Cours : Équations et inéquations – 3ac

Équation du premier degré à une inconnue

Définition : On appelle équation du premier degré à une inconnue $x$ toute équation qui peut s’écrire sous la forme : $ax+b=0$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels donnés.

Remarque : Résoudre une équation c’est trouver toutes les solutions.

Exemples : Résolvons les équations suivantes:

On a : \begin{array}{c}
x\sqrt {27} + 2 = x\sqrt 3 + 1\\
\left( {\sqrt {27} -\sqrt 3 } \right)x = 1\\
\left( {3\sqrt 3 -\sqrt 3 } \right)x = 1\\
2\sqrt 3 x = 1\\
x = \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}\\
x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}
\end{array}Donc $\dfrac{\sqrt 3}{6}$ est la solution unique de cette équation
On a : \[\begin{array}{c}
\dfrac{{3\left( {x -2} \right)}}{{12}} -\dfrac{{2x}}{{12}} = \dfrac{{12}}{{12}} -\dfrac{{\left( {4 -x} \right)}}{{12}}\\
3x -6 -2x = 12 -4 + x\\
x -6 = 8 + x\\
0x = 14\,\,\left( {\text{impossible}} \right)
\end{array}\]Donc cette équation n’admet pas de solution
On a : \[\begin{array}{c}
\left( {x – 2} \right)\left( {x – 1} \right) – 5 = x\left( {x – 2} \right) – \left( {3 + x} \right)\\
{x^2} – x – 2x + 2 – 5 = {x^2} – 2x – 3 – x\\
{x^2} – 3x – 3 = {x^2} – 3x – 3\\
0x = 0
\end{array}\]ceci est vraie pour tout réel $x$.
Donc tous les nombres réels sont solutions de cette équation.

Équation de la forme $(ax+b)(cs+d)=0$

Propriété : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul.

Autrement dit : $a$ et $b$ sont deux nombres réels : $$a\times b=0 \,\,\text{ signifie : }\,\, a=0 \,\,\text{ ou }\,\, b=0$$

Propriété : $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.
Les solutions de l’équation $(ax+b)(cx+d)=0$ sont les solutions des deux équations $ax+b=0$ et $cx+d=0$.

Exemple: Résolvons l’équation : $\left( {x\sqrt 3 -5} \right)\left( { -x + \sqrt 5 } \right) = 0$
\[\begin{array}{c}
\left( {x\sqrt 3 -5} \right)\left( { -x + \sqrt 5 } \right) = 0\\
x\sqrt 3 -5 = 0\,\,\,\,\text{ ou }\,\,\,\, -x + \sqrt 5 = 0\\
x\sqrt 3 = 5\,\,\,\,\text{ ou }\,\,\,\, -x = -\sqrt 5 \\
x = \dfrac{5}{{\sqrt 3 }}\,\,\,\,\text{ ou }\,\,\,\,x = \sqrt 5 \\
x = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{3}\,\,\,\,\text{ ou }\,\,\,\,x = \sqrt 5
\end{array}\]Donc cette équation admet deux solutions : $\dfrac{{5\sqrt 3 }}{3}$ et $\sqrt 5 $

Inéquation du premier degré à une inconnue

Définition : On appelle inéquation du premier degré à une inconnue $x$ toute inéquation qui peut s’écrire sous la forme : $ax+b\le 0$ ou $ax+b < 0$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels donnés.

Exemples : Résolvons les inéquations suivantes:

On a : \[\begin{array}{l}
4x + 3 < 1\\
4x < 1 – 3\\
4x < – 2\\
x < \dfrac{{ – 2}}{4}\\
x < \dfrac{{ – 1}}{2}
\end{array}\]Donc les solutions de cette inéquation sont les nombres réels strictement inférieurs à $-\dfrac{1}{2}$
On a :\[\begin{array}{l}
– 2x \le \dfrac{4}{9}\\
x \ge \dfrac{4}{9} \times \dfrac{{ – 1}}{2}\,\,\,\,\left( {car\,\,\,\dfrac{{ – 1}}{2} < 0} \right)\\
x \ge \dfrac{{ – 2}}{9}
\end{array}\]Donc les solutions de cette inéquation sont les nombres réels supérieurs ou égaux à $-\dfrac{2}{9}$

Mise en équation ou inéquation d’un problème

Règle : Pour résoudre un problème, on respecte les étapes suivantes :

Choix de l’inconnue.
Mise en équation ou en inéquation.
Résolution de l’équation ou de l’inéquation.
Vérification et interprétation du résultat.

Exemple : La somme des âges d’une personne $P$, de sa mère et de sa grand-mère est $135$ ans. La grand-mère a le triple de l’âge de la mère et l’âge de $P$ est la moitié de celui de la mère. Quel est l’âge de chacune de ces personnes?