Exercices : Logique – 1Bac Sc.Maths

Considérons la proposition $P$ :$$P: \quad(\forall y \in \mathbb{R}^*) \, (\exists x \in \mathbb{R}) \text{ ; } \quad x^2 – xy + y^2 = 0.$$

1. Déterminer la négation de la proposition $P$.
2. Montrer que la proposition $P$ est fausse.

Montrer que la proposition suivante est fausse :
$$\forall x \in ]0, 1[,\quad \dfrac{2x}{x^2(1 – x^2)} < 0.$$

Montrer en utilisant la contraposée que :
$$\left(xy \neq 1 \text{ et } x \neq y \right) \Rightarrow \dfrac{x}{x^2 + x+ 1} \neq \dfrac{y}{y^2+y+1}.$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante :
\[\sqrt {2x + 19 – 8\sqrt {2x + 3} } + \sqrt {2x + 7 – 4\sqrt {2x + 3} } = 6\]

Soient $a$ et $b$ deux nombre réels. Considérons les propositions $P$ et $Q$ suivantes :$$\begin{aligned}
&\bullet\quad P \,: \,\,\left(a^3 + b^3 < 1 < a + b\right)\\
&\bullet\quad Q \,:\,\, \left(0 < a < 1\text{ et } 0 < b < 1\right)
\end{aligned}$$Montrer que $P \Rightarrow Q$.

Soient $a$, $b$ et $c$ des nombres réels strictement positifs tels que
$$a + b + c < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \,\text{ et }\, abc > 1$$

1. Montrer que tous ces nombres ne sont pas égaux à $1$.
2. Montrer par l’absurde que l’un de ces nombres est inférieur à $1$.

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que : $a + b = 2$ et $|a| < |b|$.
Montrer que : \[1 \in \left] {\left| a \right|;\left| b \right|} \right[ \Leftrightarrow ab \in \left] { – 3;1} \right[.\]

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation suivante :
$$\sqrt{x^2 – 5x + 6} > x + 4.$$

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, le nombre $n^3 – n$ est divisible par $6$.

Soit $x$ un nombre réel strictement positif.

1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$:
   $$(1 + x)^n \geq 1 + nx.$$
2. En déduire les inégalités suivantes :
   1. $\big(\forall n \in \mathbb{N}\big),\,\,\, 2^n \geq 1 + n$
   2. $\big(\forall n \in \mathbb{N}\big), \,\,\, 3^n \geq n$
   3. $\big(\forall n \in \mathbb{N}^*\big),\,\,\, (n + 1)^n \geq 2^n n$.