Cours : Opérations sur les nombres rationnels – 2ac

I. Addition de deux nombres rationnels

Règle 1: (Les dénominateurs sont les mêmes)
Pour additionner deux nombres rationnels de même dénominateur, on additionne les numérateurs entre eux et on garde le dénominateur commun.

Autrement dit: $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{b}$ sont deux nombres rationnels: $$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}.$$

Exemples:
$$\begin{aligned}
\mathbf{1.}\quad A&=\frac{-8}{3}+\frac{2}{3}\\
A&=\frac{-8+2}{3}\\
&=-\frac{6}{3}=-2
\end{aligned} \quad\quad
\begin{aligned}
\mathbf{2.}\quad B&=\dfrac{x}{2}+\dfrac{-5}{2}\\
B&=\frac{x+(-5)}{2} \\
B&=\frac{x-5}{2}
\end{aligned}
$$

Règle 2: (Les dénominateurs sont différents)
Pour additionner deux nombres rationnels de dénominateurs différents, on commence par les écrire avec le même dénominateur et on applique la règle précédente.

Autrement dit: $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels: $$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a d}{b d}+\dfrac{b c}{b d} \\ \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a d+b c}{b d}\end{array}\right.$$

Exemples :

$$
\begin{aligned}\textbf{ 1. }\quad
A & =\frac{-5}{9}+\frac{1}{3} \\
A & =\frac{-5}{9}+\frac{3}{9} \\
A & =\frac{-5+3}{9} \\
A & =\frac{-2}{9}
\end{aligned}\quad\quad
\begin{aligned}\textbf{ 2. }\quad
B & =\frac{7}{15}+\frac{-5}{6} \\
B & =\frac{14}{30}+\frac{-25}{30} \\
B & =\frac{14+(-25)}{30} \\
B & =\frac{-11}{30}
\end{aligned}
$$

Propriétés:

$\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel : $\dfrac{a}{b}+\left(-\dfrac{a}{b}\right)=0$
On dit que:
$\quad\bullet~~ -\dfrac{a}{b}$ est l’opposé de $\dfrac{a}{b}$.
$\quad\bullet~~ -\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{a}{b}$ sont deux nombres opposés.
$\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel : $\dfrac{a}{b}+0=\dfrac{a}{b}$
$\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels : $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}+\dfrac{a}{b}$
$x, y$ et $z$ sont des nombres rationnels :
$$
\begin{aligned}
x+y+z & =(x+y)+z \\
& =x+(y+z) \\
& =(x+z)+y
\end{aligned}
$$

II. SOUSTRACTION

Règle 3: $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels: $$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a}{b}+\left(\frac{-c}{d}\right)$$

Remarque: Soustraire un nombre rationnel revient à ajouter son opposé.

Ainsi :

$$
\begin{aligned}
\frac{a}{b}-\frac{c}{d} & =\frac{a}{b}+\frac{-c}{d} \\
& =\frac{a d}{b d}+\frac{-b c}{b d} \\
& =\frac{a d+(-b c)}{b d} \\
& =\frac{a d-b c}{b d}
\end{aligned}
$$
Donc : $\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad-bc}{bd}$

Exemples:

$$
\begin{aligned}
\textbf {1.}\quad A & =\frac{-28}{3}-\frac{5}{3} \\
A & =\frac{-28}{3}-\frac{5}{3} \\
A & =\frac{-28-5}{3} \\
A & =\frac{-33}{3} \\
A & =-11
\end{aligned}\quad\quad
\begin{aligned}
\textbf {2.}\quad B & =\frac{-3}{4}-\frac{7}{6} \\
B & =\frac{-3}{4}-\frac{7}{6} \\
B & =\frac{-9}{12}-\frac{14}{12} \\
B & =\frac{-9-14}{12} \\
B & =\frac{-23}{12}
\end{aligned}
$$

III. PRODUIT DE DEUX NOMBRES RATIONNELS

Règle 1 : Pour multiplier deux nombres rationnels :

on multiplie les numérateurs entre eux;
on multiplie les dénominateurs entre eux .

Autrement dit: $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels : $$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{b \times d}$$

Remarque 1: $a$ et $\dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels: $$a \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{d}$$

Exemples :
$\quad \begin{aligned}
\textbf{1.}\quad A&=\dfrac{9}{5} \times \dfrac{2}{7}\\
A&=\dfrac{9 \times 2}{5 \times 7} \\
A&=\dfrac{18}{35}
\end{aligned}$
$\quad\begin{aligned}
\textbf{2.}\quad B&=4 \times \dfrac{11}{13}\\
B&=\dfrac{4 \times 11}{13}\\
B&=\dfrac{44}{13}
\end{aligned}$
$\quad\begin{aligned}
\textbf{3.}\quad C&=\dfrac{5}{6} \times \dfrac{36}{25}\\
C&=\dfrac{5 \times 6 \times 6}{6\times 5\times 5} \\
C&=\dfrac{6}{5} .
\end{aligned}$

Remarque 2: Il faut simplifier avant d’effectuer les produits.

Propriété :

$\quad\quad\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel : $1 \times \dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b} \quad$ et $\quad \dfrac{a}{b} \times 0=0$
$\quad\quad\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d}$ et $\dfrac{e}{f}$ sont des nombres rationnels :

$$
\begin{aligned}
\bullet & \dfrac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{c}{d} \times \frac{a}{b} \\
\bullet & \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f}=\left(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}\right) \times \frac{e}{f}=\frac{a}{b} \times\left(\frac{c}{d} \times \frac{e}{f}\right)
\end{aligned}
$$

Remarque 3 : Le produit ne change pas, si on change l’ordre de ces facteurs.

Exemple: $$\begin{aligned}
\frac{3}{5} \times \frac{7}{8} \times \frac{5}{9} & =\frac{3}{5} \times \frac{5}{9} \times \frac{7}{8} \\
& =\frac{3}{1} \times \frac{1}{9} \times \frac{7}{8}=\frac{1}{3} \times \frac{7}{8}=\frac{7}{24}\end{aligned}$$

IV. QUOTIENT DE DEUX NOMBRES RATIONNELS

1. Inverse d’un nombre rationnel non nul.

Définition : Deux nombres sont dits inverses si leur produit est égale à $1.$

Remarque 4 : Si $\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel non nul son inverse est un nombre rationnel.

Notation : On a : $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a}=1$, donc $\dfrac{b}{a}$ est l’inverse de $\dfrac{a}{b}$, on le note : $\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}}$ ou $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}$
D’où: $\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{b}{a} \quad$ et $\quad\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}=\dfrac{b}{a}$.

Exemples:

$-3 \times \dfrac{1}{-3}=1$, donc $\dfrac{1}{-3}$ est l’inverse de $-3$.
$4 \times 0,25=1$, donc $4$ est l’inverse de $0,25$.
$0,5 \times 2=1$, donc $0,5$ est l’inverse de $2$.

Remarque 5: $x$ est un nombre rationnel non nul : $$x \times \dfrac{1}{x}=1 \quad et \quad x \times x^{-1}=1$$

2. Quotient de deux nombres rationnels

Règle 2 : $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels et $c \neq 0$.
Le quotient de $\dfrac{a}{b}$ par $\dfrac{c}{d}$ est le produit de $\dfrac{a}{b}$ par l’inverse de $\dfrac{c}{d}$.

Autrement dit : $$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} \quad ou \quad \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$$

Exemples :

$-\dfrac{8}{5}\div \dfrac{4}{3}=-\dfrac{8}{5} \times \dfrac{3}{4}=-\dfrac{4 \times 2 \times 3}{5 \times 4}=-\dfrac{6}{5}$
$\dfrac{9}{11}\div (-4)=\dfrac{9}{10} \times\left(\dfrac{-1}{4}\right)=\dfrac{-9}{40}$