On sait que $a$ et $b$ sont $a$ et $b$ deux nombres rationnels strictement positifs.
Étudions le signe de la différence :
$$\begin{aligned}
\left( {\sqrt a + b} \right)\left( {\frac{{\sqrt a }}{a} + \frac{1}{b}} \right) – 4 &= 1 + \frac{{\sqrt a }}{b} + \frac{{b\sqrt a }}{a} + 1 – 4\\
&= – 2 + \frac{{\sqrt a }}{b} + \frac{b}{{\sqrt a }} \\
&= {\left( {\sqrt {\frac{{\sqrt a }}{b}} – \sqrt {\frac{b}{{\sqrt a }}} } \right)^2} \ge 0
\end{aligned}$$Et cela signifie que : $$\left( {\sqrt a + b} \right)\left( {\frac{{\sqrt a }}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4$$

Dans cet exercice, il y a une erreur dans le calcul qui a été effectué. Lorsque nous sommes arrivés à l’équation : $x(x-y-z)=y(x-y-z)$.
L’hypothèse était que $x-y-z$ n’est pas égal à zéro, mais en réalité : $x−y−z=3−1−2=0$.
Et lorsque nous divisons par zéro, nous commettons une erreur mathématique car la division par zéro est indéfinie. Par conséquent, l’équation ne peut pas être simplifiée comme cela a été fait, et c’est la source de l’erreur.

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Méthode 1: Puisque $a > 2$ et $b > 2$, nous avons $a > 0$ et $b > 0$, donc $ab > 2b$ et $ab > 2a$. En ajoutant ces deux inégalités, on obtient $2ab > 2(a + b)$, ce qui implique que $ab > a + b$.
Méthode 2: Puisque $a > 2$ et $b > 2$, nous avons $a > 0$ et $b > 0$, donc $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{2}$.
Par conséquent, $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}$, d’où $\dfrac{a + b}{ab} < 1$, ce qui implique $a + b < ab$.
Méthode 3:

Puisque $a > 2$ et $b > 2$, on peut écrire :

$$a = 2 + x \quad \text{et} \quad b = 2 + y$$

avec $x > 0$ et $y > 0$.

Calculons la différence $ab -(a + b)$ :

$$
\begin{aligned}
ab -\left( {a + b} \right) &= \left( {2 + x} \right)\left( {2 + y} \right) -\left( {\left( {2 + x} \right) + \left( {2 + y} \right)} \right)\\
&= \left( {4 + 2x + 2y + xy} \right) -\left( {4 + x + y} \right)\\
&= 4 + 2x + 2y + xy -4 -x -y\\
&= x + y + xy
\end{aligned}
$$

Or $x > 0$ et $y > 0$, donc $x + y + xy > 0$, ce qui implique :

$$ab > a + b$$

Calculer la somme des six notes :
Puisque la moyenne des six notes est $12$, la somme des six notes est :\[S = 12 \times 6 = 72\]
Calculer la somme des notes de la deuxième et de la cinquième interrogation :
La moyenne des notes de la deuxième et de la cinquième interrogation est $11$, donc la somme de ces deux notes est :
\[S_{2+5} = 11 \times 2 = 22\]
Calculer la somme des quatre autres notes :
La somme des notes obtenues aux quatre autres interrogations (la première, la troisième, la quatrième et la sixième) est donnée par :\[S_{\text{reste}} = S- S_{2+5} = 72- 22 = 50\]
Calculer la moyenne des quatre autres notes :
La moyenne des notes obtenues aux quatre autres interrogations est donc :\[\text{Moyenne}_{\text{reste}} = \frac{S_{\text{reste}}}{4} = \frac{50}{4} = 12,5\]
Conclusion :
La moyenne des notes obtenues aux interrogations restantes (la première, la troisième, la quatrième et la sixième) est de $12,5$.

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1. Développer et réduire : $A$, $B$ et $C$.\[\begin{aligned}
   A &= 5\left( {x -2} \right)\\
   &= 5 \times x -5 \times 2\\
   &= 5x -10\\
   B &= {\left( {2x -1} \right)^2} + x\left( {2x -1} \right)\\
   &= {\left( {2x} \right)^2} -2 \times 2x \times 1 + {1^2} + x \times 2x -x \times 1\\
   &= 4{x^2} -4x + 1 + 2{x^2} -x\\
   &= 6{x^2} -5x + 1\\
   C &= {\left( {x + 6} \right)^2} -25\\
   &= {x^2} + 2 \times x \times 6 + {6^2} -25\\
   &= {x^2} + 12x + 36 -25\\
   &= {x^2} + 12x + 10
   \end{aligned}\]
2. Factoriser $B$ et $C$.\[\begin{aligned}
   B &= {\left( {2x -1} \right)^2} + x\left( {2x -1} \right)\\
   &= \left( {2x -1} \right)\left( {2x -1} \right) + x\left( {2x -1} \right)\\
   &= \left( {2x -1} \right)\left( {2x -1 + x} \right)\\
   &= \left( {2x -1} \right)\left( {3x -1} \right)\\
   C &= {\left( {x + 6} \right)^2} -25\\
   &= {\left( {x + 6} \right)^2} -{5^2}\\
   &= \left( {x + 6 -5} \right)\left( {x + 6 + 5} \right)\\
   &= \left( {x + 1} \right)\left( {x + 11} \right)
   \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}
D &= \frac{{{a^{ -3}} \times {{\left( {a \times {a^{ -3}}} \right)}^{ -4}}}}{{{a^{ -1}} \times {a^{ -2}} \times a}}\\
&= \frac{{{a^{ -3}} \times {a^{ -4}} \times {{\left( {{a^{ -3}}} \right)}^{ -4}}}}{{{a^{ -1 -2 + 1}}}}\\
&= \frac{{{a^{ -7}} \times {a^{12}}}}{{{a^{ -2}}}}\\
&= \frac{{{a^5}}}{{{a^{ -2}}}}\\
&= {a^{5 -\left( { -2} \right)}}\\
&= {a^{5 + 2}}\\
&= {a^7}
\end{aligned}\]

1. On donne l’écriture scientifique des nombres suivants :
   $$\begin{aligned}
   E &= 0,048=\boxed{4,8\times 10^{-2}}\\
   F &=3000000=\boxed{3\times 10^{6}}
   \end{aligned}$$
2. En déduire l’écriture scientifique de:
   $G=\dfrac{0,048}{3000000}$
   $$\begin{aligned}
   G=\dfrac{E}{F}=\dfrac{4,8\times 10^{-2}}{3\times 10^{6}}=\dfrac{4,8}{3}\times 10^{-2-6}=\boxed{1,6\times 10^{-8}}
   \end{aligned}$$

1. Calculons et simplifions l’expression $H$
   $$\begin{aligned}
   H &= {\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^{ -2}} + \dfrac{7}{5}\\
   &= {\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + \dfrac{7}{5}\\
   &= \dfrac{4}{5} + \dfrac{7}{5}\\
   &=\boxed{ \dfrac{{11}}{5}}
   \end{aligned}$$
2. Calculons et simplifions l’expression $I$
   $$\begin{aligned}
   I &= \sqrt {48} -\sqrt {12} + 2\sqrt 3\\
   &= \sqrt {{4^2} \times 3} -\sqrt {{2^2} \times 3} + 2\sqrt 3\\
   &= 4\sqrt 3 -2\sqrt 2 + 2\sqrt 2\\
   &= \boxed{4\sqrt 3}
   \end{aligned}$$
3. Calculons et simplifions l’expression $J$
   $$\begin{aligned}
   J &= \sqrt {\dfrac{{\sqrt {100} -1}}{{{3^2} + {4^2}}}}\\
   &= \sqrt {\dfrac{{\sqrt {{{10}^2}} -1}}{{9 + 16}}}\\
   &= \sqrt {\dfrac{{10 -1}}{{25}}}\\
   &= \sqrt {\dfrac{9}{{25}}}\\
   &= \boxed{\dfrac{3}{5}}
   \end{aligned}$$
4. Calculons et simplifions l’expression $K$
   $$\begin{aligned}
   K &= \sqrt {\sqrt 5 -1} \times \sqrt {\sqrt 5 + 1}\\
   &= \sqrt {\left( {\sqrt 5 -1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}\\
   &= \sqrt {{{\sqrt 5 }^2} -{1^2}}\\
   &= \sqrt {5 -1} = \sqrt 4 = \boxed{2}
   \end{aligned}$$

• $L = \dfrac{3}{{7\sqrt 5 }} = \dfrac{{3 \times \sqrt 5 }}{{7\sqrt 5 \times \sqrt 5 }} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{7{{\sqrt 5 }^2}}} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{7 \times 5}} = \boxed{\dfrac{{3\sqrt 5 }}{{35}}}$
• $
  M = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 -1}} = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 -1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} = \dfrac{{{{\sqrt 3 }^2} + \sqrt 3 }}{{{{\sqrt 3 }^2} -{1^2}}} = \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{{3 -1}} = \boxed{\dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{2}}$

On a : $$
\begin{aligned}
& E=\sqrt{4 x^2-4 x y+y^2}+2 \sqrt{(x-3)^2+12 x} \\
& E=\sqrt{(2 x-\mathrm{y})^2}+2 \sqrt{x^2-6 x+9+12 x} \\
& E=\sqrt{(2 x-\mathrm{y})^2}+2 \sqrt{x^2+6 x+9} \\
& E=\sqrt{(2 x-\mathrm{y})^2}+2 \sqrt{(x+3)^2}
\end{aligned}
$$
Déterminons les signes de $(2 x-y)$ et $(x+3)$.

On a : $$2 \leq x \leq 3 \quad et \quad 6 \leq y \leq 7$$

Donc : $$
4 \leq 2 x \leq 6 \quad \text { et } \quad-7 \leq-y \leq-6
$$

Donc : $-3 \leq 2 x-y \leq 0$

Alors  $2 x-y$ est un nombre négatif, donc $\sqrt{(2 x-y)^2}=-(2 x-y)$

On a : $2 \leq x \leq 3$, alors : $
5 \leq x+3 \leq 6
$

Alors  $x+3$ est donc un nombre positif ; donc $\sqrt{(x+3)^2}=x+3$

Par suite :
$$\begin{aligned}
E &=-(2 x-y)+2(x+3)
E &=-2^{\prime} x+\mathrm{y}+2^{\prime} x+6\\
E &=y+6
\end{aligned}$$

On a : $b>1$, donc $b-1>0$ et $\sqrt{b-1}>0$.
On a : $(\sqrt{b-1}-1)^2\ge 0$ (car le carré de tout nombres réel est toujours positif).
Donc : \[\begin{aligned}
\sqrt {b -1} ^2 -2\sqrt {b -1} + 1 \ge 0\\
b-1-2\sqrt {b -1} + 1 \ge 0\\
b-2\sqrt {b -1} \ge 0\\
b \ge 2\sqrt {b -1} \\
\frac{b}{2} \ge \sqrt {b -1} \\
\sqrt {b -1} \le \dfrac{b}{2}
\end{aligned}\]Et comme $a$ est positif car $a>1$, alors : $\boxed{a\sqrt{b-1}\le \dfrac{ab}{2}}~~(*)$
De la meme maniére, on démontre que : $\boxed{b\sqrt{a-1}\le \dfrac{ab}{2}}~~(**)$
On déduit, en ajoutant membre à membre les membres des deux inégalités $(*)$ et $(**)$ que :
$$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le \dfrac{ab}{2}+\dfrac{ab}{2}$$
Donc : $$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab$$

1. Montrons que : $4\le a\le 12$.
   On a : \[\begin{array}{l}
   1 \le \sqrt {a – 3} \le 3\\
   {1^2} \le {\sqrt {a – 3} ^2} \le {3^2}\\
   1 \le a – 3 \le 9\\
   1 + 3 \le a \le 9 + 3
   \end{array}\]
   Donc $4 \le a \le 12$.
2. Encadrement du nombre $\dfrac{3}{a}+b^2$.
   On a : \[\begin{array}{l}
   4 \le a \le 12\,\,\,\,et\,\,\,\, – 4 \le b \le \dfrac{1}{2}\\
   \dfrac{1}{{12}} \le \dfrac{1}{a} \le \dfrac{1}{4}\,\,\,\,et\,\,\,\,0 \le {b^2} \le {\left( { – 4} \right)^2}\\
   \dfrac{3}{{12}} \le \dfrac{3}{a} \le \dfrac{3}{4}\,\,\,\,et\,\,\,\,0 \le {b^2} \le 16\\
   \dfrac{1}{4} \le \dfrac{3}{a} \le \dfrac{3}{4}\,\,\,\,et\,\,\,\,0 \le {b^2} \le 16
   \end{array}\]
   Donc : $\dfrac{1}{4} + 0 \le \dfrac{3}{a} + {b^2} \le \dfrac{3}{4} + 16$
   Donc : $\dfrac{1}{4}\le \dfrac{3}{a} + {b^2} \le \dfrac{67}{4}$

En cours de réalisation.

En cours de réalisation.

En cours de réalisation.

En cours de réalisation.

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