Limite d’une fonction en un point
Activité:
- Calculer les limites suivantes :
\[
\begin{align*}
\bullet & \quad \lim_{x \to -1} x^3 -x + 2 &\quad\bullet\quad & \lim_{x \to 2} \frac{x^2 -3x + 2}{\sqrt{x} -\sqrt{2}}\\
\bullet & \quad \lim_{x \to 1} \frac{3x \sin(x^2 -1)}{x^2 -1}&\quad\bullet\quad &\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} -1}{\tan x} \\
\bullet & \quad \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left(x -\frac{\pi}{2}\right) \tan\frac{x}{2}
\end{align*}\] - Déterminez la valeur de $a$ pour que la fonction $f$ admette une limite en $x=1$.
\[\left\{ \begin{align*}
& f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 3x + a}}{{x – 1}} &;& &{x > 1}\\
& f\left( x \right) = x + 1&;& &{x \le 1}
\end{align*} \right.\]
Solution:
- Calculons les limites suivantes :
\[\begin{align*}\bullet & \quad \lim_{x \to -1} (x^3 – x + 2) = (-1)^3 -(-1) + 2 = 2. \\
\bullet & \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} -3x + 2}}{{\sqrt x -\sqrt 2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x -1} \right)\left( {x -2} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt 2 } \right)}}{{x -2}} = 2\sqrt 2. \\
\bullet & \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3x\sin \left( {{x^2} -1} \right)}}{{x -1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 3x.\frac{{\sin ({x^2} -1)}}{{{x^2} -1}}.\left( {x + 1} \right) = 3 \times 1 \times 2 = 6. \\
\bullet & \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \left( {x -\frac{\pi }{2}} \right)\tan x = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y\tan \left( {y + \frac{\pi }{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{ -y}}{{\sin y}} \times \cos y = -1. \\
\bullet & \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 1} -1}}{{\tan x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x}}{{\sin x}} \times \frac{x}{{\sqrt {x + 1} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}} \times \frac{{\cos x}}{{\sqrt {x + 1} + 1}} = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.\end{align*}\] - Déterminons la valeur de $a$ pour que la fonction $f$ admette une limite en $x=1.$
On a : $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = \ell,$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x)=2,$ donc $1$ est une racine du polynôme $(x^2-3x+a)$, alors $1-3+a=0$, donc $a=2$.
Définition : Soit $f$ une fonction numérique telle que $(\exists r>0); ]x_0-r;x_0+r[-\{x_0\}\subset D_f$ et $\ell \in \mathbb{R}.$
\[
\lim_{x \to x_0} f(x) =\ell \iff \Big( (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f);\,\, 0<|x – x_0| < \delta \implies |f(x) – \ell| < \varepsilon\Big)
\]
\[
\lim_{x \to x_0} f(x) =\ell \iff \Big( (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f);\,\, 0<|x – x_0| < \delta \implies |f(x) – \ell| < \varepsilon\Big)
\]
Exemple 1
Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=x^3 -x + 2$
Montrons en utilisant la définition que : $\lim_{x \to 1} f(x)=2$
Soit $I=]1-\dfrac{1}{2};1+\dfrac{1}{2}[=]\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}[$. On a pour tout $x\in I : $ \[\left| {f\left( x \right) – 2} \right| = \left| {x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right|\]
Montrons en utilisant la définition que : $\lim_{x \to 1} f(x)=2$
Soit $I=]1-\dfrac{1}{2};1+\dfrac{1}{2}[=]\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}[$. On a pour tout $x\in I : $ \[\left| {f\left( x \right) – 2} \right| = \left| {x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right|\]
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} \Rightarrow \left| x \right| < \frac{3}{2}\\
\frac{{ – 1}}{2} < x – 1 < \frac{1}{2} \Rightarrow \left| {x – 1} \right| < \frac{1}{2}\\
\Rightarrow \frac{3}{2} < x + 1 < \frac{5}{2} \Rightarrow \left| {x + 1} \right| < \frac{5}{2}\\
\Rightarrow \left| x \right|\left| {x – 1} \right|\left| {x + 1} \right| < \frac{5}{4}\left| {x – 1} \right|
\end{array}\]
Autrement dit : Lorsque $x$ se rapproche de $x_0$, $f(x)$ se rapproche de $\ell$.
Propriété 1 : Si $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(h) = \ell$ et $\displaystyle \lim_{x \to x_0} g(h) =\ell’$, alors :\[\begin{aligned}
\bullet&\quad \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = \ell + \ell’,\\
\bullet&\quad \lim_{x \to x_0} (f(x) \times g(x)) =\ell \times \ell’,\\
\bullet&\quad \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell}{\ell’}\,\text{ avec }\, \ell’\neq 0.\end{aligned}\]
\bullet&\quad \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = \ell + \ell’,\\
\bullet&\quad \lim_{x \to x_0} (f(x) \times g(x)) =\ell \times \ell’,\\
\bullet&\quad \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell}{\ell’}\,\text{ avec }\, \ell’\neq 0.\end{aligned}\]
Propriété 2 :\[\begin{aligned}
\bullet&\quad\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin ax}}{{ax}} = 1\\
\bullet&\quad\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}} = \frac{1}{2}\\
\bullet&\quad\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\tan x}} = 1
\end{aligned}\]
\bullet&\quad\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin ax}}{{ax}} = 1\\
\bullet&\quad\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}} = \frac{1}{2}\\
\bullet&\quad\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\tan x}} = 1
\end{aligned}\]
Continuité d’une fonction en un point
Activité: Soit $f$ une fonction définie sur un domaine ouvert centré en $x_0$ et $C_f$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,i,j)$.
Dans la figure 1, nous disons que $f$ est non continue en $x_0$.
Dans la figure 2, nous disons que $f$ est continue en $x_0$.
Dans la figure 1, nous avons :\[
\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)\]
Cela implique que $f$ est n’est pas continue en $x_0.$
Dans la figure 2, nous avons :\[
\lim_{x \to x_0^+} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^-} f(x)\]
Cela implique que $f$ est continue en $x_0.$
Définition : Soit $f$ définie sur un domaine ouvert centré en $x_0$, si :\[
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]Alors $f$ est dite continue en $x_0$.
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]Alors $f$ est dite continue en $x_0$.
Remarque : Si $f$ est discontinue et présente un saut à $x_0$ (discontinuité), alors il y a une rupture dans la continuité de la fonction, visible sur le graphique.
La continuité à gauche et la continuité à droite
Définition 1 : Soit $f$ une fonction définie sur un domaine de la forme $]x_0 ; x_0 + \alpha[$, où $\alpha > 0$. Si :\[\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)\]Alors, $f$ est dite continue à droite en $x_0$.
Définition 2 : Soit $f$ une fonction définie sur un domaine de la forme $]x_0 – \alpha ; x_0] $, où $\alpha > 0$. Si :\[\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)\]Alors, $f$ est dite continue à gauche en $x_0$.
Définition 3 : Soit $f$ une fonction définie sur un domaine de la forme $]x_0 – \alpha ; x_0 + \alpha[$, où $\alpha > 0$. Si :\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]Alors, $f$ est dite continue sur un intervalle symétrique autour de $x_0$.
Exemple 1
Soit la fonction numérique $f$ définie par :\[\left\{ \begin{align*}
f\left( x \right) &= \frac{{\left| {{x^2} -4} \right|}}{{x -2}} \quad ;\quad x\neq 2\\
f\left( 2 \right) &= 4
\end{align*} \right.\]Étudier la continuité de $f$ à droit et à gauche du point $2$.
Solution : Calcul de la limite :
\[\begin{align*}
&\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {{x^2} -4} \right|}}{{x -2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {x -2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x -2}} = 4 = f\left( 2 \right)\\
&\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^-}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^-}} \frac{{\left| {{x^2} -4} \right|}}{{x -2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^-}} \frac{{ -\left( {x -2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x -2}} = -4
\end{align*}\]Donc $f$ est continue à droit du point $2$, et n’est pas continue à gauche du point $2$.
f\left( x \right) &= \frac{{\left| {{x^2} -4} \right|}}{{x -2}} \quad ;\quad x\neq 2\\
f\left( 2 \right) &= 4
\end{align*} \right.\]Étudier la continuité de $f$ à droit et à gauche du point $2$.
Solution : Calcul de la limite :
\[\begin{align*}
&\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {{x^2} -4} \right|}}{{x -2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {x -2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x -2}} = 4 = f\left( 2 \right)\\
&\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^-}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^-}} \frac{{\left| {{x^2} -4} \right|}}{{x -2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^-}} \frac{{ -\left( {x -2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x -2}} = -4
\end{align*}\]Donc $f$ est continue à droit du point $2$, et n’est pas continue à gauche du point $2$.