Concours ENSAM 2025

Lors du concours ENSAM Maroc – Mathématiques $2025$, un candidat répond au hasard à l’ensemble des $30$ questions d’un QCM (il ne laisse donc aucune question sans réponse).
Le barème est le suivant : $+2$ points pour une bonne réponse, $-1$ point pour une mauvaise réponse.
Quelle est la probabilité que ce candidat obtienne exactement $25$ points?
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \,\, \displaystyle\frac{60!}{25!35!}\left(\frac{1}{5}\right)^{25}\left(\frac{4}{5}\right)^{35} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf B}\ \,\, \displaystyle\frac{60!}{25!35!}\left(\frac{1}{5}\right)^{35}\left(\frac{4}{5}\right)^{25} &\quad\quad&\\
\boxed{\mathbf C}\ \,\, 0 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ \,\, 1 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf E}\ \,\, AR
\end{array}

On définit $h(x)=\displaystyle\int_0^x f(t) d t$. La courbe suivante représente la fonction $f$.
Graphe de $f$ Permi les propositions ci-dessous, laquelle est vraie?
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \,\, h(6) < h^{\prime}(6) < h^{\prime \prime}(6)&\quad\quad&
\boxed{\mathbf C}\ \,\, h^{\prime}(6) < h(6) < h^{\prime \prime}(6)&\quad\quad&
\boxed{\mathbf E}\ \,\, h^{\prime \prime}(6) < h^{\prime}(6) < h(6)\\
\boxed{\mathbf B}\ \,\, h(6) < h^{\prime \prime}(6) < h^{\prime}(6)&\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ \,\, h^{\prime \prime}(6) < h(6) < h^{\prime}(6)&\quad\quad&
\end{array}

Soient $f, g$ et $h$ des fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. Elles satisfont les relations suivantes pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f^{\prime}(x)=g(x+1)$ et $g^{\prime}(x)=h(x-1)$. Calculer $f^{\prime \prime}(2 x)$ :
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \,\, h(2 x+1) &\quad\quad&
\boxed{\mathbf B}\ \,\, 2 h^{\prime}(2 x)&\quad\quad&
\boxed{\mathbf C}\ \,\, h(2 x) &\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ \,\, 4 h(2 x)&\quad\quad&
\boxed{\mathbf E}\ \,\, AR.&\quad\quad&
\end{array}

Soit $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite géométrique de raison $q$. On définit $v_n=\dfrac{u_n}{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et l’on suppose que $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $\tau$. Déterminet $q+r$.
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \,\, 0 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf B}\ \,\, 1&\quad\quad&
\boxed{\mathbf C}\ \,\, \sqrt{2}&\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ \,\, \dfrac{1}{2}&\quad\quad&
\boxed{\mathbf E}\ \,\, AR
\end{array}

On considère la suite $\left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $a_{n+1}=\dfrac{1}{a_n}+1, \quad a_1=1$.
Sachant que $a_{100}=\dfrac{k}{m}$, Déterminer la valeur du $98^e$ terme $a_{98}$.
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \,\, \dfrac{k-m}{2 m-k} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf B}\ \,\, \dfrac{k-2 m}{k-m} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf C}\ \,\, \dfrac{k-m}{k-2 m} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ \,\, \dfrac{2 m-k}{k-m} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf E}\ \,\, AR
\end{array}

Soit la fonction $f(x)=\left(\dfrac{-1+\sin x}{1+\sin x}\right)^2$, et posons $f(x)=x g(x)+1$.
Quelle est la valeur de $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} g(x)$?
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \,\, 4 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf B}\ \,\, 2 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf C}\ \,\, -2 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ \,\, -4 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf E}\ \,\, 0 &\quad\quad&
\end{array}

On cherche le plus petit entier naturel à trois chiffres $x$ pour lequel il existe un entier $y$ satisfaisant l’équation $43 x+77 y=273$.
Quelle est la somme des chiffres de cet entier $x$?
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \,\, 4&\quad\quad&
\boxed{\mathbf B}\ \,\, 5 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf C}\ \,\, 8&\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ \,\, 9&\quad\quad&
\boxed{\mathbf E}\ \,\, 11&\quad\quad&
\end{array}

Combien de solutions réelles distinctes possède l’équation : $\left(\left(\left(x^2-1\right)^2-2\right)^2-3\right)^2=4$?
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \,\, 5&\quad\quad&
\boxed{\mathbf B}\ \,\, 6&\quad\quad&
\boxed{\mathbf C}\ \,\, 7&\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ \,\, 8&\quad\quad&
\boxed{\mathbf E}\ \,\, 9
\end{array}

On considère l’intégrale suivante : $\displaystyle\int_0^{\pi / 2}\left(\sin ^2 x+3 \cos ^2 x\right) d x$
La valeur de l’intégrale est :
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \,\, \dfrac{\pi}{2}&\quad\quad&
\boxed{\mathbf B}\ \,\, 2 \pi&\quad\quad&
\boxed{\mathbf C}\ \,\, \dfrac{3 \pi}{2}&\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ \,\, \pi&\quad\quad&
\boxed{\mathbf E}\ \,\, \dfrac{3 \pi}{2}
\end{array}

La suite $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ est définie par $u_n=\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$. Elle est:
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \,\, \text{Non bornée et monotone}\\
\boxed{\mathbf B}\ \,\, \text{Bornée et décroissante}\\
\boxed{\mathbf C}\ \,\, \text{Non bornée et non monotone}\\
\boxed{\mathbf D}\ \,\, \text{Bornée et non monotone}\\
\boxed{\mathbf E}\ \,\, \text{Bornée et croissante}
\end{array}

Pour chaque entier $n \geq 1$, on considère les fonctions suivantes $f_n(x)=x^2-(n+1) x+b_n$, et $g_n(x)=x^2-n x+b_n$.
Sachant que la courbe de $f_n$ rencontre l’axe des abscisses, tandis que celle de $g_n$ ne le rencontre pas.
Quelle est la valeur de $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_2}{n^2}$ ?
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \,\, \dfrac{1}{4} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf B}\ \,\, \dfrac{1}{5} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf C}\ \,\, \dfrac{2}{5} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ \,\, \dfrac{1}{10} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf E}\ \,\, \dfrac{1}{20}
\end{array}

Soient deux fonctions réelles $f$ et $g$ telles que $f(-x)=-f(x)$ et $g(-x)=g(x) \quad(\forall x \in \mathbb{R})$.
On pose $h(x)=f(x) g(x)$. Sachant que $\displaystyle\int_{-3}^3(x+5) h^{\prime}(x) d x=10$, déterminer la valeur de $h(3)$.
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \,\, 1 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf B}\ \,\, 2 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf C}\ \,\, 3 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ \,\, 4 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf E}\ \,\, 5 &\quad\quad&
\end{array}

Soit $z \in \mathbb{C}$ tel que $\left|\dfrac{z-i}{z+2 i}\right|=1$ et $|z|=\dfrac{5}{2}$.
Quelle est la valeur de $|z+3 i|$ ?
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \,\, \sqrt{10} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf B}\ \,\, \dfrac{7}{2} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf C}\ \,\, \dfrac{15}{4} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ \,\, 2 \sqrt{3} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf E}\ \,\, AR
\end{array}

On pose $N=11^{2025}+(2025)^{11}$.
Le reste de la division euclidienne de $N$ par 9 est égal à :
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \,\, 1 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf B}\ \,\, 4 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf C}\ \,\, 6 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ \,\, 8 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf E}\ \,\, AR
\end{array}

On pose $\displaystyle\int_1^2 \frac{x^2}{1+x^4} d x=A$, où $A > 0$ est laissé indéterminé.
En déduire la valeur de $\displaystyle\int_1^2 \frac{x^{-2}}{1+x^4} d x$ en fonction de $A$.
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \,\, 1-A &\quad\quad&
\boxed{\mathbf A}\ \,\, -A &\quad\quad&
\boxed{\mathbf A}\ \,\, t &\quad\quad&
\boxed{\mathbf A}\ \,\, A-1 &\quad\quad&
\boxed{\mathbf A}\ \,\, \dfrac{1}{2}-A
\end{array}