$\bullet$  Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$. On pose $\alpha=\widehat {ABC}$

On a : $\sin \alpha= \dfrac{{AC}}{{BC}}$ et $\cos \alpha= \dfrac{{AB}}{{BC}}$

Nous savons que le plus long côté d’un triangle rectangle est l’hypoténuse,

C’est-à-dire :  $0<AB<BC$  et  $0<AC<BC $,

donc :  $\dfrac{0}{BC}<\dfrac{AC}{BC}<\dfrac{BC}{BC}$  et  $\dfrac{0}{BC}<\dfrac{AB}{BC}<\dfrac{BC}{BC}$

c’est-à-dire :  $0<\sin \alpha<1$  et  $0<\cos\alpha<1$.

$\bullet$  D’après le théorème de Pythagore, on a : $AC^2+AB^2=BC^2$,

Par suite, on a :
\[\begin{aligned}
{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha &= {\left( {\frac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2}\\
&= \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}}\\
&= \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}}\\
&= 1
\end{aligned}\]