1. Développer et réduire : $A$, $B$ et $C$.\[\begin{aligned}
   A &= 5\left( {x -2} \right)\\
   &= 5 \times x -5 \times 2\\
   &= 5x -10\\
   B &= {\left( {2x -1} \right)^2} + x\left( {2x -1} \right)\\
   &= {\left( {2x} \right)^2} -2 \times 2x \times 1 + {1^2} + x \times 2x -x \times 1\\
   &= 4{x^2} -4x + 1 + 2{x^2} -x\\
   &= 6{x^2} -5x + 1\\
   C &= {\left( {x + 6} \right)^2} -25\\
   &= {x^2} + 2 \times x \times 6 + {6^2} -25\\
   &= {x^2} + 12x + 36 -25\\
   &= {x^2} + 12x + 10
   \end{aligned}\]
2. Factoriser $B$ et $C$.\[\begin{aligned}
   B &= {\left( {2x -1} \right)^2} + x\left( {2x -1} \right)\\
   &= \left( {2x -1} \right)\left( {2x -1} \right) + x\left( {2x -1} \right)\\
   &= \left( {2x -1} \right)\left( {2x -1 + x} \right)\\
   &= \left( {2x -1} \right)\left( {3x -1} \right)\\
   C &= {\left( {x + 6} \right)^2} -25\\
   &= {\left( {x + 6} \right)^2} -{5^2}\\
   &= \left( {x + 6 -5} \right)\left( {x + 6 + 5} \right)\\
   &= \left( {x + 1} \right)\left( {x + 11} \right)
   \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}
D &= \frac{{{a^{ -3}} \times {{\left( {a \times {a^{ -3}}} \right)}^{ -4}}}}{{{a^{ -1}} \times {a^{ -2}} \times a}}\\
&= \frac{{{a^{ -3}} \times {a^{ -4}} \times {{\left( {{a^{ -3}}} \right)}^{ -4}}}}{{{a^{ -1 -2 + 1}}}}\\
&= \frac{{{a^{ -7}} \times {a^{12}}}}{{{a^{ -2}}}}\\
&= \frac{{{a^5}}}{{{a^{ -2}}}}\\
&= {a^{5 -\left( { -2} \right)}}\\
&= {a^{5 + 2}}\\
&= {a^7}
\end{aligned}\]

1. On donne l’écriture scientifique des nombres suivants :
   $$\begin{aligned}
   E &= 0,048=\boxed{4,8\times 10^{-2}}\\
   F &=3000000=\boxed{3\times 10^{6}}
   \end{aligned}$$
2. En déduire l’écriture scientifique de:
   $G=\dfrac{0,048}{3000000}$
   $$\begin{aligned}
   G=\dfrac{E}{F}=\dfrac{4,8\times 10^{-2}}{3\times 10^{6}}=\dfrac{4,8}{3}\times 10^{-2-6}=\boxed{1,6\times 10^{-8}}
   \end{aligned}$$

1. Calculons et simplifions l’expression $H$
   $$\begin{aligned}
   H &= {\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^{ -2}} + \dfrac{7}{5}\\
   &= {\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + \dfrac{7}{5}\\
   &= \dfrac{4}{5} + \dfrac{7}{5}\\
   &=\boxed{ \dfrac{{11}}{5}}
   \end{aligned}$$
2. Calculons et simplifions l’expression $I$
   $$\begin{aligned}
   I &= \sqrt {48} -\sqrt {12} + 2\sqrt 3\\
   &= \sqrt {{4^2} \times 3} -\sqrt {{2^2} \times 3} + 2\sqrt 3\\
   &= 4\sqrt 3 -2\sqrt 2 + 2\sqrt 2\\
   &= \boxed{4\sqrt 3}
   \end{aligned}$$
3. Calculons et simplifions l’expression $J$
   $$\begin{aligned}
   J &= \sqrt {\dfrac{{\sqrt {100} -1}}{{{3^2} + {4^2}}}}\\
   &= \sqrt {\dfrac{{\sqrt {{{10}^2}} -1}}{{9 + 16}}}\\
   &= \sqrt {\dfrac{{10 -1}}{{25}}}\\
   &= \sqrt {\dfrac{9}{{25}}}\\
   &= \boxed{\dfrac{3}{5}}
   \end{aligned}$$
4. Calculons et simplifions l’expression $K$
   $$\begin{aligned}
   K &= \sqrt {\sqrt 5 -1} \times \sqrt {\sqrt 5 + 1}\\
   &= \sqrt {\left( {\sqrt 5 -1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}\\
   &= \sqrt {{{\sqrt 5 }^2} -{1^2}}\\
   &= \sqrt {5 -1} = \sqrt 4 = \boxed{2}
   \end{aligned}$$

• $L = \dfrac{3}{{7\sqrt 5 }} = \dfrac{{3 \times \sqrt 5 }}{{7\sqrt 5 \times \sqrt 5 }} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{7{{\sqrt 5 }^2}}} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{7 \times 5}} = \boxed{\dfrac{{3\sqrt 5 }}{{35}}}$
• $
  M = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 -1}} = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 -1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} = \dfrac{{{{\sqrt 3 }^2} + \sqrt 3 }}{{{{\sqrt 3 }^2} -{1^2}}} = \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{{3 -1}} = \boxed{\dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{2}}$

On a : $$
\begin{aligned}
& E=\sqrt{4 x^2-4 x y+y^2}+2 \sqrt{(x-3)^2+12 x} \\
& E=\sqrt{(2 x-\mathrm{y})^2}+2 \sqrt{x^2-6 x+9+12 x} \\
& E=\sqrt{(2 x-\mathrm{y})^2}+2 \sqrt{x^2+6 x+9} \\
& E=\sqrt{(2 x-\mathrm{y})^2}+2 \sqrt{(x+3)^2}
\end{aligned}
$$
Déterminons les signes de $(2 x-y)$ et $(x+3)$.

On a : $$2 \leq x \leq 3 \quad et \quad 6 \leq y \leq 7$$

Donc : $$
4 \leq 2 x \leq 6 \quad \text { et } \quad-7 \leq-y \leq-6
$$

Donc : $-3 \leq 2 x-y \leq 0$

Alors  $2 x-y$ est un nombre négatif, donc $\sqrt{(2 x-y)^2}=-(2 x-y)$

On a : $2 \leq x \leq 3$, alors : $
5 \leq x+3 \leq 6
$

Alors  $x+3$ est donc un nombre positif ; donc $\sqrt{(x+3)^2}=x+3$

Par suite :
$$\begin{aligned}
E &=-(2 x-y)+2(x+3)
E &=-2^{\prime} x+\mathrm{y}+2^{\prime} x+6\\
E &=y+6
\end{aligned}$$

On a : $b>1$, donc $b-1>0$ et $\sqrt{b-1}>0$.
On a : $(\sqrt{b-1}-1)^2\ge 0$ (car le carré de tout nombres réel est toujours positif).
Donc : \[\begin{aligned}
\sqrt {b -1} ^2 -2\sqrt {b -1} + 1 \ge 0\\
b-1-2\sqrt {b -1} + 1 \ge 0\\
b-2\sqrt {b -1} \ge 0\\
b \ge 2\sqrt {b -1} \\
\frac{b}{2} \ge \sqrt {b -1} \\
\sqrt {b -1} \le \dfrac{b}{2}
\end{aligned}\]Et comme $a$ est positif car $a>1$, alors : $\boxed{a\sqrt{b-1}\le \dfrac{ab}{2}}~~(*)$
De la meme maniére, on démontre que : $\boxed{b\sqrt{a-1}\le \dfrac{ab}{2}}~~(**)$
On déduit, en ajoutant membre à membre les membres des deux inégalités $(*)$ et $(**)$ que :
$$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le \dfrac{ab}{2}+\dfrac{ab}{2}$$
Donc : $$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab$$

1. Montrons que : $4\le a\le 12$.
   On a : \[\begin{array}{l}
   1 \le \sqrt {a – 3} \le 3\\
   {1^2} \le {\sqrt {a – 3} ^2} \le {3^2}\\
   1 \le a – 3 \le 9\\
   1 + 3 \le a \le 9 + 3
   \end{array}\]
   Donc $4 \le a \le 12$.
2. Encadrement du nombre $\dfrac{3}{a}+b^2$.
   On a : \[\begin{array}{l}
   4 \le a \le 12\,\,\,\,et\,\,\,\, – 4 \le b \le \dfrac{1}{2}\\
   \dfrac{1}{{12}} \le \dfrac{1}{a} \le \dfrac{1}{4}\,\,\,\,et\,\,\,\,0 \le {b^2} \le {\left( { – 4} \right)^2}\\
   \dfrac{3}{{12}} \le \dfrac{3}{a} \le \dfrac{3}{4}\,\,\,\,et\,\,\,\,0 \le {b^2} \le 16\\
   \dfrac{1}{4} \le \dfrac{3}{a} \le \dfrac{3}{4}\,\,\,\,et\,\,\,\,0 \le {b^2} \le 16
   \end{array}\]
   Donc : $\dfrac{1}{4} + 0 \le \dfrac{3}{a} + {b^2} \le \dfrac{3}{4} + 16$
   Donc : $\dfrac{1}{4}\le \dfrac{3}{a} + {b^2} \le \dfrac{67}{4}$

En cours de réalisation.

En cours de réalisation.

En cours de réalisation.

En cours de réalisation.

En cours de réalisation.

La correction est en cours.

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On remarque que :  $72=9\times 2\times 4$ et $54=9\times 2\times 3$, alors :
\[\frac{{ – 72}}{{54}} = \frac{{ – 9 \times 2 \times 4}}{{9 \times 2 \times 3}} = \frac{{ – 4}}{3}\]On remarque que :  $165=11\times 3\times 5$ et $75=5\times 5\times 3$, alors : \[\frac{{165}}{{75}} = \frac{{11 \times 3 \times 5}}{{5 \times 5 \times 3}} = \frac{{11}}{5}.\]

On constate que $25$ est un multiple de $5$, donc $25$ est leur dénominateur commun, alors : \[\frac{6}{5} = \frac{{6 \times 5}}{{5 \times 5}} = \frac{{30}}{{25}}\quad et \quad \dfrac{17}{25}=\dfrac{17}{25}\]

On a : $24=8\times 3$ et $32=8\times 4$, donc : $8\times 3\times 4$ est un multiple commun de $24$ et $32$, alors :\[\frac{5}{{24}} = \frac{{5 \times 4}}{{24 \times 4}} = \frac{{20}}{{96}} \quad et \quad \frac{{ – 7}}{{32}} = – \frac{{7 \times 3}}{{32 \times 3}} = – \frac{{21}}{{96}}\]

Étape 1 : Écrire la relation proportionnelle $$\dfrac{15}{27} = \dfrac{-30}{x}.$$Cela signifie que : $$15 \times x = -30 \times 27.$$Étape 2 : Calculer le produit $$-30 \times 27 = -810.$$
Donc, on a : $$15 \times x = -810.$$Étape 3 : Divisons les deux membres de l’équation par $15$ : $$x = \dfrac{-810}{15}.$$Étape 4 : Calculer $x$
$$x = -54.$$Résultat final : $$\dfrac{15}{27} = \dfrac{-30}{-54}.$$

Calculons les produits en croix : $$45 \times 84 = 3780 \quad \text{ et } 60 \times 63 = 3780$$Conclusion
Puisque les produits en croix sont égaux $(45 \times 84=60 \times 63)$, cela montre que : $$\dfrac{45}{60} = \dfrac{63}{84}.$$Ainsi, les deux fractions sont égales.

Corrected ici

Corrected ici

Corrected ici

Calcul du débit de chaque robinet :

• Le robinet A remplit le bassin en 4 heures, donc son débit est :
  \[
  \text{Débit de } A = \frac{1}{4} \text{ du bassin par heure}
  \]
• Le robinet B remplit le bassin en 6 heures, donc son débit est :
  \[
  \text{Débit de } B = \frac{1}{6} \text{ du bassin par heure}
  \]

Calcul du temps nécessaire pour remplir la moitié du bassin avec le robinet A :

Étant donné que seul le robinet A est ouvert au début, le temps nécessaire pour remplir la moitié du bassin est :
\[
\text{Temps pour remplir la moitié du bassin} = \frac{0,5 \times 4}{1} = 2 \text{ heures}
\]
Ainsi, à 11h30, la moitié du bassin sera remplie, et on ouvre le robinet B.

Calcul du débit lorsque les robinets A et B sont ouverts ensemble :
Quand les deux robinets A et B sont ouverts ensemble, le débit total est :
\[
\text{Débit A+B} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \text{ du bassin par heure}
\]

Calcul du temps nécessaire pour remplir l’autre moitié du bassin :

Comme la moitié du bassin est déjà remplie, il reste à remplir l’autre moitié. Le temps nécessaire pour remplir l’autre moitié avec les deux robinets est :
\[
\text{Temps pour remplir l’autre moitié} = \frac{0,5}{\frac{5}{12}} = \frac{0,5 \times 12}{5} = \frac{6}{5} = 1,2 \text{ heures}=1h12min
\]

Détermination de l’heure à laquelle le bassin sera entièrement rempli :

Si on ouvre le robinet B à 11h30, et que les deux robinets mettent 1 heure et 12 minutes pour remplir l’autre moitié, le bassin sera entièrement rempli à :
\[
11h30 + 1h12 = 12h42
\]Ainsi, le bassin sera entièrement rempli à 12h42.