Chapitre 3

Racine carrée d’un nombre positif

Définition : Soit $a$ un nombre réel positif.

La racine carrée du nombre $a$ est le nombre dont le carrée est $a$, et se note $\sqrt{a}$.

On écrit : $\sqrt{a}^2=a$

Autrement dit : $a$ et $b$ deux nombres réels positifs.

Si $a=b^2$ signifie que $b=\sqrt{a}$

Résultat : Pour tout nombre réel positif $a$, on a : $\sqrt{a^2}=\sqrt{a}^2=a$

Exemples :

$\bullet\quad \sqrt{0}=0$

$\bullet\quad \sqrt{5}^2=5$

$\bullet\quad \sqrt{3^2}=3$

$\bullet\quad \sqrt{1}=1$

$\bullet\quad \sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4$

$\bullet\quad \sqrt{(-7)^2}=\sqrt{7^2}=7$

$\bullet\quad \sqrt{\dfrac{100}{9}}=\sqrt{\left( \dfrac{10}{3}\right) ^2}=\dfrac{10}{3}$

$\bullet\quad \sqrt{2,12}=\sqrt{1,1^2}=1,1$

Racine carrée et produit

Propriété 1 : $a$ et $b$ deux nombres réels positifs. $$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a}\times \sqrt{b}$$

Résultat : $a$ et $b$ deux nombres réels positifs. $$\sqrt{a^2 \times b} = \sqrt{a^2}\times \sqrt{b}=a\sqrt{b}$$

Exemples :

$\bullet$ $\sqrt{2}\times \sqrt{8}=\sqrt{2 \times 8}=\sqrt{16}=4$

$\bullet$ $\sqrt{80}=\sqrt{16 \times 5}=\sqrt{16}\times \sqrt{5}=\sqrt{4^2}\times \sqrt{5}=4\sqrt{5}$

$\bullet$ $\sqrt{2}\times \sqrt{6}\times \sqrt{8}=\sqrt{2 \times 6 \times 8}=\sqrt{96}=\sqrt{16 \times 6}=\sqrt{4^2 \times 6}=4\sqrt{6}$

Racine carrée et quotient

Propriété 2 : $a$ et $b$ deux nombres réels où $b \neq 0$
$$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$$

Exemple :

$\bullet$ $\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{12}{3}}=\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2$

$\bullet$ $\sqrt{\dfrac{25}{9}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{5^2}}{\sqrt{3^2}}=\dfrac{5}{3}$

$\bullet$ $\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{16 \times 2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{16}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=\sqrt{4}$

Rendre rationnel le dénominateur d’un nombre réel

Propriété 3 : $a$ et $b$ deux nombres réels où $b \neq 0$.
$$\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b}^2}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}$$

Exemples : Écrire sans utiliser la racine ($\sqrt{~~}$) au dénominateur.

$\bullet$ $\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}^2}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

$\bullet$ $\dfrac{\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{5\sqrt{2}^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{10}$

Propriété 4 : $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls.
$$\begin{equation*}
\dfrac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{a\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}=\dfrac{a\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2}=\dfrac{a\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}{a-b}
\end{equation*}$$

Exemples : Écrire sans utiliser la racine ($\sqrt{~~}$) au dénominateur.

$\bullet$ $\dfrac{2}{1-\sqrt{5}}=\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}=\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{1^2-\sqrt{5}^2}=\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{1-5}=\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{-4}$

$\bullet$ Les nombres $1+\sqrt{5}$ et $1-\sqrt{5}$ sont dits conjuguées.

L’équation $x^2=a$

Propriété 5 : Soit $a$ un nombre réel donnée.
$\bullet$ Si $a=0$, alors l’équation $x^2=a$ a une seule solution : $0$
$\bullet$ Si $a>0$, alors l’équation $x^2=a$ a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$
$\bullet$ Si $a<0$, alors l’équation $x^2=a$ n’a pas de solution.

Exemples :

$\bullet$ L’équation $x^2=3$, a deux solutions : $\sqrt{3}$ et $-\sqrt{3}$

$\bullet$ L’équation $x^2=16$, a deux solutions : $4$ et $-4$

$\bullet$ L’équation $x^2=0$, a une seule solution : $0$.

$\bullet$ L’équation $x^2=-25$, n’a pas de solution car $-25<0$.