Cours : Opération sur les nombres en écriture fractionnaire – 1ac

Addition et soustraction

Avec même dénominateur

Règle 1 : Pour calculer la somme (ou la différence) de deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur :

On additionne (ou on soustrait) les numérateurs.
On conserve le dénominateur commun.

Autrement dit : Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres décimaux, où $(b\neq0)$.
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b} ~~~~et ~~~~
\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{b}=\dfrac{a-c}{b} ~~~~(avec~ a>c)
$$

Exemples : $$\begin{aligned}&\bullet\,\,\, \dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{1+3}{5}=\dfrac{4}{5}\\
&\bullet\,\,\,\dfrac{5,8}{2,5}-\dfrac{3}{2,5}=\dfrac{5,8-3}{2,5}=\dfrac{2,8}{2,5}=\dfrac{28}{25}\end{aligned}$$

Avec des dénominateurs différents

Règle 2 : Pour calculer la somme (ou la différence) de deux nombres en écriture fractionnaire qui ont des dénominateurs différents :

On commence par les écrire avec le même dénominateur.
On additionne (ou on soustrait) les numérateurs en conservant le dénominateur commun.

Exemples : $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\,\frac{7}{5} + \frac{4}{3} = \frac{{21}}{{15}} + \frac{{20}}{{15}} = \frac{{21 + 20}}{{15}} = \frac{{41}}{{15}}\\
&\bullet\,\,\,\frac{{14}}{{18}} – \frac{{10}}{{15}} = \frac{7}{9} – \frac{2}{3} = \frac{7}{9} – \frac{6}{9} = \frac{{7 – 6}}{9} = \frac{1}{9}\\
&\bullet\,\,\,\frac{{2,8}}{6} – \frac{{0,4}}{{2,4}} = \frac{{28}}{{60}} – \frac{4}{{24}} = \frac{{14}}{{30}} – \frac{1}{6} = \frac{{14}}{{30}} – \frac{5}{{30}} = \frac{9}{{30}} = \frac{3}{{10}}
\end{aligned}$$

Remarque 1 : Il faut toujours penser aux simplifications des fractions avant d’effectuer leur somme ou leur différence.

Multiplication et division

Règle 3 : Pour calculer le produit de deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateur entre eux.

Autrement dit : Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres décimaux, avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$ : $$\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$$

Remarque 2 : $a\times \dfrac{c}{b}=\dfrac{a\times c}{b}$. En effet : $a\times \dfrac{c}{b}=\dfrac{a}{1}\times\dfrac{c}{b}$

Exemples : $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\, \frac{5}{7} \times \frac{3}{2}\; = \frac{{5 \times 3}}{{7 \times 2}} = \frac{{15}}{{14}}\\
&\bullet\,\,\, \frac{{11}}{2} \times \frac{3}{2}\; = \frac{{11 \times 3}}{{2 \times 2}} = \frac{{33}}{4}\\
&\bullet\,\,\, 7 \times \frac{2}{3} = \frac{{7 \times 2}}{3}\; = \frac{{14}}{3}\\
&\bullet\,\,\,\frac{5}{7} \times 2,6 = \frac{{5 \times 2,6}}{7} = \frac{{13}}{7}\end{aligned}$$

Règle 4 : Pour faire la division d’un nombre en écriture fractionnaire par un
nombre en écriture fractionnaire non nul, on multiplie le premier nombre par l’inverse du deuxième

Autrement dit : Soit $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ deux nombres en écriture fractionnaire non nuls. $$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}=\dfrac{a\times d}{b\times c}$$

Exemples :
\[\begin{aligned}
&\bullet\,\,\,\frac{3}{5} \div 7 = \frac{3}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{3}{{35}}\\
&\bullet\,\,\,\frac{7}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{7} \times \frac{3}{2} = \frac{{15}}{{14}}\\
&\bullet\,\,\,\frac{2}{7} \div \frac{5}{3} = \frac{2}{7} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{{35}}
\end{aligned}\]

Règles de priorité :

Règle 5 : Les règles de priorité des calculs s’appliquent au calculs avec des nombres écrits sous forme fractionnaire.

Les calculs entre parenthèses sont effectuées en premier.
En l’absence de parenthèses, la multiplication et la division sont effectuées avant l’addition et la soustraction.

Exemples :
\[\begin{aligned}
&\bullet\,\,\,A = \frac{2}{3} \times \left( {\frac{7}{6} + \frac{5}{{12}}} \right) = \frac{2}{3} \times \left( {\frac{{14}}{{12}} + \frac{5}{{12}}} \right) = \frac{2}{3} \times \frac{{19}}{{12}} = \frac{{38}}{{36}} = \frac{{19}}{{18}}\\
&\bullet\,\,\,B = \frac{3}{5} – \frac{1}{5} \times \frac{7}{3} = \frac{3}{5} – \frac{7}{{15}} = \frac{9}{{15}} – \frac{7}{{15}} = \frac{2}{{15}}
\end{aligned}\]