Chapitre 4

Puissance d’exposant positif d’un nombre rationnel

Définition : Soit $a$ un nombre rationnel non nul, $n$ un nombre entier tel que $n\ge 2$.
$$a^{n}=\underbrace{a \times a \times \ldots \ldots \times a}_{n \text { facteurs }}$$

$\bullet$ Si $n=1$, alors $a^1=a$
$\bullet$ Si $n=0$ et $a \neq 0$ alors $a^0=1$
$\bullet$ Si $n\neq 0$ et $a = 0$ alors $0^n=0$

Remarque :

$\bullet$ $a$ est la base de la puissance $a^n$.
$\bullet$ $n$ est l’exposant de la puissance $a^n$.
$\bullet$ $0^0$ n’existe pas.

Exemples :

$\bullet$ $(-3)^4=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)=9 \times 9 = 81$
$\bullet$ $\left(\dfrac{-2}{3}\right)^3=\dfrac{-2}{3}\times\dfrac{-2}{3}\times \dfrac{-2}{3}=\dfrac{-2\times 2\times 2}{3\times 3\times 3}=\dfrac{-8}{27}$
$\bullet$ $2019^0=1$
$\bullet$ $523^1=523$

Puissance d’exposant négatif d’un nombre rationnel

Définition :
Soit $a$ un nombre rationnel non nul, $n$ un nombre entier naturel. $$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$$

$\bullet$ La puissance $a^{-n}$ est l’inverse de la puissance $a^n$.
$\bullet$ Si $\dfrac{a}{b}$ un nombre rationnel non nul, alors $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$.

Exemples :

$\bullet$ $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{2\times 2\times 2}=\dfrac{1}{8}$
$\bullet$ $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}=\dfrac{5}{3}\times \dfrac{5}{3}=\dfrac{25}{9}$
$\bullet$ $\bigg[\left(\dfrac{2}{7}\right)^{-3}\bigg]^{-1}=
\bigg[\left(\dfrac{7}{2}\right)^{3}\bigg]^{-1}=
\bigg[\dfrac{7}{2}\times \dfrac{7}{2}\times\dfrac{7}{2}\bigg]^{-1}=
\bigg[\dfrac{343}{8}\bigg]^{-1}=\dfrac{8}{343}$

Le signe d’une puissance

Propriété : Soit $a$ un nombre rationnel non nul, $n$ un entier naturel.

Si $n$ est pair, alors $a^n$ est toujours positif quel que soit le signe de $a$.
Si $n$ est impair, alors $a^n$ et $a$ ont le meme signe.

Exemples :

$\bullet$ La puissance $\left( -12 \right)^{17}$ est \textbf{négatif}, car l’exposant est impaire et la base est négatif.
$\bullet$ La puissance $\left( -3 \right)^{48}$ est \textbf{positif}, car l’exposant est paire.

Opérations sur les puissances :

Propriétés : $a$, $b$ deux nombres rationnels non nuls, $n$ et $m$ deux entiers relatifs.

$\bullet\quad a^n \times a^m = a^{n+m}$ $\quad$ $\bullet\quad a^n \times b^n = (a \times b )^{n}$ $\quad$ $\bullet\quad \dfrac{a^n}{a^m}= a^{n-m}$ $\quad$ $\bullet\quad \dfrac{a^n}{b^n}= \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$ $\quad$ $\bullet\quad \left( a^n\right)^m=a^{n\times m}$

Exemples :

$\bullet$ ${(-3)}^9 \times {(-3)}^5= {(-3)}^{9+5}={(-3)}^{14}$
$\bullet$ $2^{{7}} \times 5^{{7}}= (2 \times 5)^{{7}}=10^{{7}}$
$\bullet$ $\dfrac{{1,3}^8}{{1,3}^3}={1,3}^{8-3}={1,3}^5$
$\bullet$ $\dfrac{21^{{13}}}{7^{{13}}}=\left(\dfrac{21}{7}\right)^{{13}}=3^{{13}}$
$\bullet$ $\left({2}^3\right)^4={2}^{3 \times 4} ={2}^{12}$

Puissances de 10

Propriété : Soit $n$ un nombre entier naturel.

$\bullet$ ${10^n} = 1\underbrace {00………0}_{n\,\,\text{zéros}}$
$\bullet$ ${10^{-n}} = \underbrace {0,00………0}_{n\,\,\text{zéros}}1$
$\bullet$ $10^0=1$ ; $10^1=10$ ; $10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}$

Exemples :

$\bullet$ $1000000000=10^9$
$\bullet$ $10^5=100000$
$\bullet$ $0,000001=10^{-6}$
$\bullet$ $10^{-4}=0,0001$
$\bullet$ $10^8 \times 10^3=10^{8+3}=10^{11}$
$\bullet$ $\dfrac{10^6}{10^2}=10^{6-2}=10^4$
$\bullet$ $(10^5)^7=10^{5\times 7}=10^{35}$

Écriture scientifique

Définition : Soit $x$ un nombre décimal, $n$ un nombre entier relatif.
L’écriture scientifique de $x$ est :
$$x=a \times 10^{n} \text{~~ou~~} x=- a \times 10^{n}$$
Avec $1 \leq a < 10$.

Exemples :

$\bullet$ $649,2=6,492 \times 10^2$
$\bullet$ $-0,0000327=-3,27\times 10^{-5}$
$\bullet$ $32000000=3,2\times 10^{-7}$
$\bullet$ $569,4 \times 10^{13}=5,694 \times 10^2 \times 10^{13}=5,694\times 10^{15}$