Chapitre 1

Réduire une expression algébrique

Définition : Réduire une expression algébrique, c’est l’écrire avec le minimum possible d’opérations.

Exemple :

$$\begin{aligned}
\bullet\quad A &= {2x}+{y}+{5}-{6x}-{9}+{7y}\\
&= {2x-6x}+{y+7y}+{5-9}\\
&= {-4x}+{8y}-{4}\\
\bullet\quad B &= {9x^2}+{x}+{x^2}+{5x}\\
&= {9x^2+x^2}+{x+5x}\\
&= {10x^2}+{6x}
\end{aligned}$$

Développement

Définition : Développer c’est transformer un produit en une somme algébrique.

Propriété : $a$, $b$ et $k$ trois nombres réels:
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad {k} \times (a+b) ={k} \times a+{k} \times b\\
&\bullet\quad {k} \times (a-b) = {k} \times a-{k} \times b
\end{aligned}$$

Exemple :

$$\begin{aligned}
\bullet\quad A & = 6 \times (a+2) \\
&= 6 \times a+6\times 2\\
&= 6a+12\\
\bullet\quad B & ={7} \times (b-3) \\
& = 7\times b-7\times 3\\
&= 7b-21
\end{aligned}$$

Propriété : (Double développement) $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels:
$$(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$$

Exemple :

$$\begin{aligned}
\bullet\quad A&= (5+a)(a+3)\\
&= 5 \times a +5\times 3+ a \times a + a \times 3\\
&= 5a+15+a^2+3a\\
&= a^2+5a+3a+15\\
&= a^2+8a+15\\
\bullet\quad B&=(2a-3)(a-4) \\
&= 2a \times a-2a\times 4- 3 \times a+ 3 \times 4\\
&= 2a^2-8a-3a+12\\
&= 2a^2-11a+12
\end{aligned}$$

Développement et identités remarquables

Propriété : $a$ et $b$ deux nombres réels.
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\\
&\bullet\quad (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\\
&\bullet\quad (a-b)(a+b) = a^2-b^2
\end{aligned}$$

Exemple : Développer et réduire les expressions suivantes.
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A&= (3a+2)^2 \\
&= (3a)^2+2\times 3a\times 2+2^2\\
&= 9a^2+12a+4\\
\bullet\quad B&=(5a- 4)^2 \\
&= (5a)^2-2\times 5a\times 4+4^2\\
&= 25a^2- 40a+16\\
\bullet\quad C&=(7a-2)(7a+2) \\
&= (7a)^2- 2^2\\
&= 49a^2-4
\end{aligned}$$

Factorisation

Définition : Factoriser c’est transformer une somme algébrique en un produit.

Propriété : $a$, $b$ et $k$ trois nombres réels:
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad {k} \times a+ {k} \times b = {k} \times (a+b)\\
&\bullet\quad {k} \times a- {k} \times b = {k} \times (a-b)
\end{aligned}$$

Exemple :

$$\begin{aligned}
\bullet\quad A &= 5 a+ 20 \\
&= {5} \times a+ {5} \times 4\\
&= {5} \times (a+4)\\
\bullet\quad B &= 16a^2+ 12a \\
&= {4a} \times 4a+{4a} \times 3\\
&= {4a} \times (4a+3)
\end{aligned}$$

Factorisation et identités remarquables

Propriété : $a$ et $b$ deux nombres réels.
$$\begin{aligned}
&\bullet~~& a^2+ 2ab+b^2 = (a+ b)^2\\
&\bullet~~& a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\\
&\bullet~~& a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
\end{aligned}$$

Exemple : Factoriser les expressions suivantes.
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A & = 4x^2+12x+9\\
& = (2x)^2+2\times 2x \times 3 +3^2\\
& = (2x+3)^2\\
\bullet\quad B & = 49x^2-28x+4\\
& = (7x)^2-2\times 7x \times 2+2^2\\
& = (7x-2)^2\\
\bullet\quad C & = 16-25x^2\\
& = 4^2- (5x)^2\\
& = (4-5x)(4+5x)
\end{aligned}$$