Chapitre 2

Sens de l’écriture fractionnaire

Définition : Soient $a$ et $b$ deux nombres, avec $b \neq 0$
Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$ donne $a$.
Ce quotient se note $a \div b$ ou en écriture fractionnaire $\dfrac{a}{b}$

Exemples : $$\begin{aligned}
&\bullet\quad\dfrac{22}{4}=22 \div 4=5,5 & \text { car } &\quad 5,5 \times 4=22 \\
&\bullet\quad\dfrac{3,5}{7}=3,5 \div 7=0,5 & \text { car } &\quad 0,5 \times 7=3,5
\end{aligned}$$

Multiple et diviseurs

Exemple : Comme $\dfrac{48}{6}=48 \div 6=8$, on en déduit que :

$4$ est un multiple de $6$
$48$ est divisible par $6$
$6$ est un diviseur de $48$.

Règle : (Critères de divisibilité)

Un nombre entier est divisible par $2$ si son chiffre des unités est $0,2,4,6$ ou $8$.
Un nombre entier est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
Un nombre entier est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.

Exemples :

Le nombre $104$ est divisible par $2$ car son chiffre des unités est $4$.
Le nombre $2460$ est divisible par $5$ car son chiffre des unités est $0$.
Le nombre $78$ est divisible par $2$ car $7+8=15$ et $15$ divisible par $3$.

Égalité de quotients

Propriété des quotients

Règle : Un quotient ne change pas lorsque l’on multiplie ou l’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

Autrement dit : Si $b \neq 0$ et $k \neq 0$, alors : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a \times k}{b \times k}$ et $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a \div k}{b \div k}$

Exemples : $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\dfrac{1}{2}=\dfrac{1 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{10}\\
&\bullet\,\,\dfrac{12}{8}=\dfrac{12 \div 4}{8 \div 4}=\dfrac{3}{2}\end{aligned}$$

Simplification de fractions

Règle : Simplifier une fraction signifie écrire une fraction qui lui est égale, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits.

Exemples : $$\begin{aligned}
&\bullet\quad \frac{42}{56}=\frac{21 \times 2}{28 \times 2}=\frac{21}{28}=\frac{3 \times 7}{4 \times 7}=\frac{3}{4} \\
&\bullet\quad\frac{75}{50}=\frac{75 \div 25}{50 \div 25}=\frac{3}{2} \\
&\bullet\quad\frac{2,5}{10}=\frac{25}{100}=\frac{25 \div 5}{100 \div 5}=\frac{1}{4}
\end{aligned}$$

Remarque : Lorsque la fraction trouvée n’admet pas de simplification, on dit qu’il s’agit d’une fraction irréductible.
Comme : $\dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{1}{3}$ ; $\dfrac{2}{5}$ ; $\ldots$

Réduire au même dénominateur

Règle : Pour réduire des fractions au même dénominateur on cherche le plus petit multiple commun de leurs dénominateurs.

Exemples :

Réduisons au même dénominateur les fractions : $\dfrac{3}{8}$ et $\dfrac{11}{12}$ $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\dfrac{3}{8}=\dfrac{3 \times 3}{8 \times 3}=\dfrac{9}{24}\\
&\bullet\,\,\dfrac{11}{12}=\dfrac{11 \times 2}{12 \times 2}=\dfrac{22}{24}\end{aligned}$$
Réduisons au même dénominateur les fractions : $\dfrac{7}{8}$ et $\dfrac{13}{4}$ On remarque que $8$ est un multiple de $4$, donc le dénominateur commun c’est $8$. $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\frac{7}{8}=\frac{7 \times 1}{8 \times 1}=\frac{7}{8}\\
&\bullet\,\,\frac{13}{4}=\frac{13 \times 2}{4 \times 2}=\frac{26}{8}\end{aligned}$$
Réduisons au même dénominateur les fractions : $\dfrac{7}{5} ; \dfrac{13}{15}$ et $\dfrac{5}{9}$ $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\frac{7}{5}=\frac{7 \times 9}{5 \times 9}=\frac{63}{45}\\
&\bullet\,\,\frac{13}{15}=\frac{13 \times 3}{15 \times 3}=\frac{39}{45}\\
&\bullet\,\,\frac{5}{9}=\frac{5 \times 5}{9 \times 5}=\frac{25}{45}\end{aligned}$$
Réduisons au même dénominateur les fractions : $\dfrac{3}{27} ; \dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{7}{9}$
On remarque que $27$ est un multiple de $3$ et $9$, donc le dénominateur commun c’est $27$. $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\frac{3}{27}=\frac{3 \times 1}{27 \times 1}=\frac{3}{27}\\
&\bullet\,\,\frac{1}{3}=\frac{1 \times 9}{3 \times 9}=\frac{9}{27}\\
&\bullet\,\,\frac{7}{9}=\frac{7 \times 3}{9 \times 3}=\frac{21}{27}\end{aligned}$$

Comparaison de deux nombres en écriture fractionnaire

Ayant le même dénominateur

Règle : Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Autrement dit : Si $a>c$, alors $\dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{b}$; Si $a<c$, alors $\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{b}$

Exemples :

On a : $\dfrac{15}{13}<\dfrac{19}{13}$, car $15<19$
On a : $\dfrac{11}{7}>\dfrac{6}{7}$, car $11>6$

Ayant le même numérateur.

Règle : Si deux fractions ont le même numérateur, alors le plus petit est celle qui a le plus grand dénominateur.

Autrement dit : $$\begin{aligned}
\bullet\,\,\text{ Si } b>c, \text{ alors } \dfrac{a}{b}<\dfrac{a}{c}\\
\bullet\,\,\text{ Si } b<c, \text{ alors } \dfrac{a}{b}>\dfrac{a}{c}
\end{aligned}$$

Exemples :

On a : $\dfrac{13}{11}<\dfrac{13}{5}$ car $11>5$
On a : $\dfrac{9}{17}>\dfrac{9}{38}$ car $\quad 17<38$

Un dénominateur est multiple de l’autre

Règle : On écrite les nombres avec le même dénominateur.

Exemples :

Comparons les nombres $\dfrac{5}{4}$ et $\dfrac{13}{12}$

On a $12$ est multiple de $4$ et $\dfrac{5}{4}=\dfrac{5 \times 3}{4 \times 3}=\dfrac{15}{12}$.

On compare alors $\dfrac{15}{12}$ et $\dfrac{13}{12}$. On a $13<15$ donc $\dfrac{13}{12}<\dfrac{15}{12}$

C’est-à-dire $\dfrac{13}{12}<\dfrac{5}{4}$

Comparaison d’un nombre en écriture fractionnaire et 1 .

Règle : $a$ et $b$ sont deux nombres entiers tel que $b \neq 0$.

Si $a<b$ alors $\dfrac{a}{b}<1$.
Si $a>b$ alors $\dfrac{a}{b}>1$.

Exemples :

On a $\dfrac{17}{9}>1$, car $17>9$
On a $\dfrac{8}{21}<1$, car $8<21$