Enoncé 
Calculer : $$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \,\,{\left( { – 1} \right)^{2024}} + {\left( { – 1} \right)^{2025}} &\quad\mathbf{2.}\ \,\,{\left( {\dfrac{{ – 5}}{2}} \right)^{ – 3}}\\
\mathbf{3.}\ \,\,{\left( { – 10} \right)^{ – 2}} & \quad\mathbf{4.}\ \,\,{4^{ – 1}} \\
\mathbf{5.}\ \,\,{\left( { – 2024} \right)^0} &\quad\mathbf{6.}\ \,\,{\left( { – 2} \right)^3}\end{array}$$
Indication
Utiliser les propriétés algébriques des puissances.
Corrigé
$\bullet~~{\left( { – 1} \right)^{2024}} + {\left( { – 1} \right)^{2025}}=1-1={0}$
$\bullet~~ {\left( {\dfrac{{ – 5}}{2}} \right)^{ – 3}}={\left( {\dfrac{{ – 2}}{5}} \right)^{ 3}}=\dfrac{-2}{5}\times \dfrac{-2}{5}\times \dfrac{-2}{5}={\dfrac{-8}{125}}$
$\bullet~~ {\left( { – 10} \right)^{ – 2}}=10^{-2}={0,01}$
$\bullet~~ {4^{ – 1}}=\dfrac{1}{4}={0,25}$
$\bullet~~ {\left( { – 2024} \right)^0}={1}$
$\bullet~~ {\left( { – 2} \right)^3}=(-2)\times(-2)\times(-2)={-8}$
Enoncé
Simplifier les expressions suivantes avec $a \neq 0$, $b \neq 0$, $c \neq 0$.
$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \,\, {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{ -7}} \times {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{10}} &\quad\mathbf{2.}\ \,\, {2^7} \times {10^{ -17}} \times {5^7} \\
\mathbf{3.}\ \,\, {\left( {{a^4}} \right)^{ -2}} \times {\left( {{a^{ -3}}} \right)^{ -7}} & \quad\mathbf{4.}\ \,\, {a^5} \times {a^{13}} \times {a^{ – 7}} \\
\mathbf{5.}\ \,\, {\left( {{a^{ -3}} \times {b^2} \times {c^{ -5}}} \right)^3}{\left( {{{\left( {{a^4}} \right)}^{ -2}} \times {b^{ -3}}} \right)^{ -3}} &\quad\mathbf{6.}\ \,\, \dfrac{{{a^4}{b^{ -2}}a{b^{ -5}}}}{{{a^{ -3}}{b^2}{a^5}b}}\\
\mathbf{7.}\ \,\, \dfrac{{{8^5}}}{{{{100000}^3}}} &\quad
\end{array}$$
Indication
Utiliser les propriétés algébriques des puissance.
Corrigé
$\bullet$ $\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{ -7}\times {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{10}}=
\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{7}\times {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{10}}
=\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{7+10}={\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{17}} $
$\begin{aligned}\bullet~ {2^7} \times {10^{ -17}} \times {5^7}&=2^7\times (2\times 5)^{-17} \times 5^7\\
&=2^7\times 2^{-17}\times 5^{-17} \times 5^7\\
&=2^{-10}\times 5^{-10}=(2\times 5)^{-10}={10^{-10}}
\end{aligned}$
$\bullet$ ${\left( {{a^4}} \right)^{ -2}} \times {\left( {{a^{ -3}}} \right)^{ -7}}=a^{-8}\times a^{21}=a^{-8+21}={a^{13}}$
$\bullet$ ${a^5} \times {a^{13}} \times {a^{ -7}}=a^{5+13-7}={a^{11}}$
$\begin{aligned}
\bullet~ {\left( {{a^{ -3}} \times {b^2} \times {c^{ -5}}} \right)^3}{\left( {{{\left( {{a^4}} \right)}^{ -2}} \times {b^{ -3}}} \right)^{ -3}}&=a^{-9}\times b^6\times c^{-15} \times a^{24} \times b^9\\
&=a^{15}\times b^{15}\times \dfrac{1}{c^{15}}={\left(\dfrac{ab}{c}\right)^{15}}
\end{aligned}$
$\bullet$ $\dfrac{{{a^4}{b^{ -2}}a{b^{ -5}}}}{{{a^{ -3}}{b^2}{a^5}b}}=\dfrac{a^4\times a^1 \times b^{-2} \times b^{-5}}{a^{-3}\times a^5\times b^2 \times b}=\dfrac{a^5 \times b^{-7}}{a^2 \times b^3}=a^{5-2}\times b^{-7-3}={a^3b^{-10}}$
$\bullet$ $\dfrac{{{8^5}}}{{{{100000}^3}}}=\dfrac{(2^3)^5}{(10^5)^3}=\dfrac{2^{15}}{10^{15}}=\left(\dfrac{2}{10}\right)^{15}={\left(\dfrac{1}{5}\right)^{15}=5^{-15}}$
Enoncé
Donner l’écriture scientifique des nombres suivants.
$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \,\, A = 780000000 &\quad\mathbf{2.}\ \,\, B = 341000000 \\
\mathbf{3.}\ \,\, C = 2015 & \quad\mathbf{4.}\ \,\, D = 0,0000005 \\
\mathbf{5.}\ \,\, E = 0,00831 &\quad\mathbf{6.}\ \,\, F = 20000 \times 1000000\\
\mathbf{7.}\ \,\, G = 3000000 \times 600000000000 &\quad\mathbf{8.}\ \,\, H = 0,0000000013 \times 20000\\
\mathbf{9.}\ \,\, K = \dfrac{{{{500}^2}}}{{0,00002}} &
\end{array}$$
Indication
Ecrire sous la forme : $a\times 10^n$ avec $1\leq a < 10$ et $n$ un entier.
Corrigé
$\bullet$ $A = 780000000={7,8\times 10^{8}}$
$\bullet$ $B = 341000000={3,41\times 10^{8}}$
$\bullet$ $C = 2015={2,015\times 10^{3}}$
$\bullet$ $D = 0,0000005 = {5 \times 10^{-7}}$
$\bullet$ $E = 0,00831 = {8,31 \times 10^{-3}}$
$\bullet$ $F = 20000 \times 1000000 = 2\times 10^4 \times 10^6={2\times 10^{10}}$
$\begin{aligned}
\bullet~~ G = 3000000 \times 600000000000 &= 3\times 10^6 \times 6 \times 10^{11} \\
&=18\times 10^{17}\\
&={1,8 \times 10^{18}}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\bullet~~ H = 0,0000000013 \times 20000 &= 1,3 \times 10^{-9} \times 2 \times 10^4\\
& ={ 2,6 \times 10^{-5}}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\bullet~~ K = \dfrac{{{{500}^2}}}{{0,00002}} =
\dfrac{250000}{2\times 10^{-5}}&=\dfrac{2,5\times 10^{5}}{2\times 10^{-5}}\\
& = {1,25 \times 10^{10}}
\end{aligned}$
Chapitre 2
Puissance d’un nombre réel
Définition : Soit $a$ un nombre réel non nul, $n$ un nombre entier supérieur à $1$.
$$
a^{n}=\underbrace{a \times a \times \ldots \ldots \times a}_{n \text { facteurs }}$$
$\bullet$ Si $n=1$, alors $a^1=a$
$\bullet$ Si $n=0$ et $a \neq 0$ alors $a^0=1$
$\bullet$ Si $n\neq 0$ et $a = 0$ alors $0^n=0$
$\bullet$ Si $a\neq 0$ et $n$ un nombre entier, alors $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$,
donc on a : $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$, avec $\left( \dfrac{a}{b}\neq 0 \right)$
Remarque :
$\bullet$ $a$ est la base de la puissance $a^n$.
$\bullet$ $n$ est l’exposant de la puissance $a^n$.
$\bullet$ $0^0$ n’existe pas.
$\bullet$ $a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$.
Exemples :
$\bullet$ $(-3)^4=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)=9 \times 9 = 81$
$\bullet$ $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2\times 2\times 2}{3\times 3\times 3}=\dfrac{8}{27}$
$\bullet$ $2019^0=1$
$\bullet$ $523^1=523$
$\bullet$ $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{2\times 2\times 2}=\dfrac{1}{8}$
$\bullet$ $\left(\dfrac{5}{2}\right)^{-2}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}=\dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{25}$
Le signe d’une puissance
Propriété : Soit $a$ un nombre réel, $n$ un nombre entier non nul.
- Si $n$ est paire, alors $a^n$ est toujours positif quel que soit le signe de $a$.
- Si $n$ est impaire, alors :
- Si $a$ est positif, alors $a^n$ est positif.
- Si $a$ est négatif, alors $a^n$ est négatif.
Exemples :
$\bullet$ La puissance $\left( -12 \right)^{17}$ est négatif, car l’exposant est impaire et la base est négatif.
$\bullet$ La puissance $\left( -3 \right)^{48}$ est positif, car l’exposant est paire.
Opérations sur les puissances
Propriétés : $a$, $b$ deux nombres réels non nuls, $n$ et $m$ deux entiers naturels.
- Produit de deux puissances de même base : $a^n \times a^m = a^{n+m}$
- Produit de deux puissances de même exposant : $a^n \times b^n = (a \times b )^{n}$
- Quotient de deux puissances de même base : $\dfrac{a^n}{a^m}= a^{n-m}$
- Quotient de deux puissances de même exposant : $\dfrac{a^n}{b^n}= \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$
- Puissance d’une puissance : $\left( a^n\right)^m=a^{n\times m}$
Exemples :
- $(-3)^9 \times (-3)^5= (-3)^{9+5}=(-3)^{14}$
- $2^{7} \times 5^{7}= (2 \times 5)^{7}=10^{7}$
- $\dfrac{1,3^8}{1,3^3}=1,3^{8-3}=1,3^5$
- $\dfrac{21^{13}}{7^{13}}=\left(\dfrac{21}{7}\right)^{13}=3^{13}$
- $\left(2^3\right)^4=2^{3 \times 4} =2^{12}$
Puissances de 10
Propriétés : Soit $n$ un nombre entier naturel.
- ${10^n} = 1\underbrace {00………0}_{n\,\,\text{zéros}}$
- ${10^{-n}} = \underbrace {0,00………0}_{n\,\,\text{zéros}}1$
- $10^0=1$ ; $10^1=10$ ; $10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}$
Exemples :
- $1000000000=10^9$
- $10^5=100000$
- $0,000001=10^{-6}$
- $10^{-4}=0,0001$
- $10^8 \times 10^3=10^{8+3}=10^{11}$
- $\dfrac{10^6}{10^2}=10^{6-2}=10^4$
- $(10^5)^7=10^{5\times 7}=10^{35}$
Écriture scientifique
Définition : Soit $x$ un nombre décimal, $n$ un nombre entier relatif.
L’écriture scientifique de $x$ est :
$$x=a \times 10^{n} \quad\text{ou}\quad x=- a \times 10^{n}$$
Avec $1 \leq a < 10$.
Exemples :
- $649,2=6,492 \times 10^2$
- $-0,0000327=-3,27\times 10^{-5}$
- $32000000=3,2\times 10^{-7}$
- $569,4 \times 10^{13}=5,694 \times 10^2 \times 10^{13}=5,694\times 10^{15}$
Enoncé
Développer et réduire les expressions suivantes :
- $A = 2\left( {x + 5} \right)$
- $B = \left( {5-x} \right)\left( {7 + x} \right)$
- $C = \dfrac{2}{3}\left( {5 + 7x} \right)-\dfrac{1}{2}\left( {- x + 1} \right)$
- $D = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2}- 3x + 5} \right)$
Corrigé
$\begin{aligned}
\mathbf{1.}\quad A &=2(x+5) =2 x+10\\
\mathbf{2.}\quad B &= \left( {5- x} \right)\left( {7 + x} \right)= 35 + 5x- 7x- {x^2}={- {x^2}- 2x + 35}\\
\mathbf{3.}\quad C &= \frac{2}{3}\left( {5 + 7x} \right)- \frac{1}{2}\left( {- x + 1} \right)\\
&= \frac{{10}}{3} + \frac{{14}}{3}x + \frac{1}{2}x- \frac{1}{2}\\
&= \left( {\frac{{14}}{3} + \frac{1}{2}} \right)x + \left( {\frac{{10}}{3}- \frac{1}{2}} \right)\\
&= \left( {\frac{{28}}{6} + \frac{3}{6}} \right)x + \left( {\frac{{20}}{6}- \frac{3}{6}} \right)\\
&={ \frac{{31}}{6}x + \frac{{17}}{6}}\\
\mathbf{3.}\quad D &= \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2}- 3x + 5} \right)\\
&= {x^3}- 3{x^2} + 5x + 3{x^2}- 9x + 15\\
&={ {x^3}- 4x + 15}
\end{aligned}$
Enoncé
Développer et réduire les expressions suivantes :
- $A = {\left( {x + 3} \right)^2}$
- $B = {\left( {3x- 1} \right)^2}$
- $C = 5{\left( {1- x} \right)^2}$
- $D = \left( {3x + 7} \right)\left( {3x- 7} \right) + 4{\left( {x- \frac{1}{2}} \right)^2}$
Corrigé
$\begin{aligned}
\mathbf{1.}\quad A &= {\left( {x + 3} \right)^2}= {x^2} + 2 \times x \times 3 + {3^2}={ {x^2} + 6x + 9}\\
\mathbf{2.}\quad B &= {\left( {3x-1} \right)^2}= {\left( {3x} \right)^2}-2 \times 3x \times 1 + {1^2}={ 9{x^2}-6x + 1}\\
\mathbf{3.}\quad C &= 5{\left( {1-x} \right)^2}= 5\left( {{1^2}-2 \times 1 \times x + {x^2}} \right)= 5\left( {1-2x + {x^2}} \right)={ 5-10x + 5{x^2}}\\
\mathbf{4.}\quad D &= \left( {3x + 7} \right)\left( {3x-7} \right) + 4{\left( {x-\frac{1}{2}} \right)^2}\\
&= {\left( {3x} \right)^2}-{7^2} + 4\left( {{x^2}-2 \times x \times \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^2} \right)\\
&= 9{x^2}-49 + 4\left( {{x^2}-x + \frac{1}{4}} \right)\\
&= 9{x^2}-49 + 4{x^2}-4x + 1\\
&={ 13{x^2}-4x-48}
\end{aligned}$
Enoncé
Factoriser les expressions suivantes :
- $A = ab + 5b$
- $B = 12x + 18$
- $C = 5x-{x^2}$
- $D = x + 5{x^2} + 11{x^3}$
- $E = 5\left( {x + 1} \right) + {\left( {x + 1} \right)^2}$
- $F = \left( {x-3} \right)\left( {x + 7} \right)-\left( {5-x} \right)\left( {x-3} \right)$
Corrigé
$\begin{aligned}
\mathbf{1.}\quad A &= ab + 5b={ b\left( {a + 5} \right)}\\
\mathbf{2.}\quad B &= 12x + 18={ 6\left( {2x + 3} \right)}\\
\mathbf{3.}\quad C &= 5x-{x^2}={ x\left( {5-x} \right)}\\
\mathbf{4.}\quad D &= x + 5{x^2} + 11{x^3}={ x\left( {1 + 5x + 11{x^2}} \right)}\\
\mathbf{5.}\quad E &= 5\left( {x + 1} \right) + {\left( {x + 1} \right)^2}\\
&= \left( {x + 1} \right)\left( {5 + \left( {x + 1} \right)} \right)\\
&= \left( {x + 1} \right)\left( {5 + x + 1} \right)\\
&={ \left( {x + 1} \right)\left( {x + 6} \right)}\\
\mathbf{6.}\quad F &= \left( {x-3} \right)\left( {x + 7} \right)-\left( {5-x} \right)\left( {x-3} \right)\\
&= \left( {x-3} \right)\left[ {\left( {x + 7} \right)-\left( {5-x} \right)} \right]\\
&= \left( {x-3} \right)\left( {x + 7-5 + x} \right)\\
&={ \left( {x-3} \right)\left( {2x+2} \right)}={ 2\left( {x-3} \right)\left( {x+1} \right)}
\end{aligned}$
Enoncé
Factoriser les expressions suivantes :
- $A = {x^2}-49 + x\left( {x-7} \right)$
- $B = {x^2} + 4x + 4$
- $C= {x^2}-\dfrac{9}{{121}}$
- $D = {\left( {2x-3} \right)^2}-{\left( {x + 1} \right)^2}$
- $E = \dfrac{{{x^2}}}{8}-8$
- $F =-7{x^2} + 14x-7$
- $G = {x^{12}}-1 + 5\left( {{x^6}-1} \right)$
- $H = x^2-x-6$
Corrigé
$\begin{aligned}
\mathbf{1.}\quad A &= {x^2}-49 + x\left( {x-7} \right)\\
&= \left( {{x^2}-{7^2}} \right) + x\left( {x-7} \right)\\
&= \left( {x-7} \right)\left( {x + 7} \right) + x\left( {x-7} \right)\\
&= \left( {x-7} \right)\left[ {\left( {x + 7} \right) + x} \right]\\
&={ \left( {x-7} \right)\left( {2x + 7} \right)}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{2.}\quad B &= {x^2} + 4x + 4\\
&= {x^2} + 2 \times x \times 2 + {2^2}\\
&={ {\left( {x + 2} \right)^2}}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{3.}\quad C &= {x^2}-\frac{9}{{121}}\\
&= {x^2}-{\left( {\frac{3}{{11}}} \right)^2}\\
&={ \left( {x-\frac{3}{{11}}} \right)\left( {x + \frac{3}{{11}}} \right)}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{4.}\quad D &= {\left( {2x-3} \right)^2}-{\left( {x + 1} \right)^2}\\
&= \left[ {\left( {2x-3} \right)-\left( {x + 1} \right)} \right]\left[ {\left( {2x-3} \right) + \left( {x + 1} \right)} \right]\\
&= \left( {2x-3-x-1} \right)\left( {2x-3 + x + 1} \right)\\
&= {\left( {x-4} \right)\left( {3x-2} \right)}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{5.}\quad E &= \frac{{{x^2}}}{8}-8\\
&= \frac{1}{8}\left( {{x^2}-{8^2}} \right)\\
&= {\frac{1}{8}\left( {x-8} \right)\left( {x + 8} \right)}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{6.}\quad F &=-7{x^2} + 14x-7\\
&=-7\left( {{x^2}-2x + 1} \right)\\
&= {-7{\left( {x-1} \right)^2}}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{7.}\quad G &= {x^{12}}-1 + 5\left( {{x^6}-1} \right)\\
&= {\left( {{x^6}} \right)^2}-1^2 + 5\left( {{x^6}-1} \right)\\
&= \left( {{x^6}-1} \right)\left( {{x^6} + 1} \right) + 5\left( {{x^6}-1} \right)\\
&= \left( {{x^6}-1} \right)\left( {{x^6} + 1 + 5} \right)\\
&= {\left( {{x^6}-1} \right)\left( {{x^6} + 6} \right)}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{8.}\quad H &= {x^2}-x-6\\
&= \left( {{x^2}-4} \right)-\left( {x + 2} \right)\\
&= \left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)-\left( {x + 2} \right)\\
&= \left( {x + 2} \right)\left( {x-2-1} \right)\\
&= {\left( {x + 2} \right)\left( {x-3} \right)}
\end{aligned}$
Enoncé
On considère l’expression suivante:
$$P=(x-1)^2-(x-1)(3x-4)$$
- Développer et réduire $P$.
- Factoriser $P$.
- Calculer $P$ pour $x=1$ puis pour $x=\dfrac{1}{3}$.
- Résoudre l’équations $P=0$.
Corrigé
- Développons et réduisons $P$.
$$\begin{aligned}
P &= {(x-1)^2}-(x-1)(3x-4)\\
&= \left[ {{x^2}-2 \times x \times 1 + {1^2}} \right]-\left[ {3{x^2}-4x-3x + 4} \right]\\
&= {x^2}-2x + 1-3{x^2} + 4x + 3x-4\\
&={-2{x^2} + 5x-3}
\end{aligned}$$
- Factoriser $P$.
$$\begin{aligned}
P &= {(x-1)^2}-(x-1)(3x-4)\\
&= \left( {x-1} \right)\left[ {\left( {x-1} \right)-\left( {3x-4} \right)} \right]\\
&= \left( {x-1} \right)\left[ {x-1-3x + 4} \right]\\
&={ \left( {x-1} \right)\left( {-2x + 3} \right)}
\end{aligned}$$
- Calculons $P$ pour $x=1$ puis pour $x=\dfrac{1}{3}$.Pour $x=1$, on choisit l’expression $P= \left( {x-1} \right)\left( {-2x + 3} \right)$, on a : $$P= \left( {1-1} \right)\left( {-2\times 1 + 3}\right)=0 \times 1 ={0}$$Pour $x=\dfrac{1}{3}$, on choisit l’expression $P=-2{x^2} + 5x-3$, on a : $$P=-2{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}+5\times \dfrac{1}{3}-3 = \dfrac{-2}{9}+\dfrac{5}{3}-3 =\dfrac{-2}{9}+\dfrac{15}{9}-\dfrac{27}{9}={\dfrac{-14}{9}}$$
- On a $P=0$, alors $(x-1)^2-(x-1)(3x-4)=0$, donc $\left( {x-1} \right)\left( {-2x + 3} \right)=0$, alors $x-1=0$ ou $-2x+3=0$, alors $x=1$ ou $x=\dfrac{3}{2}$.D’où l’équation admet deux solutions sont : $1$ et $\dfrac{3}{2}$.
Enoncé
On considère les expressions suivantes:
$$A=2x^2-13x-7 \quad\text{ et }\quad B=(2x-5)^2-36$$
- Factoriser $B$.
- Montrer que $B-2A=3(2x+1)$.
- En déduire la factorisation de $A$.
Indication
- Utiliser l’identité remarquable $a^2-b^2$.
- Utiliser l’identité remarquable $(a-b)^2$ et effectuer un développement simple.
- Chercher un facteur commun.
Corrigé
- On a :
$$\begin{aligned}
B&= (2x-5)^2-36\\
&= (2x-5)^2-6^2\\
&= (2x-5-6)(2x-5+6)\\
&= (2x-11)(2x+1).
\end{aligned}$$
- On a :
$$\begin{aligned}
B -2A &= {\left( {2x -5} \right)^2} -36 -2\left( {2{x^2} -13x -7} \right)\\
&= {\left( {2x} \right)^2} -2 \times 2x \times 5 + {5^2} -36 -4{x^2} + 26x + 14\\
&= 4{x^2} -20x + 25 -36 -4{x^2} + 26x + 14\\
&= 6x + 3\\
&= 3\left( {2x + 1} \right)
\end{aligned}$$
- On a :
\[B -2A = 3\left( {2x + 1} \right)\]
Alors :
\[\begin{aligned}
2A &= B + 3\left( {2x + 1} \right)\\
2A &= \left( {{{2x -11}}} \right)\left( {{{2x + 1}}} \right) + 3\left( {2x + 1} \right)\\
2A &= \left( {{{2x + 1}}} \right)\left( {2x -11 + 3} \right)\\
2A &= \left( {{{2x + 1}}} \right)\left( {2x -8} \right)\\
2A &= 2\left( {{{2x + 1}}} \right)\left( {x -4} \right)
\end{aligned}\]
D’où : $$A= \left( {{{2x + 1}}} \right)\left( {x -4} \right).$$
Chapitre 1
Réduire une expression algébrique
Définition : Réduire une expression algébrique, c’est l’écrire avec le minimum possible d’opérations.
Exemple :
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A &= {2x}+{y}+{5}-{6x}-{9}+{7y}\\
&= {2x-6x}+{y+7y}+{5-9}\\
&= {-4x}+{8y}-{4}\\
\bullet\quad B &= {9x^2}+{x}+{x^2}+{5x}\\
&= {9x^2+x^2}+{x+5x}\\
&= {10x^2}+{6x}
\end{aligned}$$
Développement
Définition : Développer c’est transformer un produit en une somme algébrique.
Propriété : $a$, $b$ et $k$ trois nombres réels:
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad {k} \times (a+b) ={k} \times a+{k} \times b\\
&\bullet\quad {k} \times (a-b) = {k} \times a-{k} \times b
\end{aligned}$$
Exemple :
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A & = 6 \times (a+2) \\
&= 6 \times a+6\times 2\\
&= 6a+12\\
\bullet\quad B & ={7} \times (b-3) \\
& = 7\times b-7\times 3\\
&= 7b-21
\end{aligned}$$
Propriété : (Double développement) $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels:
$$(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$$
Exemple :
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A&= (5+a)(a+3)\\
&= 5 \times a +5\times 3+ a \times a + a \times 3\\
&= 5a+15+a^2+3a\\
&= a^2+5a+3a+15\\
&= a^2+8a+15\\
\bullet\quad B&=(2a-3)(a-4) \\
&= 2a \times a-2a\times 4- 3 \times a+ 3 \times 4\\
&= 2a^2-8a-3a+12\\
&= 2a^2-11a+12
\end{aligned}$$
Développement et identités remarquables
Propriété : $a$ et $b$ deux nombres réels.
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\\
&\bullet\quad (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\\
&\bullet\quad (a-b)(a+b) = a^2-b^2
\end{aligned}$$
Exemple : Développer et réduire les expressions suivantes.
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A&= (3a+2)^2 \\
&= (3a)^2+2\times 3a\times 2+2^2\\
&= 9a^2+12a+4\\
\bullet\quad B&=(5a- 4)^2 \\
&= (5a)^2-2\times 5a\times 4+4^2\\
&= 25a^2- 40a+16\\
\bullet\quad C&=(7a-2)(7a+2) \\
&= (7a)^2- 2^2\\
&= 49a^2-4
\end{aligned}$$
Factorisation
Définition : Factoriser c’est transformer une somme algébrique en un produit.
Propriété : $a$, $b$ et $k$ trois nombres réels:
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad {k} \times a+ {k} \times b = {k} \times (a+b)\\
&\bullet\quad {k} \times a- {k} \times b = {k} \times (a-b)
\end{aligned}$$
Exemple :
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A &= 5 a+ 20 \\
&= {5} \times a+ {5} \times 4\\
&= {5} \times (a+4)\\
\bullet\quad B &= 16a^2+ 12a \\
&= {4a} \times 4a+{4a} \times 3\\
&= {4a} \times (4a+3)
\end{aligned}$$
Factorisation et identités remarquables
Propriété : $a$ et $b$ deux nombres réels.
$$\begin{aligned}
&\bullet~~& a^2+ 2ab+b^2 = (a+ b)^2\\
&\bullet~~& a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\\
&\bullet~~& a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
\end{aligned}$$
Exemple : Factoriser les expressions suivantes.
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A & = 4x^2+12x+9\\
& = (2x)^2+2\times 2x \times 3 +3^2\\
& = (2x+3)^2\\
\bullet\quad B & = 49x^2-28x+4\\
& = (7x)^2-2\times 7x \times 2+2^2\\
& = (7x-2)^2\\
\bullet\quad C & = 16-25x^2\\
& = 4^2- (5x)^2\\
& = (4-5x)(4+5x)
\end{aligned}$$
- Calcul d'une puissance