Instructions pour le candidat
Durée de réalisation : 1 heure
Les questions de ce devoir sont issues des leçons suivantes :
- • Les identités remarquables
- • Les racines carrées
- • Les puissances
Enoncé 
Soit $x$ un nombre réel. On pose :
$$A = 5\left( {x -2} \right) \quad;\quad B = {\left( {2x -1} \right)^2} + x\left( {2x -1} \right) \quad;\quad C = {\left( {x + 6} \right)^2} -25$$
- Développer et réduire : $A$, $B$ et $C$.
- Factoriser $B$ et $C$.
Indication
Pour développer et réduire :
- Utiliser la distributivité : $k(a + b) = ka + kb$.
- Appliquer les identités remarquables pour les carrés :
- $\left(a + b\right)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $\left(a -b\right)^2 = a^2 -2ab + b^2$
- Pour $x(2x -1)$, utiliser la propriété de distributivité.
Pour factoriser :
- Identifier des mises en évidence possibles dans l’expression développée.
- Utiliser les identités remarquables si la forme s’y prête (ex: différence de carrés : $a^2 -b^2 = (a -b)(a + b)$).
Corrigé
- Développer et réduire : $A$, $B$ et $C$.\[\begin{aligned}
A &= 5\left( {x -2} \right)\\
&= 5 \times x -5 \times 2\\
&= 5x -10\\
B &= {\left( {2x -1} \right)^2} + x\left( {2x -1} \right)\\
&= {\left( {2x} \right)^2} -2 \times 2x \times 1 + {1^2} + x \times 2x -x \times 1\\
&= 4{x^2} -4x + 1 + 2{x^2} -x\\
&= 6{x^2} -5x + 1\\
C &= {\left( {x + 6} \right)^2} -25\\
&= {x^2} + 2 \times x \times 6 + {6^2} -25\\
&= {x^2} + 12x + 36 -25\\
&= {x^2} + 12x + 10
\end{aligned}\]
- Factoriser $B$ et $C$.\[\begin{aligned}
B &= {\left( {2x -1} \right)^2} + x\left( {2x -1} \right)\\
&= \left( {2x -1} \right)\left( {2x -1} \right) + x\left( {2x -1} \right)\\
&= \left( {2x -1} \right)\left( {2x -1 + x} \right)\\
&= \left( {2x -1} \right)\left( {3x -1} \right)\\
C &= {\left( {x + 6} \right)^2} -25\\
&= {\left( {x + 6} \right)^2} -{5^2}\\
&= \left( {x + 6 -5} \right)\left( {x + 6 + 5} \right)\\
&= \left( {x + 1} \right)\left( {x + 11} \right)
\end{aligned}\]
Enoncé
Écrire sous forme d’une seule puissance : $$D = \dfrac{{{a^{ -3}} \times {{\left( {a \times {a^{ -3}}} \right)}^{ -4}}}}{{{a^{ -1}} \times {a^{ -2}} \times a}}$$
Indication
Pour écrire $D$ sous forme d’une seule puissance :
- Commencer par simplifier le numérateur et le dénominateur séparément en utilisant les règles des puissances :
- $a^m \times a^n = a^{m+n}$
- $(a^m)^n = a^{m \times n}$
- Si $a \neq 0$, alors $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
- Réécrire toutes les expressions intermédiaires sous forme de puissances, puis regrouper.
Corrigé
\[\begin{aligned}
D &= \frac{{{a^{ -3}} \times {{\left( {a \times {a^{ -3}}} \right)}^{ -4}}}}{{{a^{ -1}} \times {a^{ -2}} \times a}}\\
&= \frac{{{a^{ -3}} \times {a^{ -4}} \times {{\left( {{a^{ -3}}} \right)}^{ -4}}}}{{{a^{ -1 -2 + 1}}}}\\
&= \frac{{{a^{ -7}} \times {a^{12}}}}{{{a^{ -2}}}}\\
&= \frac{{{a^5}}}{{{a^{ -2}}}}\\
&= {a^{5 -\left( { -2} \right)}}\\
&= {a^{5 + 2}}\\
&= {a^7}
\end{aligned}\]
Enoncé
- Donner l’écriture scientifique des nombres :
$$E = 0,048 \quad;\quad F=3000000$$
- En déduire l’écriture scientifique de:
$$G=\dfrac{0,048}{3000000}$$
Indication
-
Pour écrire un nombre en écriture scientifique, on le transforme sous la forme $a \times 10^n$ où $1 \leq a < 10$ et $n \in \mathbb{Z}$.
-
Utiliser les écritures scientifiques précédentes pour faire le quotient. Appliquer la règle :
$$\dfrac{a \times 10^n}{b \times 10^m} = \dfrac{a}{b} \times 10^{n -m}$$ puis simplifier.
Corrigé
- On donne l’écriture scientifique des nombres suivants :
$$\begin{aligned}
E &= 0,048=\boxed{4,8\times 10^{-2}}\\
F &=3000000=\boxed{3\times 10^{6}}
\end{aligned}$$
- En déduire l’écriture scientifique de:
$G=\dfrac{0,048}{3000000}$
$$\begin{aligned}
G=\dfrac{E}{F}=\dfrac{4,8\times 10^{-2}}{3\times 10^{6}}=\dfrac{4,8}{3}\times 10^{-2-6}=\boxed{1,6\times 10^{-8}}
\end{aligned}$$
Enoncé
Calculer et simplifier :
- $H = {\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^{ -2}} + \dfrac{7}{5}$
- $I = \sqrt {48} -\sqrt {12} + 2\sqrt 3 $
- $J = \sqrt {\dfrac{{\sqrt {100} -1}}{{{3^2} + {4^2}}}}$
- $K = \sqrt {\sqrt 5 -1} \times \sqrt {\sqrt 5 +1} $
Indication
-
Utiliser la propriété des puissances : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, puis simplifier la puissance avec une racine carrée. Enfin, réduire la somme.
-
Écrire chaque racine comme $\sqrt{a \times b}$, puis utiliser la propriété $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ pour simplifier. Regrouper les termes semblables.
-
Calculer d’abord les valeurs exactes de $\sqrt{100}$, $3^2$ et $4^2$, puis simplifier la fraction sous la racine avant d’appliquer la racine principale.
-
Utiliser l’identité remarquable $(a -b)(a + b) = a^2 -b^2$ sous la racine pour simplifier le produit. Ensuite, extraire la racine carrée.
Corrigé
- Calculons et simplifions l’expression $H$
$$\begin{aligned}
H &= {\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^{ -2}} + \dfrac{7}{5}\\
&= {\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + \dfrac{7}{5}\\
&= \dfrac{4}{5} + \dfrac{7}{5}\\
&=\boxed{ \dfrac{{11}}{5}}
\end{aligned}$$
- Calculons et simplifions l’expression $I$
$$\begin{aligned}
I &= \sqrt {48} -\sqrt {12} + 2\sqrt 3\\
&= \sqrt {{4^2} \times 3} -\sqrt {{2^2} \times 3} + 2\sqrt 3\\
&= 4\sqrt 3 -2\sqrt 2 + 2\sqrt 2\\
&= \boxed{4\sqrt 3}
\end{aligned}$$
- Calculons et simplifions l’expression $J$
$$\begin{aligned}
J &= \sqrt {\dfrac{{\sqrt {100} -1}}{{{3^2} + {4^2}}}}\\
&= \sqrt {\dfrac{{\sqrt {{{10}^2}} -1}}{{9 + 16}}}\\
&= \sqrt {\dfrac{{10 -1}}{{25}}}\\
&= \sqrt {\dfrac{9}{{25}}}\\
&= \boxed{\dfrac{3}{5}}
\end{aligned}$$
- Calculons et simplifions l’expression $K$
$$\begin{aligned}
K &= \sqrt {\sqrt 5 -1} \times \sqrt {\sqrt 5 + 1}\\
&= \sqrt {\left( {\sqrt 5 -1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}\\
&= \sqrt {{{\sqrt 5 }^2} -{1^2}}\\
&= \sqrt {5 -1} = \sqrt 4 = \boxed{2}
\end{aligned}$$
Enoncé
Écrire sans « $\sqrt{~~}$ » au dénominateur :
- $L = \dfrac{{3}}{{7\sqrt 5 }}$
- $M = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 -1}}$
Indication
Pour écrire une expression sans racine au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le radical conjugué (ou par la racine elle-même) afin de rationaliser le dénominateur.
(Suivre ensuite le calcul détaillé selon l’expression donnée…)
Corrigé
- $L = \dfrac{3}{{7\sqrt 5 }} = \dfrac{{3 \times \sqrt 5 }}{{7\sqrt 5 \times \sqrt 5 }} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{7{{\sqrt 5 }^2}}} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{7 \times 5}} = \boxed{\dfrac{{3\sqrt 5 }}{{35}}}$
- $
M = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 -1}} = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 -1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} = \dfrac{{{{\sqrt 3 }^2} + \sqrt 3 }}{{{{\sqrt 3 }^2} -{1^2}}} = \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{{3 -1}} = \boxed{\dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{2}}$
