Nombre rationnel
Définition : Un nombres rationnel est le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul.
Notation : Le quotient d’un nombre relatif $a$ par un nombre relatif non nul $b$ est noté : $\dfrac{a}{b}$.
Où $a$ est le nombre numérateur et $b$ est le dénominateur.
Exemple 1 :
- Le nombre $\dfrac{3}{7}$ est un nombre rationnel, car $3$ et $7$ sont des nombres relatifs.
- Le nombre $\pi$ n’est pas un nombre rationnel.
Règle de simplification d’un nombre rationnel
Règle 1 : Le quotient de deux nombres relatifs ne change pas lorsqu’on multiplie (ou on divise) ces deux nombres par un même nombre relatif non nul.
Autrement dit : Si $\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel et $k$ un noùbre relatif non nul, alors :
$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times k}{b\times k} \quad et \quad
\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div k}{b\div k}$$
$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times k}{b\times k} \quad et \quad
\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div k}{b\div k}$$
Règle des signes
Règle 2 :
- Le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif.
- Le quotient de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.
Autrement dit : $\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel :
$$\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b} \quad et \quad \dfrac{a}{-b}=\dfrac{-a}{b}=-\dfrac{a}{b}$$
$$\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b} \quad et \quad \dfrac{a}{-b}=\dfrac{-a}{b}=-\dfrac{a}{b}$$
Exemple 2 :
$$\dfrac{-7}{-8}=\dfrac{7}{8} \quad ; \quad \dfrac{5}{-3}=\dfrac{-5}{3}=-\dfrac{5}{3}$$
Egalité de deux nombres rationnels
Règle 3 : $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels.
- Si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, alors : $a\times d=b\times c.$
- Si $a\times d=b\times c$, alors : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$.
Exemple 3 :
- Montrons que les nombres $\dfrac{8}{9,6}$ et $\dfrac{1,2}{1,44}$ sont égaux.
1ère méthode : Comparons d’abord : $$8\times 1,44 \,\,\,\text{ et }\,\,\, 9,6\times 1,2$$On a : $$8\times 1,44=11,52\,\,\,\text{ et }\,\,\,9,6\times 1,2=11,52$$Donc : $$8\times 1,44=9,6\times 1,2$$D’où : $$\dfrac{8}{9,6}=\dfrac{1,2}{1,44}$$2ème méthode : On a : $$\dfrac{8}{{9,6}} = \dfrac{{80}}{{96}} = \dfrac{{5 \times 16}}{{6 \times 16}} = \dfrac{5}{6}\,\,\,\text{ et }\,\,\,\dfrac{{1,2}}{{1,44}} = \dfrac{{120}}{{144}} = \dfrac{5}{6}$$Donc : $$\dfrac{8}{9,6}=\dfrac{1,2}{1,44}$$ - Montrons que les nombres $\dfrac{15}{4,8}$ et $\dfrac{6}{1,9}$ ne sont pas égaux.
Comparons d’abord : $$15\times 1,9\,\,\,\text{ et }\,\,\, 4,8\times 6$$On a : $$15\times 1,9=28,5\,\,\,\text{ et }\,\,\,4,8\times 6=28,8$$Donc : $$15\times 1,9\neq 4,8\times 6$$D’où : $$\dfrac{15}{4,8}\neq \dfrac{6}{1,9}$$
Réduire au même dénominateur
Règle 4 : Si les dénominateurs ne sont pas les mêmes, on réduit au même dénominateur: on cherche un multiple commun non nul aux dénominateurs.
Exemple 4 :
- $\dfrac{-3}{8}=\dfrac{-3 \times 3}{8 \times 3}=-\dfrac{9}{24}$
- $\dfrac{7}{6}=\dfrac{7 \times 4}{6 \times 4}=\dfrac{28}{24}$