Chapitre 5

Comparaison de deux nombres réels

Définition : Soit $a$ et $b$ deux nombres réels, $a \leq b$ signifie que : $a-b \leq 0$

Exemple : Comparons les nombres : $3 \sqrt{2}-5$ et $\sqrt{2}-7$.

On a : $\quad(\sqrt{2}-7)-(3 \sqrt{2}-5)=\sqrt{2}-7-3 \sqrt{2}+5=-2-2 \sqrt{2}$

Or : $\quad-2-2 \sqrt{2}$ est un nombre négatif,

alors : $(\sqrt{2}-7)-(3 \sqrt{2}-5)<0$

Donc : $\sqrt{2}-7<3 \sqrt{2}-5$.

Remarque 1 : Pour comparer deux nombres réels, on peut déterminer le signe de leur différence.

Propriété 1 : Soit $a, b$ et $c$ des nombres réels, $a \leq b$ signifie que : $a+c \leq b+c$.

Exemples :

Propriété 2 : Soit $a, b$ et $c$ des nombres réels.

Si $(a\leq b$ et $k>0)$, alors $ka \leq kb$.
Si $(a \leq b$ et $k<0)$, alors $ka \geq kb$.
$a$, $b$, $x$, $y$ sont des nombres réels positifs.
Si $a \leq x$ et $b \leq y$, alors: $ab \leq x y$.

Remarque 2 : $a\leq b$ signifie que : $-b\leq-a$.

Exemples :

Si $x \leq-3$, alors $4 \times x \leq 4 \times(-3)$, soit $4 x \leq-12$.
Si $\dfrac{-7}{6} x>\dfrac{12}{5}$, alors $\dfrac{-6}{7} \times \dfrac{-7}{6} x<\dfrac{-6}{7} \times \dfrac{12}{5}$, soit $x<-\dfrac{72}{35}$.

Propriété 3 : Soit $a$, $b$ et $c$ des nombres réels strictement positifs.
$a \leq b$ signifie que : $\dfrac{1}{b} \leq \dfrac{1}{a}$.

Exemple : Si $\dfrac{1}{x^2}<\dfrac{2}{3}$, alors $x^2>\dfrac{3}{2}$.

Propriété 4 : Soit $a$, $b$ et $c$ des nombres réels positifs.

Exemple : Comparons les nombres positifs $5 \sqrt{2}$ et $4 \sqrt{3}$

On a : $(5 \sqrt{2})^2=50$ et $(4 \sqrt{3})^2=48$.

Donc: $(4 \sqrt{3})^2<(5 \sqrt{2})^2$.

D’où : $4 \sqrt{3}<5 \sqrt{2}$.

Propriété 5 : Soit $x$ un nombre réel.

Exemple : $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=-(\sqrt{3}-2)=-\sqrt{3}+2$ car $\sqrt{3}<2$.