Exercices : Arithmétique – 2Bac Sc. Maths

1. Montrer que $\left(\forall(a, b) \in \mathbb{Z}^{2}\right): \,\,\, a \wedge b=1 \Rightarrow a \wedge b(a+b)=1.$
2. Soient $x, y \in \mathbb{N}^{*}$ tels que : $x(43-x)=y(x+y)$. On pose $x \wedge y=d, x=d x^{\prime}, y=dy^{\prime}.$
   1. Montrer que $x^{\prime} \mid d$.
   2. On pose $\alpha=\dfrac{d}{x^{\prime}}$. Montrer que $\alpha\left(x^{\prime 2}+{x^{\prime}} y^{\prime}+y^{\prime 2}\right)=43$ et en déduire que $\alpha=1.$
3. Résoudre dans $\mathbb{Z}^{* 2}$ l’équation $x(43-x)=y(x+y).$

Soient $k \in \mathbb{N}^{*},$ $A=9(k+3),$ $B=4 k,$  $d=A \wedge B$

1. Montrer que $d\mid 108$.
2. Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles on a :
   1. $2$ ne divise pas $d$
   2. $3$ ne divise pas $d.$
3. Soit $k=2+6m$.
   1. Montrer que $d=1.$
   2. Résoudre dans $\mathbb{Z}^{2}$ l’équation $A x-B y=108.$

On pose $A_{n}=6 n^{3}-n^{2}+2 n+2$, $B_{n}=2 n-1$, $C_{n}=2 n^{2}+n-5$. $n$ étant un entier relatif tel que les nombres $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$ soient non nuls.

1. Montrer que : $A_{n} \wedge B_{n}=(n+1) \wedge 7$.
2. Déterminer suivant les valeurs de $n A_{n} \wedge B_{n}$.
3. Montrer que : $C_{n} \wedge B_{n}=B_{n} \wedge 6$.
4. Déterminer suivant les valeurs de $n C_{n} \wedge B_{n}$.

1. Soient $a, b \in \mathbb{N}$. Montrer que : $a \wedge b=1 \Rightarrow(a+2 b) \wedge(3 a+5 b)=1$.
2. Résoudre dans $\mathbb{N}^{2}$ le système $\left\{\begin{array}{l}(a+2 b)(3 a+5 b)=127 b \\ a b=2(a \vee b)\end{array}\right.$

Soient $a, b, c, d \in \mathbb{N}^{*}$

1. Montrer que $a \wedge(b \vee a)=a$ et $a \vee(b \wedge a)=a$.
2. Montrer que si $a \wedge b=1$ alors $a \wedge(b c)=a \wedge c$ et $a \vee(b c)=b(a \vee c)$.
3. Montrer que $\left(a^{2}+b^{2}\right) \wedge(a b)=(a \wedge b)^{2}$.
4. Montrer que $a \wedge b=(a+b) \wedge(a \vee b)$.

Soient $a, b, m, n \in \mathbb{N}$

1. Montrer que : $(a \equiv b[n]$ et $d\mid n) \Rightarrow a \equiv b[d]$
2. Montrer que : $(a \equiv b[n]$ et $a \equiv b[m]) \Leftrightarrow a \equiv b[m \vee n]$
3. En déduire que si $a \equiv a^{5}[5]$ alors $a$ et $a^{5}$ ont la même unité dans leur écriture en base $10$.

Soit $n$ un entier tel que $n>5$.

1. On suppose qu’il existe un entier naturel $m$ tel que $(n-1)!+1=n^{m}$
   1. Montrer que $n$ est un impaire.
   2. Montrer que $(n-1)^{2} /(n-1)!$.
   3. Montrer que $(n-1) \mid m$.
   4. En déduire que $n^{m}>(n-1)!+1$.
2. Montrer qu’il n’existe pas d’entiers naturels tel que : $(n-1)!+1=n^{m}$.

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}-\{1\}$. On pose $M_{n}=2^{n}-1$

1. Montrer que si $M_{n}$ est premier alors $n$ est aussi premier.
2. Soient $p, q \in \mathbb{N}^{*}-\{1\}$ tels que : $p \wedge q=1$
   1. Montrer que: $\left(\exists(x, y) \in \mathbb{N}^{2}\right): p x-q y=1$
   2. Montrer que : $\left(2^{p x}-1\right)-2\left(2^{p y}-1\right)=1$
   3. En déduire que : $M_{p} \wedge M_{q}=1$

On considère dans $\mathbb{N}^{2}$ l’équation $x^{2}+3=2^{y}$. Soit $(x, y)$ une solution de cette équation.

1. Montrer que $x$ est impaire.
2. Montrer que $x^{2} \equiv 1[8]$.
3. En déduire les solutions de cette équation.

On considère dans $\mathbb{N}^{3}$ l’équation $\,(E):\,\,\, x^{2}+2 y^{2}=z^{2}$

1. 1. Montrer que : $(\forall m, n \in \mathbb{N}): m^{2} \mid n^{2} \Rightarrow m \mid n$.
   2. Montrer qu’il suffit d’étudier le cas ou $x \wedge y=1$.Dans la suite on suppose que $x \wedge y=1$ dans l’équation $(E)$.
   1. Montrer que si $(x, y, z)$ est solution de l’équation $(E)$ alors $x$ et $z$ sont impaires et $y$ paire.
   2. On pose $d=(z-x) \wedge(z+x)$. Montrer que d est paire et en déduire que $d=2$.
   3. Montrer que si $a^{2}=b c$ et $c \wedge b=1$ alors il existe $b^{\prime}$ et $c^{\prime}$ tels que $b=b^{\prime 2}$ et $c=c^{2}$.
2. Soit $\alpha$ et $\beta \in \mathbb{N}$ tels que $3-x=2 \alpha$ et $3-x=2 \alpha$.
   Montrer que $\alpha$ ou $\beta$ est paire , en déduire les solutions de l’équation $(E)$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ on pose $x_{n}=2^{n}-1$.
Partie I :

1. 1. Montrer que $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right): x_{n+1}=2 x_{n}+1$
   2. En déduire que : $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right): x_{n+1} \wedge x_{n}=1$
   1. Montrer que : $n \equiv 0[6] \Leftrightarrow x_{n} \equiv 0[9]$ (Remarquer que : $2^{6} \equiv 1[9]$)
   2. En déduire qu’il existe une infinité de nombres $n \in \mathbb{N}^{*}$ tels que $n \wedge x_{n} \neq 1$.
   1. Montrer que $\left(\forall(n, m) \in \mathbb{N}^{* 2}\right): n \mid m \Rightarrow x_{n} \mid x_{m}$
   2. Soient $m, n \in \mathbb{N}^{*}$. Montrer que si $r$ est le reste de la division euclidienne de $m$ sur $n$ alors $x_{r}$ est le reste de la division euclidienne de $x_{m}$ sur $x_{n}$. (Remarquer que : $2^{n} \equiv 1\left[x_{n}\right]$).
   3. En déduire que $x_{m} \wedge x_{n}=x_{n} \wedge x_{r}$.
   4. Montrer en utilisant l’algorithme d’Euclide que: $\left(\forall(m, n) \in \mathbb{N}^{* 2}\right): x_{m} \wedge x_{n}=x_{m \wedge n}$

Partie II :
Dans la suite en veut monter que $\left(\forall k \in \mathbb{N}^{*}\right)(\exists i \in\{1,2,3, \ldots . ., 2 k\}): 2 k+1 \mid x_{i}$.
On suppose le contraire c.à $d \quad\left(\exists k \in \mathbb{N}^{*}\right)(\forall i \in\{1,2,3, \ldots ., 2 k\}): x_{i} \neq 0[2 k+1]$
Et soit $R_{i}$ le reste de la division euclidienne de $x_{i}$ par $2 k+1$.

1. Montrer que : $(\forall i \in\{1,2,3, \ldots \ldots, 2 k\}): 1 \leq R_{i} \leq 2 k$.
   1. Montrer que : $x_{i} \equiv 2 k[2 k+1] \Leftrightarrow 2^{i} \equiv 0[2 k+1]$
   2. En déduire que : $(\forall i \in\{1,2,3, \ldots . ., 2 k\}): R_{i} \neq 2 k$.
2. Montrer que les restes $R_{i}$ sont distincts deux à deux.
3. Conclure.

1. Soient $a, b, c, d \in \mathbb{N}^{*}$. Montrer que : \[d = a \wedge b \Rightarrow \left( {\exists \left( {u,v} \right) \in \mathbb{N}} \right):d = au – bv\]
2. Soient $m, n, p \in \mathbb{N}^{*}$ tels que $2^{m} \equiv 1[p]$ et $2^{n} \equiv 1[p]$. Montrer que $2^{m \wedge n} \equiv 1[p]$.

1. Soient $a, b, c \in \mathbb{Z}$ tel que : $a \wedge b=1$. Trouver un nombre $x$ tel que : $(a+b x) \wedge c=1$
2. Résoudre dans $\mathbb{Z}^{2}$ l’équation $(a \wedge b)+(a \vee b)=b+9$
3. On suppose ici que a divise $b$. Montrer que $b \wedge c=(a \wedge c)\left[\dfrac{c}{a \wedge c} \wedge \dfrac{b}{a}\right]$ et $(a \vee c) \dfrac{b}{a}=(b \vee c)\left[\dfrac{c}{a \wedge c} \wedge \dfrac{b}{a}\right]$

Dans le système de numération de base $a$, on donne l’écriture des naturels $x, y$ et $z$ : $$x=\overline{111},\,\,\, y=\overline{114} \text{ et } z=\overline{13054}$$

1. Écrivez dans ce même système de numération les naturels $x+y$ et $x+z$.
2. Déterminez $a$ sachant que $z$ est le produit de $x$ et $y$.

On veut déterminer les chiffres $x, y$ et $z$ pour lesquels $x y z_{12}=x y z 0_{5}$.

1. Quelles inégalités larges à propos des entiers $x$, $y$ et $z$ pouvez-vous écrire d’emblée?
2. Montrez que l’égalité à obtenir équivaut à $19 x-13 y=4 z$.
3. Grâce à l’algorithme d’Euclide, déterminez des naturels $X$ et $Y$ tels que $19 X-13 Y=1$.
4. Prouvez que si des entiers $x$, $y$ et $z$ vérifient $19 x-13 y=4 z$, il existe un entier $k$ tel que : $x=-8 z+13k$ et $y=-12 z+19 k$.
5. Montrez que dans les égalités du $4)$, on ne peut pas avoir $k \leq 0$.
6. Quelle est la plus grande valeur possible pour $x+8z$? En déduire qu’on a nécessairement $k \leq 2$.
7. Montrez que dans la division euclidienne de $19k$ par 12, $y$ est le reste et $z$ est le quotient.
8. Concluez.