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Devoir Surveillé n°1 de Mathématiques
Niveau : 2ème bac sciences mathématiques
Durée : 2 heures
Durée : 2 heures
Enoncé 
- Montrer que : $2 \arctan \left( \dfrac{1}{3} \right) + \arctan \left( \dfrac{1}{7} \right) = \dfrac{\pi}{4}$
- Calculer : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt[3]{-x}+x}{\sqrt{-x}+x}$
- Calculer : $\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} \dfrac{\sqrt[3]{1-x}+x^2-1}{x-1}$
- Calculer : $\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} \dfrac{\arctan\left( \sqrt[3]{1-x}\right)}{x-1}$
- Montrer que : $(\forall x<0)\,;\,\,\, \arctan x+\arctan\dfrac{1}{x}=-\dfrac{\pi}{2}$
- En déduire : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2x\arctan\left(1-\sqrt[3]{x} \right)+\pi x\right)$
Enoncé
- Montrer que $(\forall p\in \mathbb{N})$ : \[\arctan \left( p+1 \right) + \arctan \left( p \right) = \arctan \left( \dfrac{1}{p^2+p+1} \right)\]
- On considère la suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $$S_n=\sum_{k=0}^{n}\arctan\left(\dfrac{1}{k^2+k+1}\right)$$
Calculer $S_n$ en fonction de $n$ puis calculer $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n$.
Enoncé
Pour tout entier $n\ge 3$, on considère la fonction $f_n$ définie par $f_n(x) =x^n-2-n(x-1)$.
Pour tout entier $n\ge 3$, on considère la fonction $f_n$ définie par $f_n(x) =x^n-2-n(x-1)$.
- Montrer que l’équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $x_n$ dans $[0,1]$.
- Étudier la monotonie de la suite $(x_n)$ et déduire que $(x_n)$ est convergente.
- Montrer que $(\forall n\ge 3)\,:\,\, x_n=\dfrac{n+x_n^n-2}{n}$.
- En déduire un encadrement de $(x_n)$, puis calculer $\lim x_n.$
Enoncé
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[0,1]$ dans $[0,1]$ telles que $f \circ g = g \circ f$.
Le but de l’exercice est de démontrer qu’il existe $c \in [0,1]$ tel que $f(c) = g(c)$.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[0,1]$ dans $[0,1]$ telles que $f \circ g = g \circ f$.
Le but de l’exercice est de démontrer qu’il existe $c \in [0,1]$ tel que $f(c) = g(c)$.
- Montrer qu’il existe $s \in [0,1]$ tel que $f(s) = s$.
- Montrer que pour tout $n \ge 0$, $g^n(s) = f(g^n(s))$. (On pourra utiliser un raisonnement par récurrence)
(Où $g^n = \underbrace{g \circ g \circ g \circ \dots \circ g}_{n\,fois}$ pour $n \ge 1$ et $g^0 = Id\, :\, x \to x$)
- On considère la suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $u_n = g^n(s)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- Vérifier que $f(u_n) = u_n$ et que $u_{n+1} = g(u_n)$.
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 1$.
- On suppose que la suite $(u_n)$ est monotone. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et que sa limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = g(\ell)$.
- On suppose que la suite $(u_n)$ n’est pas monotone. Montrer qu’il existe $(u,v) \in [0,1]^2$ tels que $\left( f(u) – g(u) \right)\left( f(v) – g(v) \right) \le 0$.
- Conclure.
Enoncé
On considère la fonction $g$ définie sur $[0,\pi[$ par : $g(x) = \arctan \left( \sqrt{\dfrac{1-a}{1+a}} \tan \left( \dfrac{x}{2} \right) \right)$.
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,\pi]$ telle que : $(\forall x\in [0,\pi[),\,\, f(x)=\pi-2g(x)$
On considère la fonction $g$ définie sur $[0,\pi[$ par : $g(x) = \arctan \left( \sqrt{\dfrac{1-a}{1+a}} \tan \left( \dfrac{x}{2} \right) \right)$.
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,\pi]$ telle que : $(\forall x\in [0,\pi[),\,\, f(x)=\pi-2g(x)$
- Calculer $f(\pi)$.
- Montrer que pour tout $x \in ]0,\pi[$ : \[0 < f(x) < \pi\]
- Montrer que pour tout $x \in ]0,\pi[$ : \[\tan \left( \dfrac{f(x)}{2} \right) \tan \left( \dfrac{x}{2} \right) = \sqrt{\dfrac{1+a}{1-a}}\]
- En déduire que pour tout $x\in [0,\pi],\,\,\,f(f(x)) = x$.
- En déduire que la fonction $f$ est une bijection de $[0,\pi]$ vers $[0,\pi]$ et en déduire la bijection réciproque $f^{-1}$.