Concours ENSA 2025

Le nombre complexe: $$Z=(-1+i \sqrt{3})^{2010}+(-1-i \sqrt{3})^{2010}$$ La valeur de $Z$ est:
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ 2^{2009} &\quad\quad&\boxed{\mathbf B}\ 2 i \sin \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right) \exp \left(\dfrac{i 4 \pi}{3}\right)\\
\boxed{\mathbf C}\ 2 \cos \left(\dfrac{4 \pi}{3}\right) \exp \left(\dfrac{i 2 \pi}{3}\right) &\quad\quad&\boxed{\mathbf D}\ 2^{2011}\\
\end{array}

Dans $\mathbb{C}$, on considère l’équation $$z^6=(1-i) \bar{z}\quad\quad (1)$$ On note $z$ une solution non nulle quelconque de de l’équation $(1)$. Alors:

\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ |z|=1 &\quad\quad&\boxed{\mathbf B}\ |z|=\sqrt{3}\\
\boxed{\mathbf C}\ |z|=2^{1 / 5} &\quad\quad&\boxed{\mathbf D}\ |z|=2^{1 / 10}\\
\end{array}

Dans $\mathbb{C}$, on considère l’équation $$z^2+z+1=\dfrac{1}{z+1}\quad\quad (2)$$ On note $z_1$ et $z_2$ les solutions non réelles de l’équation $(2)$. On a:
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \left|z_1\right|=\left|z_2\right| &\quad\quad&\boxed{\mathbf B}\ \left|z_1\right|>\left|z_2\right|\\
\boxed{\mathbf C}\ \left|z_1\right|<\left|z_2\right| &\quad\quad&\boxed{\mathbf D}\ \left|z_1\right|=2\left|z_2\right|\\
\end{array}

On note $S$ l’ensemble des points du plan complexe $M$ dont l’affixe $z$ vérifie $$|z-3|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}|z-5|$$ Alors:
\begin{array}{l}
\boxed{\mathbf A}\ S=\emptyset \\
\boxed{\mathbf B}\ S=\mathbb{C}\\
\boxed{\mathbf C}\ S=\text{le cercle de centre } (1,0) \text{ et de rayon } 2 \sqrt{2}\\
\boxed{\mathbf D}\ S=\text{le cercle de centre } (0,1) \text{ et de rayon } \dfrac{1}{2}\\
\end{array}

Dans le plan complexe, on considère les points $A, B, C$ et $D$ d’affixe respective $1,-1, i$ et $-i$. On note $\mathbf{U}$ l’ensemble des nombres complexes de module 1 . Si $M \in \mathbb{U}$, on note $p(M)$ le produit des distances de $M$ aux points $A, B, C, D$ :
$$p(M)=M A \times M B \times M C \times M D$$ On pose $m=\displaystyle\sup _{M \in U} p(M)$. Alors la valeur de $m$ est:
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ m=1 &\quad\quad&\boxed{\mathbf B}\ m=2\\
\boxed{\mathbf C}\ m=3 &\quad\quad&\boxed{\mathbf D}\ m=+\infty\\
\end{array}

Soit a l’entier naturel définit par: $$(2025)^{2025} \equiv a \bmod 7$$ La valeur de $a$ est:
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ a=3 &\quad\quad&\boxed{\mathbf B}\ a=2\\
\boxed{\mathbf C}\ a=5 &\quad\quad&\boxed{\mathbf D}\ a=1\\
\end{array}

Le $\mathrm{PGCD}$ de $3^{123}-5$ et $125$ est:
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ 1 &\quad\quad&\boxed{\mathbf B}\ 5\\
\boxed{\mathbf C}\ 25 &\quad\quad&\boxed{\mathbf D}\ 125\\
\end{array}

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par: $$u_n=\dfrac{\ln (1+\sqrt{n})}{\ln \left(1+n^3\right)}$$ On note $L=\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} u_n$.
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ L=1 &\quad\quad&\boxed{\mathbf B}\ L=\sqrt{3}\\
\boxed{\mathbf C}\ L=\dfrac{1}{6} &\quad\quad&\boxed{\mathbf D}\ L=\dfrac{1}{3}\\
\end{array}

Soit ( $u_n$ ) la suite numérique définie par l’équation $$
\begin{aligned}
u_0 & =1 \\
u_{n+1} & =\dfrac{u_n}{1+2 u_n}, \quad \forall n \geq 0
\end{aligned}
$$ En considérant la suite $v_n=\dfrac{1}{u_n}$, on trouve:
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} n u_n=0 &\quad\quad&\boxed{\mathbf B}\ \displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} n u_n=1\\
\boxed{\mathbf C}\ \displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} n u_n=\dfrac{1}{2} &\quad\quad&\boxed{\mathbf D}\ \displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} n u_n=\dfrac{1}{4}\\
\end{array}

Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on définit
$$u_n=\sqrt{n+\sqrt{n-1+\sqrt{\cdots+\sqrt{1}}}}$$ La limite $L$ de la suite $(u_n)$ est:
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ L=1 &\quad\quad&\boxed{\mathbf B}\ L=\dfrac{\pi}{2}\\
\boxed{\mathbf C}\ L=+\infty &\quad\quad&\boxed{\mathbf D}\ L=0\\
\end{array}

On pose pour $n \in \mathbb{N}^*$ :
$$S_n=\sum_{k=1}^{2 n+1} \dfrac{1}{\sqrt{n^2+k}}$$ La limite de $S_n$ est:
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ 0 &\quad\quad&\boxed{\mathbf B}\ \dfrac{1}{2}\\
\boxed{\mathbf C}\ 1 &\quad\quad&\boxed{\mathbf D}\ 2\\
\end{array}

En admettant que pour tout $n \in \mathbb{N}$, le nombre réel
$$
(3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n
$$ est un entier pair, la limite
$$
L=\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} \cos \left((3+\sqrt{5})^n \pi\right)
$$ vaut:
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ L=0 &\quad\quad&\boxed{\mathbf B}\ L=-1\\
\boxed{\mathbf C}\ L=1 &\quad\quad&\boxed{\mathbf D}\ L=\dfrac{\pi}{4}\\
\end{array}

Soit $a>0$, alors
$$
\displaystyle\lim _{x \rightarrow a^{+}} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{a}-\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}
$$ est:
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ -\dfrac{1}{\sqrt{2 a}} &\quad\quad&\boxed{\mathbf B}\ -\dfrac{1}{\sqrt{a}}\\
\boxed{\mathbf C}\ \dfrac{1}{\sqrt{a}} &\quad\quad&\boxed{\mathbf D}\ -\dfrac{2}{\sqrt{a}}\\
\end{array}

On note $I_n$ la suite définie par:
$$
I_n=\int_0^1 \dfrac{x}{1+x^{2 n}} d x
$$ La limite $L$ de $I_n$ est:
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ L=\dfrac{1}{2} &\quad\quad&\boxed{\mathbf B}\ L=\dfrac{3}{2}\\
\boxed{\mathbf C}\ L=0 &\quad\quad&\boxed{\mathbf D}\ L=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
\end{array}

La valeur de l’intégrale
$$
I=\int_0^{\sqrt{3}} x^2 \ln \left(x^2+1\right) d x
$$ est:
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ I=\sqrt{3} \ln (2)-\dfrac{\pi}{9} &\quad\quad&\boxed{\mathbf B}\ I=\sqrt{3} \ln (2)+\dfrac{\pi}{9}\\
\boxed{\mathbf C}\ I=2\left(\sqrt{3} \ln (2)-\dfrac{\pi}{9}\right) &\quad\quad&\boxed{\mathbf D}\ I=\sqrt{3} \ln (2)\\
\end{array}

Soit $f$ la fonction définie sur $] 0,+\infty\left[\right.$ par $f(x)=\dfrac{2 \ln (x)}{x\left(1+(\ln (x))^2\right)}$. La primitive de $f$ sur $] 0,+\infty[$ qui s’annule en $1$ est:
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ \ln \left(1+(\ln (x))^2\right) &\quad\quad&\boxed{\mathbf B}\ (\ln (x))^2\\
\boxed{\mathbf C}\ 2 \ln \left(1+(\ln (x))^2\right) &\quad\quad&\boxed{\mathbf D}\ \dfrac{x \ln (x)}{\ln (x)+1}\\
\end{array}

Dans l’espace $\mathbb{R}^3$ rapporté à un repère orthonormé direct ( $O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ ), on considère le plan $(P)$ d’équation $2 x-5 y-6 z+4=0$ et $(S)$ la sphère de centre $\Omega(2 ;-2 ; 3)$ et de rayon 3, alors:
\begin{array}{l}
\boxed{\mathbf A}\ (P) \text{ coupe } (S) \text{ suivant un cercle de rayon } 3 \text{ et de centre }\Omega\\
\boxed{\mathbf B}\ (P) \text{ coupe } (S) \text{ suivant un cercle de rayon } 3 \text{ et de centre le point de coordonnées } (2; 2; 3)\\
\boxed{\mathbf C}\ (P) \text{ est tangent à } (S) \text{ au point de coordonnées } (2 ; 2 ; 3)\\
\boxed{\mathbf D}\ (P) \text{ est tangent à } (S) \text{ au point de coordonnées } (2 ; 0 ;-3)
\end{array}

On jette deux fois de suite une pièce de monnaie non truquée et on note les arrivées de pile et de face. Soit $p$ la probabilité d’avoir deux fois face sachant que le premier jet a donné face.
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ p=\dfrac{1}{2} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf B}\ p=\dfrac{1}{3}\\
\boxed{\mathbf C}\ p=\dfrac{1}{4} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ p=\dfrac{3}{4}
\end{array}

Une usine fabrique des composants électroniques et dispose d’une machine pour tester s’ils sont défectueux ou non. Les résultats sont comme suit:
– Si le composant est défectueux: la machine le détecte dans $90 \%$ des cas et dans $10 \%$ des cas elle échoue.
– Si le composant n’est pas défectueux: la machine l’indique correctement dans $99 \%$ des cas et elle échoue dans $1 \%$ des cas.
On tire au hasard un composant dans une large population où l’on sait que $0.1 \%$ des composants sont défectueux, et on note $p$ la probabilité qu’un composant tiré au hasard soit détecté défectueux par la machine.
Alors $p=$
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ p=1.041 \% &\quad\quad&
\boxed{\mathbf B}\ p=1.089 \%\\
\boxed{\mathbf C}\ p=1.025 \% &\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ p=1 \%
\end{array}

On jette $n$ fois de suite un dé non truqué numéroté de 1 à $6, n \geq 2$, et on note les numéros des faces obtenues. Soit $p_n$ la probabilité d’avoir un nombre inférieur ou égale à 3 dans le second jet sachant que le premier jet a donné la face numéro 2 . Soit $p=\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} p_n$.
La valeur de $p$ est:
\begin{array}{lcl}
\boxed{\mathbf A}\ p=\dfrac{1}{2} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf B}\ p=\dfrac{1}{3}\\
\boxed{\mathbf C}\ p=\dfrac{1}{6} &\quad\quad&
\boxed{\mathbf D}\ p=0
\end{array}