Cours : Opérations sur les nombres rationnels – 2ac

I. Addition de deux nombres rationnels

Règle 1: (Les dénominateurs sont les mêmes)
Pour additionner deux nombres rationnels de même dénominateur, on additionne les numérateurs entre eux et on garde le dénominateur commun.

Autrement dit:

\frac{a}{b}

$\dfrac{a}{b}$ et

\frac{c}{b}

$\dfrac{c}{b}$ sont deux nombres rationnels:

\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b} .

$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}.$

Exemples:
$\begin{aligned} \mathbf{1.}\quad A&=\frac{-8}{3}+\frac{2}{3}\\ A&=\frac{-8+2}{3}\\ &=-\frac{6}{3}=-2 \end{aligned} \quad\quad \begin{aligned} \mathbf{2.}\quad B&=\dfrac{x}{2}+\dfrac{-5}{2}\\ B&=\frac{x+(-5)}{2} \\ B&=\frac{x-5}{2} \end{aligned}$

Règle 2: (Les dénominateurs sont différents)
Pour additionner deux nombres rationnels de dénominateurs différents, on commence par les écrire avec le même dénominateur et on applique la règle précédente.

Autrement dit:

$\dfrac{a}{b}$ et

$\dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels:

$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a d}{b d}+\dfrac{b c}{b d} \\ \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a d+b c}{b d}\end{array}\right.$

Exemples :

$\begin{aligned}\textbf{ 1. }\quad A & =\frac{-5}{9}+\frac{1}{3} \\ A & =\frac{-5}{9}+\frac{3}{9} \\ A & =\frac{-5+3}{9} \\ A & =\frac{-2}{9} \end{aligned}\quad\quad \begin{aligned}\textbf{ 2. }\quad B & =\frac{7}{15}+\frac{-5}{6} \\ B & =\frac{14}{30}+\frac{-25}{30} \\ B & =\frac{14+(-25)}{30} \\ B & =\frac{-11}{30} \end{aligned}$

Propriétés:

$\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel : $\dfrac{a}{b}+\left(-\dfrac{a}{b}\right)=0$
On dit que:
$\quad\bullet~~ -\dfrac{a}{b}$ est l’opposé de $\dfrac{a}{b}$ .
$\quad\bullet~~ -\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{a}{b}$ sont deux nombres opposés.
$\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel : $\dfrac{a}{b}+0=\dfrac{a}{b}$
$\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels : $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}+\dfrac{a}{b}$
$x, y$ et $z$ sont des nombres rationnels :
$\begin{aligned} x+y+z & =(x+y)+z \\ & =x+(y+z) \\ & =(x+z)+y \end{aligned}$

II. SOUSTRACTION

Règle 3:

$\dfrac{a}{b}$ et

$\dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels:

$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a}{b}+\left(\frac{-c}{d}\right)$

Remarque: Soustraire un nombre rationnel revient à ajouter son opposé.

Ainsi :

$\begin{aligned} \frac{a}{b}-\frac{c}{d} & =\frac{a}{b}+\frac{-c}{d} \\ & =\frac{a d}{b d}+\frac{-b c}{b d} \\ & =\frac{a d+(-b c)}{b d} \\ & =\frac{a d-b c}{b d} \end{aligned}$
Donc : $\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad-bc}{bd}$

Exemples:

$\begin{aligned} \textbf {1.}\quad A & =\frac{-28}{3}-\frac{5}{3} \\ A & =\frac{-28}{3}-\frac{5}{3} \\ A & =\frac{-28-5}{3} \\ A & =\frac{-33}{3} \\ A & =-11 \end{aligned}\quad\quad \begin{aligned} \textbf {2.}\quad B & =\frac{-3}{4}-\frac{7}{6} \\ B & =\frac{-3}{4}-\frac{7}{6} \\ B & =\frac{-9}{12}-\frac{14}{12} \\ B & =\frac{-9-14}{12} \\ B & =\frac{-23}{12} \end{aligned}$

III. PRODUIT DE DEUX NOMBRES RATIONNELS

Règle 1 : Pour multiplier deux nombres rationnels :

on multiplie les numérateurs entre eux;
on multiplie les dénominateurs entre eux .

Autrement dit:

$\dfrac{a}{b}$ et

$\dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels :

$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{b \times d}$

Remarque 1:

$a$ et

$\dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels:

$a \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{d}$

Exemples :
$\quad \begin{aligned} \textbf{1.}\quad A&=\dfrac{9}{5} \times \dfrac{2}{7}\\ A&=\dfrac{9 \times 2}{5 \times 7} \\ A&=\dfrac{18}{35} \end{aligned}$
$\quad\begin{aligned} \textbf{2.}\quad B&=4 \times \dfrac{11}{13}\\ B&=\dfrac{4 \times 11}{13}\\ B&=\dfrac{44}{13} \end{aligned}$
$\quad\begin{aligned} \textbf{3.}\quad C&=\dfrac{5}{6} \times \dfrac{36}{25}\\ C&=\dfrac{5 \times 6 \times 6}{6\times 5\times 5} \\ C&=\dfrac{6}{5} . \end{aligned}$

Remarque 2: Il faut simplifier avant d’effectuer les produits.

Propriété :

$\quad\quad\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel : $1 \times \dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b} \quad$ et $\quad \dfrac{a}{b} \times 0=0$
$\quad\quad\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d}$ et $\dfrac{e}{f}$ sont des nombres rationnels :

$\begin{aligned} \bullet & \dfrac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{c}{d} \times \frac{a}{b} \\ \bullet & \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f}=\left(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}\right) \times \frac{e}{f}=\frac{a}{b} \times\left(\frac{c}{d} \times \frac{e}{f}\right) \end{aligned}$

Remarque 3 : Le produit ne change pas, si on change l’ordre de ces facteurs.

Exemple: $\begin{aligned} \frac{3}{5} \times \frac{7}{8} \times \frac{5}{9} & =\frac{3}{5} \times \frac{5}{9} \times \frac{7}{8} \\ & =\frac{3}{1} \times \frac{1}{9} \times \frac{7}{8}=\frac{1}{3} \times \frac{7}{8}=\frac{7}{24}\end{aligned}$

IV. QUOTIENT DE DEUX NOMBRES RATIONNELS

1. Inverse d’un nombre rationnel non nul.

Définition : Deux nombres sont dits inverses si leur produit est égale à

$1.$

Remarque 4 : Si

$\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel non nul son inverse est un nombre rationnel.

Notation : On a :

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a}=1$ , donc

$\dfrac{b}{a}$ est l’inverse de

$\dfrac{a}{b}$ , on le note :

$\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}}$ ou

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}$
D’où:

$\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{b}{a} \quad$ et

$\quad\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}=\dfrac{b}{a}$ .

Exemples:

$-3 \times \dfrac{1}{-3}=1$ , donc $\dfrac{1}{-3}$ est l’inverse de $-3$ .
$4 \times 0,25=1$ , donc $4$ est l’inverse de $0,25$ .
$0,5 \times 2=1$ , donc $0,5$ est l’inverse de $2$ .

Remarque 5:

$x$ est un nombre rationnel non nul :

$x \times \dfrac{1}{x}=1 \quad et \quad x \times x^{-1}=1$

2. Quotient de deux nombres rationnels

Règle 2 :

$\dfrac{a}{b}$ et

$\dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels et

$c \neq 0$ .
Le quotient de

$\dfrac{a}{b}$ par

$\dfrac{c}{d}$ est le produit de

$\dfrac{a}{b}$ par l’inverse de

$\dfrac{c}{d}$ .

Autrement dit :

$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} \quad ou \quad \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$

Exemples :

$-\dfrac{8}{5}\div \dfrac{4}{3}=-\dfrac{8}{5} \times \dfrac{3}{4}=-\dfrac{4 \times 2 \times 3}{5 \times 4}=-\dfrac{6}{5}$
$\dfrac{9}{11}\div (-4)=\dfrac{9}{10} \times\left(\dfrac{-1}{4}\right)=\dfrac{-9}{40}$