Cours : Opérations sur les nombres décimaux positifs – 1ac

I. Calculs sans parenthèses

1. Avec des additions et des soustractions

Règle 1 : Dans un calcul sans parenthèses comportant uniquement des additions et des soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite.

Exemple :

\[\begin{aligned}
A &= 39 – 14 + 5 – 9\\
&= 25 + 5 – 9\\
&= 30 – 9\\
&= 21
\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}
B &= 7,8 – 5,2 + 3,4\\
&= 2,6 + 3,4\\
&= 6
\end{aligned}\]

2. Avec des multiplication et des divisions

Règle 2 : Dans un calcul sans parenthèses comportant uniquement des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite.

Exemple :

\[\begin{aligned}
C &= 48 \div 8 \times 3 \div 9\\
&= 6 \times 3 \div 9\\
&= 18 \div 9\\
&= 2\\
D &= 5 \times 8 \div 10\\
&= 40 \div 10\\
&= 4
\end{aligned}\]

3. Avec des additions, des soustractions et des multiplication ou des divisions

Règle 3 : Dans un calcul sans parenthèses, on effectue les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.

Exemple :

\[\begin{aligned}
E &= 8 + 5 \times 3 – 10 \div 2\\
&= 8 + 15 – 5\\
&= 23 – 5\\
&= 18
\end{aligned}\]

II. Calculs avec parenthèses

Règle 4 : Dans un calcul avec parenthèses, on commence d’abord par effectuer les calculs entre parenthèses.

Quand il y a plusieurs niveaux de parenthèses, on commence par effectuer les calculs dans les parenthèses intérieurs.

Exemple :

\[\begin{aligned}
F &= 97 – \left[ {6 \times \left( {4 + 5} \right) – 10} \right]\\
&= 97 – \left[ {6 \times 9 – 10} \right]\\
&= 97 – \left[ {54 – 10} \right]\\
&= 97 – 44\\
&= 53
\end{aligned}\]

III. Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction

Règle 5 : $a$, $b$ et $k$ sont des nombres décimaux.

$$\begin{aligned}
\bullet\quad k\times (a+b)=k\times a+k\times b\\
\bullet\quad k\times (a-b)=k\times a-k\times b\\
\end{aligned}$$

On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.

Produit transforme en somme : $k\times (a+b)=k\times a+k\times b$
Somme transforme en produit : $k\times a+k\times b=k\times (a+b)$

Exemple :

Calculons de deux facons l’expression : $E=8\times (17-4)$
1ère méthode : \[\begin{aligned}
E &= 8 \times \left( {17 – 4} \right)\\
&= 8 \times 13\\
&= 104
\end{aligned}\]2ème méthode :\[\begin{aligned}
E &= 8 \times \left( {17 – 4} \right)\\
&= 8 \times 13 – 8 \times 4\\
&= 136 – 32\\
&= 44
\end{aligned}\]
Soit $a$ un nombre décimal, réduisons l’expression : $F=5\times a+3\times a$
\[\begin{array}{l}
F = 5 \times a + 3 \times a\\
= \left( {5 + 3} \right) \times a\\
= 8 \times a
\end{array}\]

IV. Conventions d’écriture

Règle 6 : On peut supprimer les signe de multiplication :

Entre deux lettres
Devant une parenthèse
Entre un nombre et un lettre.

Exemple :

$k\times a=ka$
$6\times y=6y$
$5\times(4+x)=5(4+x)$

Attention :

$3 \times 4$ reste $3 \times 4$ et ne s’écrit pas « $34$ »
$1 \times x$ peut s’écrit $x$.