3. On considère la fonction $g$ définie sur $]0,+\infty[$ par :
   $$g\left( x \right) = 2\arctan \left( {\dfrac{1}{{x + 1}}} \right) – \dfrac{x}{{{x^2} + 2x + 2}}$$
   1. Étudier les variations de la fonction $g$, puis en déduire que $g\left( x \right) > 0$
      (1,5)
   2. Étudier les variations de la fonction $f$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
      (1,5)
4. Construire la courbe $(C_f)$.
   (1)

1. 1. Montrer que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,;\,\,\,\,\,x\cos x – \sin x < 0$ (0,75)
   2. En déduire le sens de variation de $f$. (0,75)
2. On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\varphi \left( x \right) = x\cos x – \sin x + c{x^2}$ où $c=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
   1. Calculer $\varphi'(x)$, puis en déduire que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,;\,\,\,\,\,\varphi \left( x \right) > 0$. (0,75)
   2. En déduire que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,\,;\,\,\,\left| {f’\left( x \right)} \right| \le c$. (0,75)
3. On considère la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_0} \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \\ {} \\ {{u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)} \end{array}} \right.$
   1. Montrer que l’équation $\sin x=x^2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]$. (0,75)
   2. Montrer que : $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right)\,\,;\,\,\,\,\,0 < {u_n} \le \dfrac{\pi }{3}$. (0,75)
   3. En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :$\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right)\,\,;\,\,\,\,\,\left| {{u_{n + 1}} – \alpha } \right| \le c\left| {{u_n} – \alpha } \right|$. (1)
   4. En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}$. (1)

1. 1. Montrer que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,;\,\,\,\,\,x\cos x – \sin x < 0$ (0,75)
   2. En déduire le sens de variation de $f$. (0,75)
2. On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\varphi \left( x \right) = x\cos x – \sin x + c{x^2}$ où $c=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
   1. Calculer $\varphi'(x)$, puis en déduire que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,;\,\,\,\,\,\varphi \left( x \right) > 0$. (0,75)
   2. En déduire que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,\,;\,\,\,\left| {f’\left( x \right)} \right| \le c$. (0,75)
3. On considère la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_0} \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \\ {} \\ {{u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)} \end{array}} \right.$
   1. Montrer que l’équation $\sin x=x^2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]$. (0,75)
   2. Montrer que : $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right)\,\,;\,\,\,\,\,0 < {u_n} \le \dfrac{\pi }{3}$. (0,75)
   3. En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :

      $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right)\,\,;\,\,\,\,\,\left| {{u_{n + 1}} – \alpha } \right| \le c\left| {{u_n} – \alpha } \right|$. (1)

   4. En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}$. (1)