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Chapitre 3

Racine carrée d’un nombre positif

Définition : Soit $a$ un nombre réel positif.

La racine carrée du nombre $a$ est le nombre dont le carrée est $a$, et se note $\sqrt{a}$.

On écrit : $\sqrt{a}^2=a$

Autrement dit : $a$ et $b$ deux nombres réels positifs.

Si $a=b^2$ signifie que $b=\sqrt{a}$

Résultat : Pour tout nombre réel positif $a$, on a : $\sqrt{a^2}=\sqrt{a}^2=a$

Exemples :

$\bullet\quad \sqrt{0}=0$

$\bullet\quad \sqrt{5}^2=5$

$\bullet\quad \sqrt{3^2}=3$

$\bullet\quad \sqrt{1}=1$

$\bullet\quad \sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4$

$\bullet\quad \sqrt{(-7)^2}=\sqrt{7^2}=7$

$\bullet\quad \sqrt{\dfrac{100}{9}}=\sqrt{\left( \dfrac{10}{3}\right) ^2}=\dfrac{10}{3}$

$\bullet\quad \sqrt{2,12}=\sqrt{1,1^2}=1,1$

Racine carrée et produit

Propriété 1 : $a$ et $b$ deux nombres réels positifs. $$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a}\times \sqrt{b}$$
Résultat : $a$ et $b$ deux nombres réels positifs. $$\sqrt{a^2 \times b} = \sqrt{a^2}\times \sqrt{b}=a\sqrt{b}$$

Exemples :

$\bullet$ $\sqrt{2}\times \sqrt{8}=\sqrt{2 \times 8}=\sqrt{16}=4$

$\bullet$ $\sqrt{80}=\sqrt{16 \times 5}=\sqrt{16}\times \sqrt{5}=\sqrt{4^2}\times \sqrt{5}=4\sqrt{5}$

$\bullet$ $\sqrt{2}\times \sqrt{6}\times \sqrt{8}=\sqrt{2 \times 6 \times 8}=\sqrt{96}=\sqrt{16 \times 6}=\sqrt{4^2 \times 6}=4\sqrt{6}$

Racine carrée et quotient

Propriété 2 : $a$ et $b$ deux nombres réels où $b \neq 0$
$$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$$

Exemple :

$\bullet$ $\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{12}{3}}=\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2$

$\bullet$ $\sqrt{\dfrac{25}{9}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{5^2}}{\sqrt{3^2}}=\dfrac{5}{3}$

$\bullet$ $\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{16 \times 2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{16}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=\sqrt{4}$

Rendre rationnel le dénominateur d’un nombre réel

Propriété 3 : $a$ et $b$ deux nombres réels où $b \neq 0$.
$$\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b}^2}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}$$

Exemples : Écrire sans utiliser la racine ($\sqrt{~~}$) au dénominateur.

$\bullet$ $\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}^2}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

$\bullet$ $\dfrac{\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{5\sqrt{2}^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{10}$

Propriété 4 : $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls.
$$\begin{equation*}
\dfrac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{a\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}=\dfrac{a\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2}=\dfrac{a\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}{a-b}
\end{equation*}$$

Exemples : Écrire sans utiliser la racine ($\sqrt{~~}$) au dénominateur.

$\bullet$ $\dfrac{2}{1-\sqrt{5}}=\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}=\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{1^2-\sqrt{5}^2}=\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{1-5}=\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{-4}$

$\bullet$ Les nombres $1+\sqrt{5}$ et $1-\sqrt{5}$ sont dits conjuguées.

L’équation $x^2=a$

Propriété 5 : Soit $a$ un nombre réel donnée.
$\bullet$ Si $a=0$, alors l’équation $x^2=a$ a une seule solution : $0$
$\bullet$ Si $a>0$, alors l’équation $x^2=a$ a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$
$\bullet$ Si $a<0$, alors l’équation $x^2=a$ n’a pas de solution.

Exemples :

$\bullet$ L’équation $x^2=3$, a deux solutions : $\sqrt{3}$ et $-\sqrt{3}$

$\bullet$ L’équation $x^2=16$, a deux solutions : $4$ et $-4$

$\bullet$ L’équation $x^2=0$, a une seule solution : $0$.

$\bullet$ L’équation $x^2=-25$, n’a pas de solution car $-25<0$.

Exercice 1 Mathxi math - Calcul d'une puissance [Signaler une erreur]
Enoncé math

Calculer : $$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \,\,{\left( { – 1} \right)^{2024}} + {\left( { – 1} \right)^{2025}} &\quad\mathbf{2.}\ \,\,{\left( {\dfrac{{ – 5}}{2}} \right)^{ – 3}}\\
\mathbf{3.}\ \,\,{\left( { – 10} \right)^{ – 2}} & \quad\mathbf{4.}\ \,\,{4^{ – 1}} \\
\mathbf{5.}\ \,\,{\left( { – 2024} \right)^0} &\quad\mathbf{6.}\ \,\,{\left( { – 2} \right)^3}\end{array}$$
Indication math
Corrigé math
Exercice 2 Mathxi math math - Opérations sur les puissances [Signaler une erreur]
Enoncé math

Simplifier les expressions suivantes avec $a \neq 0$, $b \neq 0$, $c \neq 0$.
$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \,\, {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{ -7}} \times {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{10}} &\quad\mathbf{2.}\ \,\, {2^7} \times {10^{ -17}} \times {5^7} \\
\mathbf{3.}\ \,\, {\left( {{a^4}} \right)^{ -2}} \times {\left( {{a^{ -3}}} \right)^{ -7}} & \quad\mathbf{4.}\ \,\, {a^5} \times {a^{13}} \times {a^{ – 7}} \\
\mathbf{5.}\ \,\, {\left( {{a^{ -3}} \times {b^2} \times {c^{ -5}}} \right)^3}{\left( {{{\left( {{a^4}} \right)}^{ -2}} \times {b^{ -3}}}  \right)^{ -3}} &\quad\mathbf{6.}\ \,\, \dfrac{{{a^4}{b^{ -2}}a{b^{ -5}}}}{{{a^{ -3}}{b^2}{a^5}b}}\\
\mathbf{7.}\ \,\, \dfrac{{{8^5}}}{{{{100000}^3}}} &\quad
\end{array}$$
Indication math
Corrigé math
Exercice 3 Mathxi math - L'écriture scientifique [Signaler une erreur]
Enoncé math

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants.
$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \,\, A = 780000000 &\quad\mathbf{2.}\ \,\, B = 341000000 \\
\mathbf{3.}\ \,\, C = 2015 & \quad\mathbf{4.}\ \,\, D = 0,0000005 \\
\mathbf{5.}\ \,\, E = 0,00831 &\quad\mathbf{6.}\ \,\, F = 20000 \times 1000000\\
\mathbf{7.}\ \,\, G = 3000000 \times 600000000000 &\quad\mathbf{8.}\ \,\, H = 0,0000000013 \times 20000\\
\mathbf{9.}\ \,\, K = \dfrac{{{{500}^2}}}{{0,00002}} &
\end{array}$$
Indication math
Corrigé math

Chapitre 2

Puissance d’un nombre réel

Définition : Soit $a$ un nombre réel non nul, $n$ un nombre entier supérieur à $1$.
$$
a^{n}=\underbrace{a \times a \times \ldots \ldots \times a}_{n \text { facteurs }}$$

$\bullet$ Si $n=1$, alors $a^1=a$
$\bullet$ Si $n=0$ et $a \neq 0$ alors $a^0=1$
$\bullet$ Si $n\neq 0$ et $a = 0$ alors $0^n=0$
$\bullet$ Si $a\neq 0$ et $n$ un nombre entier, alors $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$,
donc on a : $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$, avec $\left( \dfrac{a}{b}\neq 0 \right)$

Remarque :

$\bullet$ $a$ est la base de la puissance $a^n$.

$\bullet$ $n$ est l’exposant de la puissance $a^n$.

$\bullet$ $0^0$ n’existe pas.

$\bullet$ $a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$.

Exemples :

$\bullet$ $(-3)^4=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)=9 \times 9 = 81$

$\bullet$ $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2\times 2\times 2}{3\times 3\times 3}=\dfrac{8}{27}$

$\bullet$ $2019^0=1$

$\bullet$ $523^1=523$

$\bullet$ $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{2\times 2\times 2}=\dfrac{1}{8}$

$\bullet$ $\left(\dfrac{5}{2}\right)^{-2}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}=\dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{25}$

Le signe d’une puissance

Propriété : Soit $a$ un nombre réel, $n$ un nombre entier non nul.

  1. Si $n$ est paire, alors $a^n$ est toujours positif quel que soit le signe de $a$.
  2. Si $n$ est impaire, alors :
    1. Si $a$ est positif, alors $a^n$ est positif.
    2. Si $a$ est négatif, alors $a^n$ est négatif.

Exemples :

$\bullet$ La puissance $\left( -12 \right)^{17}$ est négatif, car l’exposant est impaire et la base est négatif.

$\bullet$ La puissance $\left( -3 \right)^{48}$ est positif, car l’exposant est paire.

Opérations sur les puissances

 Propriétés : $a$, $b$ deux nombres réels non nuls, $n$ et $m$ deux entiers naturels.

  1. Produit de deux puissances de même base : $a^n \times a^m = a^{n+m}$
  2. Produit de deux puissances de même exposant : $a^n \times b^n = (a \times b )^{n}$
  3. Quotient de deux puissances de même base : $\dfrac{a^n}{a^m}= a^{n-m}$
  4. Quotient de deux puissances de même exposant : $\dfrac{a^n}{b^n}= \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$
  5. Puissance d’une puissance : $\left( a^n\right)^m=a^{n\times m}$

Exemples :

  • $(-3)^9 \times (-3)^5= (-3)^{9+5}=(-3)^{14}$
  • $2^{7} \times 5^{7}= (2 \times 5)^{7}=10^{7}$
  • $\dfrac{1,3^8}{1,3^3}=1,3^{8-3}=1,3^5$
  • $\dfrac{21^{13}}{7^{13}}=\left(\dfrac{21}{7}\right)^{13}=3^{13}$
  • $\left(2^3\right)^4=2^{3 \times 4} =2^{12}$

Puissances de 10

Propriétés : Soit $n$ un nombre entier naturel.

  1. ${10^n} = 1\underbrace {00………0}_{n\,\,\text{zéros}}$
  2. ${10^{-n}} = \underbrace {0,00………0}_{n\,\,\text{zéros}}1$
  3. $10^0=1$ ; $10^1=10$ ; $10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}$

Exemples :

  • $1000000000=10^9$
  • $10^5=100000$
  • $0,000001=10^{-6}$
  • $10^{-4}=0,0001$
  • $10^8 \times 10^3=10^{8+3}=10^{11}$
  • $\dfrac{10^6}{10^2}=10^{6-2}=10^4$
  • $(10^5)^7=10^{5\times 7}=10^{35}$

Écriture scientifique

 Définition : Soit $x$ un nombre décimal, $n$ un nombre entier relatif.

L’écriture scientifique de $x$ est :
$$x=a \times 10^{n} \quad\text{ou}\quad x=- a \times 10^{n}$$
Avec $1 \leq a < 10$.

Exemples :

  • $649,2=6,492 \times 10^2$
  • $-0,0000327=-3,27\times 10^{-5}$
  • $32000000=3,2\times 10^{-7}$
  • $569,4 \times 10^{13}=5,694 \times 10^2 \times 10^{13}=5,694\times 10^{15}$
Exercice 1 Mathxi math math - Développement simple et double [Signaler une erreur]
Enoncé math

Développer et réduire les expressions suivantes :

  1. $A = 2\left( {x + 5} \right)$
  2. $B = \left( {5-x} \right)\left( {7 + x} \right)$
  3. $C = \dfrac{2}{3}\left( {5 + 7x} \right)-\dfrac{1}{2}\left( {- x + 1} \right)$
  4. $D = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2}- 3x + 5} \right)$

Indication math
Corrigé math
Exercice 2 Mathxi math math math - Développement et identités remarquables [Signaler une erreur]
Enoncé math

Développer et réduire les expressions suivantes :

  1. $A = {\left( {x + 3} \right)^2}$
  2. $B = {\left( {3x- 1} \right)^2}$
  3. $C = 5{\left( {1- x} \right)^2}$
  4. $D = \left( {3x + 7} \right)\left( {3x- 7} \right) + 4{\left( {x- \frac{1}{2}} \right)^2}$

Indication math
Corrigé math
Exercice 3 Mathxi math math - Facteur commun [Signaler une erreur]
Enoncé math

Factoriser les expressions suivantes :

  1. $A = ab + 5b$
  2. $B = 12x + 18$
  3. $C = 5x-{x^2}$
  4. $D = x + 5{x^2} + 11{x^3}$
  5. $E = 5\left( {x + 1} \right) + {\left( {x + 1} \right)^2}$
  6. $F = \left( {x-3} \right)\left( {x + 7} \right)-\left( {5-x} \right)\left( {x-3} \right)$

Indication math
Corrigé math
Exercice 4 Mathxi math math math math - Factorisation et identités remarquables [Signaler une erreur]
Enoncé math

Factoriser les expressions suivantes :

  1. $A = {x^2}-49 + x\left( {x-7} \right)$
  2. $B = {x^2} + 4x + 4$
  3. $C= {x^2}-\dfrac{9}{{121}}$
  4. $D = {\left( {2x-3} \right)^2}-{\left( {x + 1} \right)^2}$
  5. $E = \dfrac{{{x^2}}}{8}-8$
  6. $F =-7{x^2} + 14x-7$
  7. $G = {x^{12}}-1 + 5\left( {{x^6}-1} \right)$
  8. $H = x^2-x-6$

Indication math
Corrigé math
Exercice 5 Mathxi math math math - Problème 1 [Signaler une erreur]
Enoncé math

On considère l’expression suivante:
$$P=(x-1)^2-(x-1)(3x-4)$$

  1. Développer et réduire $P$.
  2. Factoriser $P$.
  3. Calculer $P$ pour $x=1$ puis pour $x=\dfrac{1}{3}$.
  4. Résoudre l’équations $P=0$.

Indication math
Corrigé math
Exercice 6 Mathxi math math math math - Problème 2 [Signaler une erreur]
Enoncé math

On considère les expressions suivantes:
$$A=2x^2-13x-7 \quad\text{ et }\quad B=(2x-5)^2-36$$

  1. Factoriser $B$.
  2. Montrer que $B-2A=3(2x+1)$.
  3. En déduire la factorisation de $A$.

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Corrigé math

Chapitre 1

Réduire une expression algébrique

Définition : Réduire une expression algébrique, c’est l’écrire avec le minimum possible d’opérations.

Exemple :

$$\begin{aligned}
\bullet\quad A &= {2x}+{y}+{5}-{6x}-{9}+{7y}\\
&= {2x-6x}+{y+7y}+{5-9}\\
&= {-4x}+{8y}-{4}\\
\bullet\quad B &= {9x^2}+{x}+{x^2}+{5x}\\
&= {9x^2+x^2}+{x+5x}\\
&= {10x^2}+{6x}
\end{aligned}$$

Développement

Définition : Développer  c’est transformer un produit en une somme algébrique.
Propriété : $a$, $b$ et $k$ trois nombres réels:
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad  {k} \times (a+b) ={k} \times a+{k} \times b\\
&\bullet\quad  {k} \times (a-b) = {k} \times a-{k} \times b
\end{aligned}$$

Exemple :

$$\begin{aligned}
\bullet\quad A & = 6 \times (a+2) \\
&= 6 \times a+6\times 2\\
&= 6a+12\\
\bullet\quad  B &  ={7} \times (b-3) \\
& = 7\times b-7\times 3\\
&= 7b-21
\end{aligned}$$

Propriété : (Double développement) $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels:
$$(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$$

Exemple :

$$\begin{aligned}
\bullet\quad A&= (5+a)(a+3)\\
&= 5 \times a +5\times 3+ a \times a + a \times 3\\
&= 5a+15+a^2+3a\\
&= a^2+5a+3a+15\\
&= a^2+8a+15\\
\bullet\quad B&=(2a-3)(a-4) \\
&= 2a \times a-2a\times 4- 3 \times a+ 3 \times 4\\
&= 2a^2-8a-3a+12\\
&= 2a^2-11a+12
\end{aligned}$$

Développement et identités remarquables

Propriété : $a$ et $b$ deux nombres réels.
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad  (a+b)^2 = a^2 +  2ab+b^2\\
&\bullet\quad  (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\\
&\bullet\quad  (a-b)(a+b) = a^2-b^2
\end{aligned}$$

Exemple : Développer et réduire les expressions suivantes.
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A&= (3a+2)^2 \\
&= (3a)^2+2\times 3a\times 2+2^2\\
&= 9a^2+12a+4\\
\bullet\quad B&=(5a- 4)^2 \\
&= (5a)^2-2\times 5a\times 4+4^2\\
&= 25a^2- 40a+16\\
\bullet\quad C&=(7a-2)(7a+2) \\
&= (7a)^2- 2^2\\
&= 49a^2-4
\end{aligned}$$

Factorisation

Définition : Factoriser c’est transformer une somme algébrique en un produit.
Propriété : $a$, $b$ et $k$ trois nombres réels:
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad {k} \times a+ {k} \times b = {k} \times (a+b)\\
&\bullet\quad {k} \times a- {k} \times b = {k} \times (a-b)
\end{aligned}$$

Exemple :

$$\begin{aligned}
\bullet\quad A &= 5 a+ 20 \\
&= {5} \times a+ {5} \times 4\\
&= {5} \times (a+4)\\
\bullet\quad B &= 16a^2+ 12a \\
&= {4a} \times 4a+{4a} \times 3\\
&= {4a} \times (4a+3)
\end{aligned}$$

Factorisation et identités remarquables

Propriété : $a$ et $b$ deux nombres réels.
$$\begin{aligned}
&\bullet~~& a^2+ 2ab+b^2 = (a+ b)^2\\
&\bullet~~& a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\\
&\bullet~~& a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
\end{aligned}$$

Exemple : Factoriser les expressions suivantes.
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A & =  4x^2+12x+9\\
& =  (2x)^2+2\times 2x \times 3 +3^2\\
& =  (2x+3)^2\\
\bullet\quad B & =   49x^2-28x+4\\
& =  (7x)^2-2\times 7x \times 2+2^2\\
& =  (7x-2)^2\\
\bullet\quad C & =  16-25x^2\\
& =  4^2- (5x)^2\\
& =  (4-5x)(4+5x)
\end{aligned}$$