Chapitre 1

Proposition

Définition : Une proposition mathématique est tout énoncé mathématique qui porte un sens vrai ou faux. On peut représenter les propositions par les lettres $P$, $Q$, $R$, etc.

Si la proposition $P$ est vraie, on le note par $V$ ou $1$.
Si la proposition $P$ est fausse, on la note par $F$ ou $0$.

Exemple :

$P$ : «$-2\in\mathbb{N}$» est une proposition fausse.
$Q$ : «$\frac{5}{3}>0$» est une proposition vraie.
$R$ : «$14$ est divisible par $6$» est une proposition fausse.

Fonction propositionnelle

Définition : Une fonction propositionnelle est une expression mathématique contenant une ou plusieurs variables qui devient une proposition lorsque les variables sont remplacées par des valeurs spécifiques.

Exemple :

$P(x)$ : « $x$ est un nombre pair ». Lorsque $x = 4$, $P(4)$ devient une proposition vraie.

Quantificateurs

Définition : Les quantificateurs sont des symboles utilisés pour indiquer la portée des variables dans une fonction propositionnelle. Les deux principaux quantificateurs sont :

Quantificateur universel ($\forall$) : Indique que la proposition est vraie pour tous les éléments d’un ensemble donné.
Quantificateur existentiel ($\exists$) : Indique qu’il existe au moins un élément dans l’ensemble pour lequel la proposition est vraie.
Quantificateur existentiel unique ($\exists!$) : Indique qu’il existe un et un seul élément dans l’ensemble pour lequel la proposition est vraie.

Exemples :

$(\forall x \in \mathbb{N}), x + 0 = x$ (vrai pour tous les nombres naturels $x$).
$(\exists x \in \mathbb{Z}), x^2 = 4$ (il existe un entier $x$ tel que $x^2 = 4$, par exemple $x = 2$).
$(\exists ! x\in\mathbb{N}), x+5=8$. Cet énoncé signifie qu’il existe un et un seul nombre naturel $x$ tel que $x+5=8$. En effet, la seule solution dans les nombres naturels est $x=3$, donc l’énoncé est vrai.

Négation d’une proposition

Définition : La négation d’une proposition $P$ est une nouvelle proposition qui est vraie lorsque $P$ est fausse et fausse lorsque $P$ est vraie. On note la négation de $P$ par $\neg P$ ou $\overline P$.

Table de vérité de $\overline P$
$\,\, P \,\,$	$\,\,\overline P\,\,$
$0$	$1$
$1$	$0$

Exemple :

La proposition $P$ : «$2$ est un nombre pair» (proposition vraie).
La négation $\overline P$ : «$2$ n’est pas un nombre pair» (proposition fausse).

Proposition : Soit $P(x)$ une fonction proportionnelle d’une variable $x$ d’un ensemble non vide $E$.

La négation de la proposition $«(\forall x\in E); P(x)»$ est la proposition $«(\exists x\in E); \overline{P(x)}».$
La négation de la proposition $«(\exists x\in E); P(x)»$ est la proposition $«(\forall x\in E); \overline{P(x)}».$

Exemples :

Proposition : $\forall x \in \mathbb{N}, x \geq 0$.
Négation : $\exists x \in \mathbb{N}, x < 0$ (Il existe un $x$ dans les naturels tel que $x$ est inférieur à 0).

Conjonction de deux propositions

Définition : La conjonction de deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est vraie si et seulement si $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies. On note la conjonction par $P \land Q$.

Table de vérité de $P \land Q$
$P$	$Q$	$P\land Q$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

Exemple :

$P$ : « $2$ est un nombre pair » (vraie).
$Q$ : « $3$ est un nombre impair » (vraie).
$P \land Q$ : « $2$ est un nombre pair et 3 est un nombre impair » (vraie).

Disjonction de deux propositions

Définition : La disjonction de deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est vraie si au moins une des deux propositions est vraie. On note la disjonction par $P \lor Q$.

Table de vérité de $P \lor Q$
$P$	$Q$	$P\lor Q$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

Exemple :

$P$ : « 2 est un nombre impair » (fausse).
$Q$ : « 3 est un nombre impair » (vraie).
$P \lor Q$ : « 2 est un nombre impair ou 3 est un nombre impair » (vraie).

Implication de deux propositions

Définition : L’implication entre deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est fausse uniquement si $P$ est vraie et $Q$ est fausse. On note l’implication par $P \Rightarrow Q$.

Table de vérité de $P \Rightarrow Q$
$P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

Exemple :

$P$ : « 4 est un nombre pair » (vraie).
$Q$ : « 4 est un multiple de 2 » (vraie).
$P \Rightarrow Q$ : « Si 4 est un nombre pair, alors 4 est un multiple de 2 » (vraie).

Équivalence de deux propositions

Définition : L’équivalence entre deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est vraie si et seulement si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité. On note l’équivalence par $P \Leftrightarrow Q$.

Table de vérité de $P \Leftrightarrow Q$
$P$	$Q$	$P\Leftrightarrow Q$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

Exemple :

$P$ : « 5 est un nombre premier » (vraie).
$Q$ : « 5 n’a que deux diviseurs distincts » (vraie).
$P \Leftrightarrow Q$ : « 5 est un nombre premier si et seulement si 5 n’a que deux diviseurs distincts » (vraie).

Lois logiques et raisonnements

Loi logique ou tautologie

Exemple : Les propositions suivantes sont des lois logiques :

$P\land (Q\lor R) \Leftrightarrow (P \land Q) \lor (P \land R)$
$P \lor (Q \land R) \Leftrightarrow (P \lor Q) \land (P \lor R)$

Loi de Morgan

Proposition : Soit $P$ et $Q$ deux propositions. Les deux propositions suivantes sont des lois logiques:

$\overline{ (P \land Q)} \Leftrightarrow \overline{P} \lor \overline{Q}$
$\overline{(P \lor Q)} \Leftrightarrow \overline{P} \land \overline{Q}$

Implication

Proposition : Soit $P$ et $Q$ deux propositions :

$(P \Rightarrow Q )\Leftrightarrow (\overline{P} \lor Q)$

Raisonnement par contraposée

Proposition : soit $P$ et $Q$ deux propositions.

$(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\overline{Q}\Rightarrow \overline{P})$

Exemple :

Soit $x$ et $y$ deux nombres réels dans $]1;+\infty[$. Montrons que : $$x\neq y\Rightarrow x^2-2x\neq y^2-2y$$
Il suffit d’utiliser le raisennement par contraposé en montrant que : $$x^2-2x = y^2-2y \Rightarrow x=y$$

On a :
\[\begin{aligned}
{x^2}- 2x = {y^2}- 2y &\Rightarrow {x^2}- {y^2}- 2\left( {x{\rm{\;}}- y} \right) = 0\\
&\Rightarrow \left( {x- y} \right)\left( {x + y} \right)- 2\left( {x- y} \right) = 0\\
&\Rightarrow \left( {x- y} \right)\left( {x + y- 2} \right) = 0\\
&\Rightarrow x- y = 0\,\,ou\,\,x + y- 2 = 0\\
&\Rightarrow x = y\,\,ou\,\,x + y = 2
\end{aligned}\]
Puisque $x>1$ et $y>1$, alors $x+y>2$, donc $x+y\neq 2$
Donc : ${x^2}- 2x = {y^2}- 2y \Rightarrow x=y$. Ainsi : $x\neq y\Rightarrow x^2-2x\neq y^2-2y$

Raisonnement par l’absurde

Proposition : Soit $P$ et $Q$ deux propositions. La propositions suivante est une loi logique : \[\left[ {\left( {\overline P \Rightarrow Q} \right)\,\,et\,\,\left( {\overline P \Rightarrow \overline Q } \right)} \right] \Rightarrow P\]

Exemple : Montrons que $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5n + 7} \notin \mathbb{N}$

Raisonnement par l’absurde : On suppose que $\left( {\exists {n_0} \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5n_0 + 7} \in \mathbb{N}$,
donc : $\left( {\exists {N_0} \in \mathbb{N}} \right)$ tel que :
\[\begin{aligned}
\sqrt {5{n_0} + 7} = {N_0}\\
5{n_0} + 7 = N_0^2\\
5\left( {{n_0} + 1} \right) + 2 = N_0^2
\end{aligned}\]

Ainsi, $2$ est le reste de la division euclidienne de $N_0^2$ par $5$, ce qui est impossible car le reste de la division euclidienne d’un entier naturel $n$ par $5$ est $1$ ou $4$. Par conséquent, l’hypothèse est fausse, et donc : \[\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5n + 7} \notin \mathbb{N}\]

Raisennement par disjonction des cas

Proposition : Soit $P$, $Q$ et $Q$ trois propositions.
La proposition suivante est une loi logique : \[\left[ {\left( {P \Rightarrow R} \right)\,\,et\,\,\left( {Q \Rightarrow R} \right)} \right] \Leftrightarrow \left[ {\left( {P\,\,ou\,\,Q} \right) \Rightarrow R} \right]\]

Exemple : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $$(E) : x^2 – 2(1+m)x + 4 = 0,$$ où $m$ est un paramètre réel.

Solution : Calculons le discriminant $\Delta$ de cette équation : \[\Delta = 4{\left( {1 + m} \right)^2} – 16 = 4\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)\]

1ère cas : Si $\Delta <0$, c’est-à-dire $m\in ]-3;1[$, alors l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est: $$S=\varnothing.$$

2ème cas : Si $\Delta =0$, c’est-à-dire $m=1$ ou $m=-3$, alors l’équation $(E)$ admet une seule solution qui est $1+m$, alors l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est : $$S=\{1+m\}.$$

3ème cas : Si $\Delta >0$, c’est-à-dire $m \in \left] { – \infty ; – 3} \right[ \cup \left] {1; + \infty } \right[$, alors l’équation $(E)$ admet deux solutions distinctes données par : $${x_1} = m + 1 – \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)}\,\,\text{ et } \,\, {x_2} = m + 1 + \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)},$$ alors l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est : $$S = \left\{ {m + 1 – \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)} \,\,;\,\,m + 1 + \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)} } \right\}.$$

Raisonnement par récurrence

Proposition : Soit $P(n)$ une proposition qui dépend d’un entier naturel $n$ et $n_0\in\mathbb{N}$.

Si la proposition $P(n_0)$ est vraie et si l’implication «$P\left( n \right) \Rightarrow P\left( {n + 1} \right)$» est vraie pour tout $n\ge n_0$, alors, la proposition $P(n)$ est vraie, pour tout entier $n\ge n_0$.

Exemple : Montrons par récurrence que : $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,{3^n} \ge 1 + 2n$

Pour $n=0$, on a : $3^0\ge 1+2\times 0$
Supposons que : ${3^n} \ge 1 + 2n$ et montrons que : ${3^{n+1}} \ge 1 + 2(n+1)$
On a : \[\begin{aligned}
{3^n} \ge 1 + 2n &\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 3\left( {1 + 2n} \right)\\
&\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 3 + 6n\\
&\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 3 + 2n\,\,\,\,\left( {\text{ car }\,\,6n \ge 2n} \right)\\
&\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 1 + 2\left( {n + 1} \right)
\end{aligned}\]
Finalement $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,{3^n} \ge 1 + 2n$