Chapitre 2

Puissance d’un nombre réel

Définition : Soit $a$ un nombre réel non nul, $n$ un nombre entier supérieur à $1$.
$$
a^{n}=\underbrace{a \times a \times \ldots \ldots \times a}_{n \text { facteurs }}$$

$\bullet$ Si $n=1$, alors $a^1=a$
$\bullet$ Si $n=0$ et $a \neq 0$ alors $a^0=1$
$\bullet$ Si $n\neq 0$ et $a = 0$ alors $0^n=0$
$\bullet$ Si $a\neq 0$ et $n$ un nombre entier, alors $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$,
donc on a : $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$, avec $\left( \dfrac{a}{b}\neq 0 \right)$

Remarque :

$\bullet$ $a$ est la base de la puissance $a^n$.

$\bullet$ $n$ est l’exposant de la puissance $a^n$.

$\bullet$ $0^0$ n’existe pas.

$\bullet$ $a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$.

Exemples :

$\bullet$ $(-3)^4=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)=9 \times 9 = 81$

$\bullet$ $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2\times 2\times 2}{3\times 3\times 3}=\dfrac{8}{27}$

$\bullet$ $2019^0=1$

$\bullet$ $523^1=523$

$\bullet$ $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{2\times 2\times 2}=\dfrac{1}{8}$

$\bullet$ $\left(\dfrac{5}{2}\right)^{-2}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}=\dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{25}$

Le signe d’une puissance

Propriété : Soit $a$ un nombre réel, $n$ un nombre entier non nul.

Si $n$ est paire, alors $a^n$ est toujours positif quel que soit le signe de $a$.
Si $n$ est impaire, alors :
1. Si $a$ est positif, alors $a^n$ est positif.
2. Si $a$ est négatif, alors $a^n$ est négatif.

Exemples :

$\bullet$ La puissance $\left( -12 \right)^{17}$ est négatif, car l’exposant est impaire et la base est négatif.

$\bullet$ La puissance $\left( -3 \right)^{48}$ est positif, car l’exposant est paire.

Opérations sur les puissances

Propriétés : $a$, $b$ deux nombres réels non nuls, $n$ et $m$ deux entiers naturels.

Produit de deux puissances de même base : $a^n \times a^m = a^{n+m}$
Produit de deux puissances de même exposant : $a^n \times b^n = (a \times b )^{n}$
Quotient de deux puissances de même base : $\dfrac{a^n}{a^m}= a^{n-m}$
Quotient de deux puissances de même exposant : $\dfrac{a^n}{b^n}= \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$
Puissance d’une puissance : $\left( a^n\right)^m=a^{n\times m}$

Exemples :

$(-3)^9 \times (-3)^5= (-3)^{9+5}=(-3)^{14}$
$2^{7} \times 5^{7}= (2 \times 5)^{7}=10^{7}$
$\dfrac{1,3^8}{1,3^3}=1,3^{8-3}=1,3^5$
$\dfrac{21^{13}}{7^{13}}=\left(\dfrac{21}{7}\right)^{13}=3^{13}$
$\left(2^3\right)^4=2^{3 \times 4} =2^{12}$

Puissances de 10

Propriétés : Soit $n$ un nombre entier naturel.

${10^n} = 1\underbrace {00………0}_{n\,\,\text{zéros}}$
${10^{-n}} = \underbrace {0,00………0}_{n\,\,\text{zéros}}1$
$10^0=1$ ; $10^1=10$ ; $10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}$

Exemples :

$1000000000=10^9$
$10^5=100000$
$0,000001=10^{-6}$
$10^{-4}=0,0001$
$10^8 \times 10^3=10^{8+3}=10^{11}$
$\dfrac{10^6}{10^2}=10^{6-2}=10^4$
$(10^5)^7=10^{5\times 7}=10^{35}$

Écriture scientifique

Définition : Soit $x$ un nombre décimal, $n$ un nombre entier relatif.

L’écriture scientifique de $x$ est :
$$x=a \times 10^{n} \quad\text{ou}\quad x=- a \times 10^{n}$$
Avec $1 \leq a < 10$.

Exemples :

$649,2=6,492 \times 10^2$
$-0,0000327=-3,27\times 10^{-5}$
$32000000=3,2\times 10^{-7}$
$569,4 \times 10^{13}=5,694 \times 10^2 \times 10^{13}=5,694\times 10^{15}$