Cours : Puissances - 1ac

Puissance d’un nombre relatif

Définition : Soit $a$ un nombre relatif non nul, $n$ un nombre entier supérieur à $1$.
$$a^{n}=\underbrace{a \times a \times \ldots \ldots \times a}_{n \text { facteurs }}$$
$a^n$ se lit « $a$ puissance $n$ » ou « $n$ exposant $n$ »

Si $n=1$, alors $a^1=a$.
Si $n=0$ et $a \neq 0$ alors $a^0=1$.

Remarques :

$a$ est la base de la puissance $a^n$.
$n$ est l’exposant de la puissance $a^n$.
$0^0$ n’existe pas.
$a^2$ se lit aussi $a$ au carré.
$a^3$ se lit aussi $a$ au cube.

Exemples :

$\quad\bullet\quad 3^{4}=\underbrace{3 \times 3 \times 3 \times 3}_{4 \text { fois le nombre } 3}=81$

$\quad\bullet\quad(-2)^3=\underbrace{(-2)\times(-2)\times(-2)}_{3 \text { fois le nombre } -2}=-8$

$\quad\bullet\quad (-7)^1=-7$

$\quad\bullet\quad \left(-9\right)^0=1$

Signe d’une puissance

Propriété : Soit $a$ un nombre relatif, $n$ un nombre entier naturel non nul.

Si $a$ est positif, alors $a^n$ est positif.
Si $a$ est négatif, alors :
1. Si $n$ est pair, alors $a^n$ est positif.
2. Si $n$ est impair, alors $a^n$ est négatif.

Exemples :

La puissance $\left( -12 \right)^{17}$ est négatif, car la base est négatif et l’exposant est impair.
La puissance $\left( -3 \right)^{48}$ est positif, car l’exposant est pair.
La puissance $(17,6)^{21}$ est positif, car la base est positif.

Puissances de 10

Propriétés : Soit $n$ un nombre entier naturel.

${10^n} = 1\underbrace {00………0}_{n\,\,\text{zéros}}$
$10^0=1$ et $10^1=10$

Exemples :

$\quad\bullet\quad$ $10^5=1\underbrace{00000}_{5\text{ zéros}}$

$\quad\bullet\quad$ $10^7=1\underbrace{0000000}_{7\text{ zéros}}$

$\quad\bullet\quad$ $1\underbrace{000000000}_{9\text{ zéros}}=10^9$

$\quad\bullet\quad$ $1\underbrace{0000}_{4\text{ zéros}}=10^4$

$\quad\bullet\quad$ $10^5 =100000$

Opérations sur les puissances

Propriétés : $a$, $b$ deux nombres relatifs non nuls, $n$ et $m$ deux entiers naturels.

$$\begin{aligned}
&\bullet\quad a^n \times a^m = a^{n+m}\\
&\bullet\quad a^n \times b^n = (a \times b )^{n}\\
&\bullet\quad \left( a^n\right)^m=a^{n\times m}\\
&\bullet\quad \dfrac{a^n}{a^m}= a^{n-m}, \text{ avec } (n>m)\\
&\bullet\quad \dfrac{a^n}{b^n}= \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}\end{aligned}$$

Propriétés : $n$ et $m$ deux entiers naturels. $$\begin{aligned}
&\bullet\quad 10^n \times 10^m = 10^{n+m}\\
&\bullet\quad \left( 10^n\right)^m=a^{10\times m}\\
&\bullet\quad \dfrac{10^n}{10^m}= 10^{n-m}
\end{aligned}$$

Exemples :
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad 10^9 \times 10^5= 10^{9+5}=10^{14}\\
&\bullet\quad 2^7 \times 5^7= (2 \times 5)^7=10^7\\
&\bullet\quad \left( 10^3\right)^4=10^{3 \times 4} =10^{12}\\
&\bullet\quad \dfrac{10^8}{10^3}=10^{8-3}=10^5\\
&\bullet\quad \dfrac{21^{13}}{7^{13}}=\left(\dfrac{21}{7}\right)^{13}=3^{13}
\end{aligned}$$