Nombre rationnel
Définition : Un nombres rationnel est le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul.
Notation : Le quotient d’un nombre relatif $a$ par un nombre relatif non nul $b$ est noté : $\dfrac{a}{b}$.
Où $a$ est le nombre numérateur et $b$ est le dénominateur.
Exemple 1 :
- Le nombre $\dfrac{3}{7}$ est un nombre rationnel, car $3$ et $7$ sont des nombres relatifs.
- Le nombre $\pi$ n’est pas un nombre rationnel.
Règle de simplification d’un nombre rationnel
Règle 1 : Le quotient de deux nombres relatifs ne change pas lorsqu’on multiplie (ou on divise) ces deux nombres par un même nombre relatif non nul.
Autrement dit : Si $\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel et $k$ un noùbre relatif non nul, alors :
$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times k}{b\times k} \quad et \quad
\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div k}{b\div k}$$
Règle des signes
Règle 2 :
- Le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif.
- Le quotient de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.
Autrement dit : $\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel :
$$\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b} \quad et \quad \dfrac{a}{-b}=\dfrac{-a}{b}=-\dfrac{a}{b}$$
Exemple 2 :
$$\dfrac{-7}{-8}=\dfrac{7}{8} \quad ; \quad \dfrac{5}{-3}=\dfrac{-5}{3}=-\dfrac{5}{3}$$
Egalité de deux nombres rationnels
Règle 3 : $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels.
- Si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, alors : $a\times d=b\times c.$
- Si $a\times d=b\times c$, alors : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$.
Exemple 3 :
- Montrons que les nombres $\dfrac{8}{9,6}$ et $\dfrac{1,2}{1,44}$ sont égaux.
1ère méthode : Comparons d’abord : $$8\times 1,44 \,\,\,\text{ et }\,\,\, 9,6\times 1,2$$On a : $$8\times 1,44=11,52\,\,\,\text{ et }\,\,\,9,6\times 1,2=11,52$$Donc : $$8\times 1,44=9,6\times 1,2$$D’où : $$\dfrac{8}{9,6}=\dfrac{1,2}{1,44}$$2ème méthode : On a : $$\dfrac{8}{{9,6}} = \dfrac{{80}}{{96}} = \dfrac{{5 \times 16}}{{6 \times 16}} = \dfrac{5}{6}\,\,\,\text{ et }\,\,\,\dfrac{{1,2}}{{1,44}} = \dfrac{{120}}{{144}} = \dfrac{5}{6}$$Donc : $$\dfrac{8}{9,6}=\dfrac{1,2}{1,44}$$
- Montrons que les nombres $\dfrac{15}{4,8}$ et $\dfrac{6}{1,9}$ ne sont pas égaux.
Comparons d’abord : $$15\times 1,9\,\,\,\text{ et }\,\,\, 4,8\times 6$$On a : $$15\times 1,9=28,5\,\,\,\text{ et }\,\,\,4,8\times 6=28,8$$Donc : $$15\times 1,9\neq 4,8\times 6$$D’où : $$\dfrac{15}{4,8}\neq \dfrac{6}{1,9}$$
Réduire au même dénominateur
Règle 4 : Si les dénominateurs ne sont pas les mêmes, on réduit au même dénominateur: on cherche un multiple commun non nul aux dénominateurs.
Exemple 4 :
- $\dfrac{-3}{8}=\dfrac{-3 \times 3}{8 \times 3}=-\dfrac{9}{24}$
- $\dfrac{7}{6}=\dfrac{7 \times 4}{6 \times 4}=\dfrac{28}{24}$
Enoncé 
Calculer : $$A=12\div (10-4)+5\times 14-8$$
Corrigé
$$\begin{aligned}
A & =12\div(10-4)+5 \times 14-8 \\
&=12\div6+5 \times 14-8 \\
&=2+70-8 \\
&=72-8 \\
& =64 .
\end{aligned}$$
Enoncé
- Sans poser d’opération, calculer astucieusement le nombre : $$B=31,5\times 98$$
- Calculer de la manière la plus simple (sans utiliser la calculatrice) : $$C=3,9\times 7 + 3,9\times 3$$
Corrigé
- On remarque que : $98=100-2$, alors : \[\begin{aligned}
B &= 31,5 \times 98\\
B &= 31,5 \times \left( {100 – 2} \right)\\
B &= 31,5 \times 100 – 31,5 \times 2\\
B &= 3150 – 63\\
B &= 3087.
\end{aligned}\]
- On utilise la règle 5, alors : \[\begin{array}{l}
C = 3,9 \times 7 + 3,9 \times 3\\
C = 3,9 \times \left( {7 + 3} \right)\\
C = 3,9 \times 10\\
C = 39.
\end{array}\]
Enoncé
Calculer le nombre $D$ donné par l’expression : $$D=64-(3+12\div 4)\times 8$$
Corrigé
\[\begin{array}{l}
D = 64 – \left( {3 + 12 \div 4} \right) \times 8\\
D = 64 – \left( {3 + 3} \right) \times 8\\
D = 64 – 6 \times 8\\
D = 64 – 42\\
D = 16.
\end{array}\]
Enoncé
Ahmed achète une boîte de rangement en bois à $5,20$DH, pour ranger huit tubes de peinture à $1,30$DH chacun et trois pinceaux à $1,55$DH le pinceau.
Ecrire le montant des achats à l’aide d’une seule expression, puis la calculer.
Corrigé
Soit $M$ le montant des achats, alors on a : \[\begin{aligned}
M = 5,20 + 8 \times 1,30 + 3 \times 1,55\\
M = 5,20 + 10,40 + 4,65\\
M = 15,60 + 4,65\\
M = 15,60 + 4,65\\
M = 20,25.
\end{aligned}\]
Le montant des achats de Ahmed est : $20,65$DH.
Enoncé
Soit $a, b$ et $c$ des nombres entiers tels que :
$$
\left\{\begin{array}{l}
a \times b=6 \\
a \times c=10 \\
b+c=8
\end{array}\right.
$$
Calculer $a$ , $b$ et $c$.
Indication
Utiliser la règle 5 : $$k\times a+k\times b=k\times(a+b).$$
Corrigé
On a : $\left\{\begin{array}{l}
a \times b=6 \\
a \times c=10
\end{array}\right.$, alors : $a \times b+a \times c=6+10$, alors :
$a \times (b+c)=6+10$, or $b+c=8$, alors : $a \times 8=16$, alors :
$a=16\div 8$, d’où : $\boxed{a=2}$
On remplace $a$ par $2$ dans la 1ère égalité, on obtient : $2\times b=6$, alors : $b=6\div 2$, d’où : $\boxed{b=3}$
On remplace $a$ par $2$ dans la 2ème égalité, on obtient : $2\times c=10$, alors : $c=10\div 2$, d’où : $\boxed{c=5}$
I. Calculs sans parenthèses
1. Avec des additions et des soustractions
Règle 1 : Dans un calcul sans parenthèses comportant uniquement des additions et des soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite.
Exemple :
\[\begin{aligned}
A &= 39 – 14 + 5 – 9\\
&= 25 + 5 – 9\\
&= 30 – 9\\
&= 21
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
B &= 7,8 – 5,2 + 3,4\\
&= 2,6 + 3,4\\
&= 6
\end{aligned}\]
2. Avec des multiplication et des divisions
Règle 2 : Dans un calcul sans parenthèses comportant uniquement des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite.
Exemple :
\[\begin{aligned}
C &= 48 \div 8 \times 3 \div 9\\
&= 6 \times 3 \div 9\\
&= 18 \div 9\\
&= 2\\
D &= 5 \times 8 \div 10\\
&= 40 \div 10\\
&= 4
\end{aligned}\]
3. Avec des additions, des soustractions et des multiplication ou des divisions
Règle 3 : Dans un calcul sans parenthèses, on effectue les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.
Exemple :
\[\begin{aligned}
E &= 8 + 5 \times 3 – 10 \div 2\\
&= 8 + 15 – 5\\
&= 23 – 5\\
&= 18
\end{aligned}\]
II. Calculs avec parenthèses
Règle 4 : Dans un calcul
avec parenthèses, on commence d’abord par effectuer les calculs entre parenthèses.
Quand il y a plusieurs niveaux de parenthèses, on commence par effectuer les calculs dans les parenthèses intérieurs.
Exemple :
\[\begin{aligned}
F &= 97 – \left[ {6 \times \left( {4 + 5} \right) – 10} \right]\\
&= 97 – \left[ {6 \times 9 – 10} \right]\\
&= 97 – \left[ {54 – 10} \right]\\
&= 97 – 44\\
&= 53
\end{aligned}\]
III. Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction
Règle 5 : $a$, $b$ et $k$ sont des nombres décimaux.
$$\begin{aligned}
\bullet\quad k\times (a+b)=k\times a+k\times b\\
\bullet\quad k\times (a-b)=k\times a-k\times b\\
\end{aligned}$$
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.
- Produit transforme en somme : $k\times (a+b)=k\times a+k\times b$
- Somme transforme en produit : $k\times a+k\times b=k\times (a+b)$
Exemple :
- Calculons de deux facons l’expression : $E=8\times (17-4)$
1ère méthode : \[\begin{aligned}
E &= 8 \times \left( {17 – 4} \right)\\
&= 8 \times 13\\
&= 104
\end{aligned}\]2ème méthode :\[\begin{aligned}
E &= 8 \times \left( {17 – 4} \right)\\
&= 8 \times 13 – 8 \times 4\\
&= 136 – 32\\
&= 44
\end{aligned}\]
- Soit $a$ un nombre décimal, réduisons l’expression : $F=5\times a+3\times a$
\[\begin{array}{l}
F = 5 \times a + 3 \times a\\
= \left( {5 + 3} \right) \times a\\
= 8 \times a
\end{array}\]
IV. Conventions d’écriture
Règle 6 : On peut supprimer les signe de multiplication :
- Entre deux lettres
- Devant une parenthèse
- Entre un nombre et un lettre.
Exemple :
- $k\times a=ka$
- $6\times y=6y$
- $5\times(4+x)=5(4+x)$
Attention :
- $3 \times 4$ reste $3 \times 4$ et ne s’écrit pas « $34$ »
- $1 \times x$ peut s’écrit $x$.
Enoncé
Sans calculatrice, donner la valeur exacte des nombres suivants :
\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ A = \sqrt {1000000}&\quad\mathbf{2.}\ B = \dfrac{{\sqrt 9 + \sqrt {121} }}{{\sqrt {49} }}\\
\mathbf{3.}\ C = \sqrt {\dfrac{{50}}{{98}}}&\quad\mathbf{4.}\ D = \sqrt {31 + \sqrt {21 + \sqrt {9 + \sqrt {49} } } }\\
\end{array}
Indication
Utiliser les propriétés algébriques des racines carrées.
Corrigé
$\mathbf{1.}\quad A = \sqrt {1000000}=\sqrt{(10^3)^2}=10^3=1000$
$\mathbf{2.}\quad B = \dfrac{{\sqrt 9 + \sqrt {121} }}{{\sqrt {49} }}=\dfrac{{\sqrt{3^2} + \sqrt{11^2} }}{{\sqrt {7^2} }}=\dfrac{3+11}{7}=\dfrac{14}{7}=2$
$\mathbf{3.}\quad C = \sqrt {\dfrac{{50}}{{98}}}=\sqrt{\dfrac{25\times 2}{49\times 2}}=\sqrt{\dfrac{25}{49}}=\sqrt{\left(\dfrac{5}{7}\right)^2}=\dfrac{5}{7}$
$\begin{aligned}
\mathbf{4.}\quad D&=\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{9+\sqrt{49}}}}=\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{9+7}}}=\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{16}}}\\
&=\sqrt{31+\sqrt{21+4}}=\sqrt{31+\sqrt{25}}=\sqrt{31+5}=\sqrt{36}=6
\end{aligned}$
Enoncé
Simplifier et calculer :
\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ A = \sqrt {50} &\quad\mathbf{2.}\ B = \sqrt {363}\\
\mathbf{3.}\ C = 5\sqrt {27} &\quad\mathbf{4.}\ D = \sqrt {24} + 7\sqrt 6 + 2\sqrt {54}\\
\mathbf{5.}\ E = \sqrt 3 \times \sqrt {21} \times \sqrt 7 &\quad\mathbf{6.}\ F = \sqrt {{5^3} \times {7^5} \times 1000}\\
\mathbf{7.}\ G = \sqrt {242} \times \sqrt {128} &\quad\mathbf{8.}\ H = \sqrt 7 \left[ {\sqrt {700} + {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^3}} \right]\\
\mathbf{9.}\ I = \left( {\sqrt {13} – 5} \right)\left( {\sqrt {13} + 5} \right) &\quad\mathbf{10.}\ J = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^2} \\
\mathbf{11.}\ K = {\left( {\sqrt 3 – 1} \right)^4} &\quad\mathbf{12.}\ L = \left( {\sqrt 3 + 5} \right)\left( {2\sqrt 3 + 1} \right)\\
\mathbf{13.}\ M = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 – 3} \right)}^2}} &\quad\mathbf{14.}\ N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 7} \right)}^2}}\ \\
\mathbf{15.}\ O = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } &\quad\mathbf{16.}\ P = \sqrt {8 – 2\sqrt {12} }\\
\end{array}
Indication
Écrire le nombre sous la racine carrée comme le produit d’un carré parfait et d’un autre entier.
Corrigé
$\mathbf{1.}\quad A = \sqrt {50}=\sqrt {25\times 2}=\sqrt {25}\times \sqrt {2}=5\sqrt {2}.$
$\mathbf{2.}\quad B=\sqrt{363}=\sqrt{121\times 3}=\sqrt{121}\times\sqrt{3}=11\sqrt{3}.$
$\mathbf{3.}\quad C = 5\sqrt{27}=5\sqrt{9\times 3}=5\sqrt{9}\times \sqrt{3}=5\times3\sqrt{3}=15\sqrt{3}.$
$\mathbf{4.}\quad D =\sqrt{24}+7\sqrt{6}+2\sqrt{54}=\sqrt{4\times6}+7\sqrt{6}+2\sqrt{9\times6}=2\sqrt{6}+7\sqrt{6}+6\sqrt{6}=15\sqrt{6}.$
$\mathbf{5.}\quad E = \sqrt 3 \times \sqrt {21} \times \sqrt 7 =
\sqrt 3 \times \sqrt {3\times 7} \times \sqrt 7=
\sqrt 3 \times \sqrt {3}\times \sqrt{7} \times \sqrt 7=3\times7=21.$
$\begin{aligned}
\mathbf{6.}\quad F&=\sqrt{{5^3}\times{7^5}\times 1000}=\sqrt{5^2\times(7^2)^2\times10^2\times10\times5}=5\times7^2\times10\sqrt{50}\\
&=2450\sqrt{5^2\times 2}=2450\times5\sqrt{2}=12252\sqrt{2}.\end{aligned}$
$\mathbf{7.}\quad G = \sqrt {242} \times \sqrt {128}=\sqrt{11^2\times2}\times\sqrt{8^2\times 2}=11\sqrt{2}\times8\sqrt{2}=88\sqrt{2}^2=88\times2=176.$
$\begin{aligned}
\mathbf{8.}\quad H &= \sqrt 7 \left[ {\sqrt {700} + {{ {\sqrt 7 } }^3}} \right]=\sqrt 7 \left[ \sqrt {10^2\times7} + { \sqrt{7}^2 \times\sqrt{7} } \right]=
\sqrt 7 \left[ 10\sqrt {7} + { 7 \sqrt{7} } \right]\\
&=10\sqrt{7}^2+7\sqrt{7}^2=10\times 7 + 7\times 7 = 70+49=119.\end{aligned}$
$\mathbf{9.}\quad I = \left( {\sqrt {13} – 5} \right)\left( {\sqrt {13} + 5} \right)=\sqrt{13}^2-5^2=13-25=-12.$
$\mathbf{10.}\quad J = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^2}=\sqrt{5}^2+2\times\sqrt{5}\times2+2^2=5+4\sqrt{5}+4=9+4\sqrt{5}.$
$\begin{aligned}
\mathbf{11.}\quad K&=\left(\sqrt 3 – 1 \right)^4=\left[\left(\sqrt 3 – 1 \right)^2\right]^2=\left[\sqrt{3}^2-2\sqrt{3}+1^2\right]^2=\left[3-2\sqrt{3}+1\right]^2\\
&=\left[4-2\sqrt{3}\right]^2=4^2-2\times4\times2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2=16+16\sqrt{3}
+4\times3=28-16\sqrt{3}.
\end{aligned}$
$\mathbf{12.}\quad L = \left( {\sqrt 3 + 5} \right)\left( {2\sqrt 3 + 1} \right)=2\sqrt{3}^2+\sqrt{3}+10\sqrt{3}+5=2\times3+11\sqrt{3}+5=11+11\sqrt{3}.$
$\mathbf{13.}\quad M = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 – 3} \right)}^2}}=-\left( \sqrt 7 – 3 \right)=3-\sqrt{7}$, car $\left( \sqrt 7 – 3 \right)$ est négatif.
Remarque : Si $a$ est négatif, alors $\sqrt{a^2}=-a$.
$\mathbf{14.}\quad$ On a : $\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 1} \right)}^2}}=\left( {\sqrt 5 – 1} \right)$, car $\left( {\sqrt 5 – 1} \right)$ est positif.
On a : $\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 7} \right)}^2}}=-\left( {\sqrt 5 – 7} \right)$, car $\left( {\sqrt 5 – 7} \right)$ est négatif.
Donc : $N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 7} \right)}^2}}=\left( {\sqrt 5 – 1} \right)-\left( {\sqrt 5 – 7} \right)=6$.
$\mathbf{15.}\quad O = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 }=\sqrt{\sqrt{2}^2+2\sqrt{2}+1^2}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=\sqrt{2}+1$, (car $\sqrt{2}+1>0$).
$\mathbf{16.}\quad P = \sqrt {8 – 2\sqrt {12}}=\sqrt{\sqrt{6}^2-2.\sqrt{6}.\sqrt{2}+\sqrt{2}^2}=\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$, car $(\sqrt{6}>\sqrt{2}).$
Enoncé
Écrire sans « $\sqrt{~~}$ » au dénominateur.
\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ A = \dfrac{3}{{\sqrt 2 – 1}} &\quad\mathbf{2.}\ B = \dfrac{{\sqrt 5 – 3}}{{\sqrt 5 }}\\
\mathbf{3.}\ C = \dfrac{5}{{\sqrt 7 – 2}} – \dfrac{2}{{\sqrt 7 }} &\quad\mathbf{4.}\ D = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{{7 + \sqrt 5 }} – \dfrac{{3 – \sqrt 5 }}{{7 – \sqrt 5 }}\\
\mathbf{5.}\ E = \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 5 – \sqrt 7 }} &\quad\mathbf{6.}\ F = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 }}\\
\end{array}
Indication
Utiliser les propriétés des nombres conjugués.
Corrigé
$\mathbf{1.}\quad A = \dfrac{3}{{\sqrt 2 – 1}} = \dfrac{{3\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} = \dfrac{{3\sqrt 2 + 3}}{{{{\sqrt 2 }^2} – {1^2}}} = \dfrac{{3\sqrt 2 + 3}}{{2 – 1}} =3\sqrt 2 + 3$
$\mathbf{2.}\quad B = \dfrac{{\sqrt 5 – 3}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\left( {\sqrt 5 – 3} \right) \times \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 \times \sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt{5}^2 – 3\sqrt 5 }}{{{{\sqrt 5 }^2}}} =\dfrac{{5 – 3\sqrt 5 }}{5}$
$\begin{aligned}
\mathbf{3.}\quad C &= \dfrac{5}{{\sqrt 7 – 2}} – \dfrac{2}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{5\sqrt 7 – 2\sqrt 7 + 4}}{{\left( {\sqrt 7 – 2} \right)\sqrt 7 }} = \dfrac{{4 + 3\sqrt 7 }}{{7 – 2\sqrt 7 }} = \dfrac{{\left( {4 + 3\sqrt 7 } \right)\left( {7 + 2\sqrt 7 } \right)}}{{\left( {7 – 2\sqrt 7 } \right)\left( {7 + 2\sqrt 7 } \right)}}\\
&= \dfrac{{28 + 8\sqrt 7 + 21\sqrt 7 + 6 \times 7}}{{{7^2} – {{\left( {2\sqrt 7 } \right)}^2}}} =\dfrac{{70 + 29\sqrt 7 }}{{21}}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{4.}\quad D &= \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{{7 + \sqrt 5 }} – \dfrac{{3 – \sqrt 5 }}{{7 – \sqrt 5 }} = \dfrac{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {7 – \sqrt 5 } \right) – \left( {3 – \sqrt 5 } \right)\left( {7 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {7 + \sqrt 5 } \right)\left( {7 – \sqrt 5 } \right)}} \\
&= \dfrac{{\left( {21 – 3\sqrt 5 + 7\sqrt 5 – 5} \right) – \left( {21 + 3\sqrt 5 – 7\sqrt 5 – 5} \right)}}{{{7^2} – {{\sqrt 5 }^2}}} = \dfrac{{8\sqrt 7 }}{44} = \dfrac{4\sqrt 7}{11}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{5.}\quad E &= \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 5 – \sqrt 7 }} = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 7 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5 – \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 7 } \right)}} = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 7 } \right)}}{{{{\sqrt 5 }^2} – {{\sqrt 7 }^2}}}\\
&= \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 7 } \right)}}{{5 – 7}} =\dfrac{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 7 } \right)}}{{ – 2}}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{6.}\quad F &= \dfrac{1}{{1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 }} = \dfrac{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right) – \sqrt 3 }}{{\left[ {\left( {1 + \sqrt 2 } \right) + \sqrt 3 } \right]\left[ {\left( {1 + \sqrt 2 } \right) – \sqrt 3 } \right]}}= \dfrac{{1 + \sqrt 2 – \sqrt 3 }}{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^2} – {{\sqrt 3 }^2}}} \\
&= \dfrac{{1 + \sqrt 2 – \sqrt 3 }}{{{1^2} + 2\sqrt 2 + {{\sqrt 2 }^2} – {{\sqrt 3 }^2}}}
= \dfrac{{1 + \sqrt 2 – \sqrt 3 }}{{1 + 2\sqrt 2 + 2 – 3}} = \dfrac{{1 + \sqrt 2 – \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\\
&= \dfrac{{\left( {1 + \sqrt 2 – \sqrt 3 } \right) \times \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 \times \sqrt 2 }}
=\dfrac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{2\times 2}= \dfrac{{2 +\sqrt 2 – \sqrt 6 }}{4}
\end{aligned}$
Chapitre 3
Racine carrée d’un nombre positif
Définition : Soit $a$ un nombre réel positif.
La racine carrée du nombre $a$ est le nombre dont le carrée est $a$, et se note $\sqrt{a}$.
On écrit : $\sqrt{a}^2=a$
Autrement dit : $a$ et $b$ deux nombres réels positifs.
Si $a=b^2$ signifie que $b=\sqrt{a}$
Résultat : Pour tout nombre réel positif $a$, on a : $\sqrt{a^2}=\sqrt{a}^2=a$
Exemples :
$\bullet\quad \sqrt{0}=0$
$\bullet\quad \sqrt{5}^2=5$
$\bullet\quad \sqrt{3^2}=3$
$\bullet\quad \sqrt{1}=1$
$\bullet\quad \sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4$
$\bullet\quad \sqrt{(-7)^2}=\sqrt{7^2}=7$
$\bullet\quad \sqrt{\dfrac{100}{9}}=\sqrt{\left( \dfrac{10}{3}\right) ^2}=\dfrac{10}{3}$
$\bullet\quad \sqrt{2,12}=\sqrt{1,1^2}=1,1$
Racine carrée et produit
Propriété 1 : $a$ et $b$ deux nombres réels positifs. $$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a}\times \sqrt{b}$$
Résultat : $a$ et $b$ deux nombres réels positifs. $$\sqrt{a^2 \times b} = \sqrt{a^2}\times \sqrt{b}=a\sqrt{b}$$
Exemples :
$\bullet$ $\sqrt{2}\times \sqrt{8}=\sqrt{2 \times 8}=\sqrt{16}=4$
$\bullet$ $\sqrt{80}=\sqrt{16 \times 5}=\sqrt{16}\times \sqrt{5}=\sqrt{4^2}\times \sqrt{5}=4\sqrt{5}$
$\bullet$ $\sqrt{2}\times \sqrt{6}\times \sqrt{8}=\sqrt{2 \times 6 \times 8}=\sqrt{96}=\sqrt{16 \times 6}=\sqrt{4^2 \times 6}=4\sqrt{6}$
Racine carrée et quotient
Propriété 2 : $a$ et $b$ deux nombres réels où $b \neq 0$
$$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$$
Exemple :
$\bullet$ $\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{12}{3}}=\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2$
$\bullet$ $\sqrt{\dfrac{25}{9}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{5^2}}{\sqrt{3^2}}=\dfrac{5}{3}$
$\bullet$ $\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{16 \times 2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{16}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=\sqrt{4}$
Rendre rationnel le dénominateur d’un nombre réel
Propriété 3 : $a$ et $b$ deux nombres réels où $b \neq 0$.
$$\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b}^2}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}$$
Exemples : Écrire sans utiliser la racine ($\sqrt{~~}$) au dénominateur.
$\bullet$ $\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}^2}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
$\bullet$ $\dfrac{\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{5\sqrt{2}^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{10}$
Propriété 4 : $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls.
$$\begin{equation*}
\dfrac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{a\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}=\dfrac{a\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2}=\dfrac{a\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}{a-b}
\end{equation*}$$
Exemples : Écrire sans utiliser la racine ($\sqrt{~~}$) au dénominateur.
$\bullet$ $\dfrac{2}{1-\sqrt{5}}=\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}=\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{1^2-\sqrt{5}^2}=\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{1-5}=\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{-4}$
$\bullet$ Les nombres $1+\sqrt{5}$ et $1-\sqrt{5}$ sont dits conjuguées.
L’équation $x^2=a$
Propriété 5 : Soit $a$ un nombre réel donnée.
$\bullet$ Si $a=0$, alors l’équation $x^2=a$ a une seule solution : $0$
$\bullet$ Si $a>0$, alors l’équation $x^2=a$ a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$
$\bullet$ Si $a<0$, alors l’équation $x^2=a$ n’a pas de solution.
Exemples :
$\bullet$ L’équation $x^2=3$, a deux solutions : $\sqrt{3}$ et $-\sqrt{3}$
$\bullet$ L’équation $x^2=16$, a deux solutions : $4$ et $-4$
$\bullet$ L’équation $x^2=0$, a une seule solution : $0$.
$\bullet$ L’équation $x^2=-25$, n’a pas de solution car $-25<0$.
Enoncé
Calculer : $$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \,\,{\left( { – 1} \right)^{2024}} + {\left( { – 1} \right)^{2025}} &\quad\mathbf{2.}\ \,\,{\left( {\dfrac{{ – 5}}{2}} \right)^{ – 3}}\\
\mathbf{3.}\ \,\,{\left( { – 10} \right)^{ – 2}} & \quad\mathbf{4.}\ \,\,{4^{ – 1}} \\
\mathbf{5.}\ \,\,{\left( { – 2024} \right)^0} &\quad\mathbf{6.}\ \,\,{\left( { – 2} \right)^3}\end{array}$$
Indication
Utiliser les propriétés algébriques des puissances.
Corrigé
$\bullet~~{\left( { – 1} \right)^{2024}} + {\left( { – 1} \right)^{2025}}=1-1={0}$
$\bullet~~ {\left( {\dfrac{{ – 5}}{2}} \right)^{ – 3}}={\left( {\dfrac{{ – 2}}{5}} \right)^{ 3}}=\dfrac{-2}{5}\times \dfrac{-2}{5}\times \dfrac{-2}{5}={\dfrac{-8}{125}}$
$\bullet~~ {\left( { – 10} \right)^{ – 2}}=10^{-2}={0,01}$
$\bullet~~ {4^{ – 1}}=\dfrac{1}{4}={0,25}$
$\bullet~~ {\left( { – 2024} \right)^0}={1}$
$\bullet~~ {\left( { – 2} \right)^3}=(-2)\times(-2)\times(-2)={-8}$
Enoncé
Simplifier les expressions suivantes avec $a \neq 0$, $b \neq 0$, $c \neq 0$.
$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \,\, {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{ -7}} \times {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{10}} &\quad\mathbf{2.}\ \,\, {2^7} \times {10^{ -17}} \times {5^7} \\
\mathbf{3.}\ \,\, {\left( {{a^4}} \right)^{ -2}} \times {\left( {{a^{ -3}}} \right)^{ -7}} & \quad\mathbf{4.}\ \,\, {a^5} \times {a^{13}} \times {a^{ – 7}} \\
\mathbf{5.}\ \,\, {\left( {{a^{ -3}} \times {b^2} \times {c^{ -5}}} \right)^3}{\left( {{{\left( {{a^4}} \right)}^{ -2}} \times {b^{ -3}}} \right)^{ -3}} &\quad\mathbf{6.}\ \,\, \dfrac{{{a^4}{b^{ -2}}a{b^{ -5}}}}{{{a^{ -3}}{b^2}{a^5}b}}\\
\mathbf{7.}\ \,\, \dfrac{{{8^5}}}{{{{100000}^3}}} &\quad
\end{array}$$
Indication
Utiliser les propriétés algébriques des puissance.
Corrigé
$\bullet$ $\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{ -7}\times {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{10}}=
\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{7}\times {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{10}}
=\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{7+10}={\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{17}} $
$\begin{aligned}\bullet~ {2^7} \times {10^{ -17}} \times {5^7}&=2^7\times (2\times 5)^{-17} \times 5^7\\
&=2^7\times 2^{-17}\times 5^{-17} \times 5^7\\
&=2^{-10}\times 5^{-10}=(2\times 5)^{-10}={10^{-10}}
\end{aligned}$
$\bullet$ ${\left( {{a^4}} \right)^{ -2}} \times {\left( {{a^{ -3}}} \right)^{ -7}}=a^{-8}\times a^{21}=a^{-8+21}={a^{13}}$
$\bullet$ ${a^5} \times {a^{13}} \times {a^{ -7}}=a^{5+13-7}={a^{11}}$
$\begin{aligned}
\bullet~ {\left( {{a^{ -3}} \times {b^2} \times {c^{ -5}}} \right)^3}{\left( {{{\left( {{a^4}} \right)}^{ -2}} \times {b^{ -3}}} \right)^{ -3}}&=a^{-9}\times b^6\times c^{-15} \times a^{24} \times b^9\\
&=a^{15}\times b^{15}\times \dfrac{1}{c^{15}}={\left(\dfrac{ab}{c}\right)^{15}}
\end{aligned}$
$\bullet$ $\dfrac{{{a^4}{b^{ -2}}a{b^{ -5}}}}{{{a^{ -3}}{b^2}{a^5}b}}=\dfrac{a^4\times a^1 \times b^{-2} \times b^{-5}}{a^{-3}\times a^5\times b^2 \times b}=\dfrac{a^5 \times b^{-7}}{a^2 \times b^3}=a^{5-2}\times b^{-7-3}={a^3b^{-10}}$
$\bullet$ $\dfrac{{{8^5}}}{{{{100000}^3}}}=\dfrac{(2^3)^5}{(10^5)^3}=\dfrac{2^{15}}{10^{15}}=\left(\dfrac{2}{10}\right)^{15}={\left(\dfrac{1}{5}\right)^{15}=5^{-15}}$
Enoncé
Donner l’écriture scientifique des nombres suivants.
$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \,\, A = 780000000 &\quad\mathbf{2.}\ \,\, B = 341000000 \\
\mathbf{3.}\ \,\, C = 2015 & \quad\mathbf{4.}\ \,\, D = 0,0000005 \\
\mathbf{5.}\ \,\, E = 0,00831 &\quad\mathbf{6.}\ \,\, F = 20000 \times 1000000\\
\mathbf{7.}\ \,\, G = 3000000 \times 600000000000 &\quad\mathbf{8.}\ \,\, H = 0,0000000013 \times 20000\\
\mathbf{9.}\ \,\, K = \dfrac{{{{500}^2}}}{{0,00002}} &
\end{array}$$
Indication
Ecrire sous la forme : $a\times 10^n$ avec $1\leq a < 10$ et $n$ un entier.
Corrigé
$\bullet$ $A = 780000000={7,8\times 10^{8}}$
$\bullet$ $B = 341000000={3,41\times 10^{8}}$
$\bullet$ $C = 2015={2,015\times 10^{3}}$
$\bullet$ $D = 0,0000005 = {5 \times 10^{-7}}$
$\bullet$ $E = 0,00831 = {8,31 \times 10^{-3}}$
$\bullet$ $F = 20000 \times 1000000 = 2\times 10^4 \times 10^6={2\times 10^{10}}$
$\begin{aligned}
\bullet~~ G = 3000000 \times 600000000000 &= 3\times 10^6 \times 6 \times 10^{11} \\
&=18\times 10^{17}\\
&={1,8 \times 10^{18}}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\bullet~~ H = 0,0000000013 \times 20000 &= 1,3 \times 10^{-9} \times 2 \times 10^4\\
& ={ 2,6 \times 10^{-5}}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\bullet~~ K = \dfrac{{{{500}^2}}}{{0,00002}} =
\dfrac{250000}{2\times 10^{-5}}&=\dfrac{2,5\times 10^{5}}{2\times 10^{-5}}\\
& = {1,25 \times 10^{10}}
\end{aligned}$
Chapitre 2
Puissance d’un nombre réel
Définition : Soit $a$ un nombre réel non nul, $n$ un nombre entier supérieur à $1$.
$$
a^{n}=\underbrace{a \times a \times \ldots \ldots \times a}_{n \text { facteurs }}$$
$\bullet$ Si $n=1$, alors $a^1=a$
$\bullet$ Si $n=0$ et $a \neq 0$ alors $a^0=1$
$\bullet$ Si $n\neq 0$ et $a = 0$ alors $0^n=0$
$\bullet$ Si $a\neq 0$ et $n$ un nombre entier, alors $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$,
donc on a : $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$, avec $\left( \dfrac{a}{b}\neq 0 \right)$
Remarque :
$\bullet$ $a$ est la base de la puissance $a^n$.
$\bullet$ $n$ est l’exposant de la puissance $a^n$.
$\bullet$ $0^0$ n’existe pas.
$\bullet$ $a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$.
Exemples :
$\bullet$ $(-3)^4=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)=9 \times 9 = 81$
$\bullet$ $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2\times 2\times 2}{3\times 3\times 3}=\dfrac{8}{27}$
$\bullet$ $2019^0=1$
$\bullet$ $523^1=523$
$\bullet$ $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{2\times 2\times 2}=\dfrac{1}{8}$
$\bullet$ $\left(\dfrac{5}{2}\right)^{-2}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}=\dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{25}$
Le signe d’une puissance
Propriété : Soit $a$ un nombre réel, $n$ un nombre entier non nul.
- Si $n$ est paire, alors $a^n$ est toujours positif quel que soit le signe de $a$.
- Si $n$ est impaire, alors :
- Si $a$ est positif, alors $a^n$ est positif.
- Si $a$ est négatif, alors $a^n$ est négatif.
Exemples :
$\bullet$ La puissance $\left( -12 \right)^{17}$ est négatif, car l’exposant est impaire et la base est négatif.
$\bullet$ La puissance $\left( -3 \right)^{48}$ est positif, car l’exposant est paire.
Opérations sur les puissances
Propriétés : $a$, $b$ deux nombres réels non nuls, $n$ et $m$ deux entiers naturels.
- Produit de deux puissances de même base : $a^n \times a^m = a^{n+m}$
- Produit de deux puissances de même exposant : $a^n \times b^n = (a \times b )^{n}$
- Quotient de deux puissances de même base : $\dfrac{a^n}{a^m}= a^{n-m}$
- Quotient de deux puissances de même exposant : $\dfrac{a^n}{b^n}= \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$
- Puissance d’une puissance : $\left( a^n\right)^m=a^{n\times m}$
Exemples :
- $(-3)^9 \times (-3)^5= (-3)^{9+5}=(-3)^{14}$
- $2^{7} \times 5^{7}= (2 \times 5)^{7}=10^{7}$
- $\dfrac{1,3^8}{1,3^3}=1,3^{8-3}=1,3^5$
- $\dfrac{21^{13}}{7^{13}}=\left(\dfrac{21}{7}\right)^{13}=3^{13}$
- $\left(2^3\right)^4=2^{3 \times 4} =2^{12}$
Puissances de 10
Propriétés : Soit $n$ un nombre entier naturel.
- ${10^n} = 1\underbrace {00………0}_{n\,\,\text{zéros}}$
- ${10^{-n}} = \underbrace {0,00………0}_{n\,\,\text{zéros}}1$
- $10^0=1$ ; $10^1=10$ ; $10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}$
Exemples :
- $1000000000=10^9$
- $10^5=100000$
- $0,000001=10^{-6}$
- $10^{-4}=0,0001$
- $10^8 \times 10^3=10^{8+3}=10^{11}$
- $\dfrac{10^6}{10^2}=10^{6-2}=10^4$
- $(10^5)^7=10^{5\times 7}=10^{35}$
Écriture scientifique
Définition : Soit $x$ un nombre décimal, $n$ un nombre entier relatif.
L’écriture scientifique de $x$ est :
$$x=a \times 10^{n} \quad\text{ou}\quad x=- a \times 10^{n}$$
Avec $1 \leq a < 10$.
Exemples :
- $649,2=6,492 \times 10^2$
- $-0,0000327=-3,27\times 10^{-5}$
- $32000000=3,2\times 10^{-7}$
- $569,4 \times 10^{13}=5,694 \times 10^2 \times 10^{13}=5,694\times 10^{15}$
Enoncé
Développer et réduire les expressions suivantes :
- $A = 2\left( {x + 5} \right)$
- $B = \left( {5-x} \right)\left( {7 + x} \right)$
- $C = \dfrac{2}{3}\left( {5 + 7x} \right)-\dfrac{1}{2}\left( {- x + 1} \right)$
- $D = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2}- 3x + 5} \right)$
Corrigé
$\begin{aligned}
\mathbf{1.}\quad A &=2(x+5) =2 x+10\\
\mathbf{2.}\quad B &= \left( {5- x} \right)\left( {7 + x} \right)= 35 + 5x- 7x- {x^2}={- {x^2}- 2x + 35}\\
\mathbf{3.}\quad C &= \frac{2}{3}\left( {5 + 7x} \right)- \frac{1}{2}\left( {- x + 1} \right)\\
&= \frac{{10}}{3} + \frac{{14}}{3}x + \frac{1}{2}x- \frac{1}{2}\\
&= \left( {\frac{{14}}{3} + \frac{1}{2}} \right)x + \left( {\frac{{10}}{3}- \frac{1}{2}} \right)\\
&= \left( {\frac{{28}}{6} + \frac{3}{6}} \right)x + \left( {\frac{{20}}{6}- \frac{3}{6}} \right)\\
&={ \frac{{31}}{6}x + \frac{{17}}{6}}\\
\mathbf{3.}\quad D &= \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2}- 3x + 5} \right)\\
&= {x^3}- 3{x^2} + 5x + 3{x^2}- 9x + 15\\
&={ {x^3}- 4x + 15}
\end{aligned}$
Enoncé
Développer et réduire les expressions suivantes :
- $A = {\left( {x + 3} \right)^2}$
- $B = {\left( {3x- 1} \right)^2}$
- $C = 5{\left( {1- x} \right)^2}$
- $D = \left( {3x + 7} \right)\left( {3x- 7} \right) + 4{\left( {x- \frac{1}{2}} \right)^2}$
Corrigé
$\begin{aligned}
\mathbf{1.}\quad A &= {\left( {x + 3} \right)^2}= {x^2} + 2 \times x \times 3 + {3^2}={ {x^2} + 6x + 9}\\
\mathbf{2.}\quad B &= {\left( {3x-1} \right)^2}= {\left( {3x} \right)^2}-2 \times 3x \times 1 + {1^2}={ 9{x^2}-6x + 1}\\
\mathbf{3.}\quad C &= 5{\left( {1-x} \right)^2}= 5\left( {{1^2}-2 \times 1 \times x + {x^2}} \right)= 5\left( {1-2x + {x^2}} \right)={ 5-10x + 5{x^2}}\\
\mathbf{4.}\quad D &= \left( {3x + 7} \right)\left( {3x-7} \right) + 4{\left( {x-\frac{1}{2}} \right)^2}\\
&= {\left( {3x} \right)^2}-{7^2} + 4\left( {{x^2}-2 \times x \times \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^2} \right)\\
&= 9{x^2}-49 + 4\left( {{x^2}-x + \frac{1}{4}} \right)\\
&= 9{x^2}-49 + 4{x^2}-4x + 1\\
&={ 13{x^2}-4x-48}
\end{aligned}$
Enoncé
Factoriser les expressions suivantes :
- $A = ab + 5b$
- $B = 12x + 18$
- $C = 5x-{x^2}$
- $D = x + 5{x^2} + 11{x^3}$
- $E = 5\left( {x + 1} \right) + {\left( {x + 1} \right)^2}$
- $F = \left( {x-3} \right)\left( {x + 7} \right)-\left( {5-x} \right)\left( {x-3} \right)$
Corrigé
$\begin{aligned}
\mathbf{1.}\quad A &= ab + 5b={ b\left( {a + 5} \right)}\\
\mathbf{2.}\quad B &= 12x + 18={ 6\left( {2x + 3} \right)}\\
\mathbf{3.}\quad C &= 5x-{x^2}={ x\left( {5-x} \right)}\\
\mathbf{4.}\quad D &= x + 5{x^2} + 11{x^3}={ x\left( {1 + 5x + 11{x^2}} \right)}\\
\mathbf{5.}\quad E &= 5\left( {x + 1} \right) + {\left( {x + 1} \right)^2}\\
&= \left( {x + 1} \right)\left( {5 + \left( {x + 1} \right)} \right)\\
&= \left( {x + 1} \right)\left( {5 + x + 1} \right)\\
&={ \left( {x + 1} \right)\left( {x + 6} \right)}\\
\mathbf{6.}\quad F &= \left( {x-3} \right)\left( {x + 7} \right)-\left( {5-x} \right)\left( {x-3} \right)\\
&= \left( {x-3} \right)\left[ {\left( {x + 7} \right)-\left( {5-x} \right)} \right]\\
&= \left( {x-3} \right)\left( {x + 7-5 + x} \right)\\
&={ \left( {x-3} \right)\left( {2x+2} \right)}={ 2\left( {x-3} \right)\left( {x+1} \right)}
\end{aligned}$
Enoncé
Factoriser les expressions suivantes :
- $A = {x^2}-49 + x\left( {x-7} \right)$
- $B = {x^2} + 4x + 4$
- $C= {x^2}-\dfrac{9}{{121}}$
- $D = {\left( {2x-3} \right)^2}-{\left( {x + 1} \right)^2}$
- $E = \dfrac{{{x^2}}}{8}-8$
- $F =-7{x^2} + 14x-7$
- $G = {x^{12}}-1 + 5\left( {{x^6}-1} \right)$
- $H = x^2-x-6$
Corrigé
$\begin{aligned}
\mathbf{1.}\quad A &= {x^2}-49 + x\left( {x-7} \right)\\
&= \left( {{x^2}-{7^2}} \right) + x\left( {x-7} \right)\\
&= \left( {x-7} \right)\left( {x + 7} \right) + x\left( {x-7} \right)\\
&= \left( {x-7} \right)\left[ {\left( {x + 7} \right) + x} \right]\\
&={ \left( {x-7} \right)\left( {2x + 7} \right)}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{2.}\quad B &= {x^2} + 4x + 4\\
&= {x^2} + 2 \times x \times 2 + {2^2}\\
&={ {\left( {x + 2} \right)^2}}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{3.}\quad C &= {x^2}-\frac{9}{{121}}\\
&= {x^2}-{\left( {\frac{3}{{11}}} \right)^2}\\
&={ \left( {x-\frac{3}{{11}}} \right)\left( {x + \frac{3}{{11}}} \right)}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{4.}\quad D &= {\left( {2x-3} \right)^2}-{\left( {x + 1} \right)^2}\\
&= \left[ {\left( {2x-3} \right)-\left( {x + 1} \right)} \right]\left[ {\left( {2x-3} \right) + \left( {x + 1} \right)} \right]\\
&= \left( {2x-3-x-1} \right)\left( {2x-3 + x + 1} \right)\\
&= {\left( {x-4} \right)\left( {3x-2} \right)}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{5.}\quad E &= \frac{{{x^2}}}{8}-8\\
&= \frac{1}{8}\left( {{x^2}-{8^2}} \right)\\
&= {\frac{1}{8}\left( {x-8} \right)\left( {x + 8} \right)}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{6.}\quad F &=-7{x^2} + 14x-7\\
&=-7\left( {{x^2}-2x + 1} \right)\\
&= {-7{\left( {x-1} \right)^2}}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{7.}\quad G &= {x^{12}}-1 + 5\left( {{x^6}-1} \right)\\
&= {\left( {{x^6}} \right)^2}-1^2 + 5\left( {{x^6}-1} \right)\\
&= \left( {{x^6}-1} \right)\left( {{x^6} + 1} \right) + 5\left( {{x^6}-1} \right)\\
&= \left( {{x^6}-1} \right)\left( {{x^6} + 1 + 5} \right)\\
&= {\left( {{x^6}-1} \right)\left( {{x^6} + 6} \right)}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\mathbf{8.}\quad H &= {x^2}-x-6\\
&= \left( {{x^2}-4} \right)-\left( {x + 2} \right)\\
&= \left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)-\left( {x + 2} \right)\\
&= \left( {x + 2} \right)\left( {x-2-1} \right)\\
&= {\left( {x + 2} \right)\left( {x-3} \right)}
\end{aligned}$
Enoncé
On considère l’expression suivante:
$$P=(x-1)^2-(x-1)(3x-4)$$
- Développer et réduire $P$.
- Factoriser $P$.
- Calculer $P$ pour $x=1$ puis pour $x=\dfrac{1}{3}$.
- Résoudre l’équations $P=0$.
Corrigé
- Développons et réduisons $P$.
$$\begin{aligned}
P &= {(x-1)^2}-(x-1)(3x-4)\\
&= \left[ {{x^2}-2 \times x \times 1 + {1^2}} \right]-\left[ {3{x^2}-4x-3x + 4} \right]\\
&= {x^2}-2x + 1-3{x^2} + 4x + 3x-4\\
&={-2{x^2} + 5x-3}
\end{aligned}$$
- Factoriser $P$.
$$\begin{aligned}
P &= {(x-1)^2}-(x-1)(3x-4)\\
&= \left( {x-1} \right)\left[ {\left( {x-1} \right)-\left( {3x-4} \right)} \right]\\
&= \left( {x-1} \right)\left[ {x-1-3x + 4} \right]\\
&={ \left( {x-1} \right)\left( {-2x + 3} \right)}
\end{aligned}$$
- Calculons $P$ pour $x=1$ puis pour $x=\dfrac{1}{3}$.Pour $x=1$, on choisit l’expression $P= \left( {x-1} \right)\left( {-2x + 3} \right)$, on a : $$P= \left( {1-1} \right)\left( {-2\times 1 + 3}\right)=0 \times 1 ={0}$$Pour $x=\dfrac{1}{3}$, on choisit l’expression $P=-2{x^2} + 5x-3$, on a : $$P=-2{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}+5\times \dfrac{1}{3}-3 = \dfrac{-2}{9}+\dfrac{5}{3}-3 =\dfrac{-2}{9}+\dfrac{15}{9}-\dfrac{27}{9}={\dfrac{-14}{9}}$$
- On a $P=0$, alors $(x-1)^2-(x-1)(3x-4)=0$, donc $\left( {x-1} \right)\left( {-2x + 3} \right)=0$, alors $x-1=0$ ou $-2x+3=0$, alors $x=1$ ou $x=\dfrac{3}{2}$.D’où l’équation admet deux solutions sont : $1$ et $\dfrac{3}{2}$.
Enoncé
On considère les expressions suivantes:
$$A=2x^2-13x-7 \quad\text{ et }\quad B=(2x-5)^2-36$$
- Factoriser $B$.
- Montrer que $B-2A=3(2x+1)$.
- En déduire la factorisation de $A$.
Indication
- Utiliser l’identité remarquable $a^2-b^2$.
- Utiliser l’identité remarquable $(a-b)^2$ et effectuer un développement simple.
- Chercher un facteur commun.
Corrigé
- On a :
$$\begin{aligned}
B&= (2x-5)^2-36\\
&= (2x-5)^2-6^2\\
&= (2x-5-6)(2x-5+6)\\
&= (2x-11)(2x+1).
\end{aligned}$$
- On a :
$$\begin{aligned}
B -2A &= {\left( {2x -5} \right)^2} -36 -2\left( {2{x^2} -13x -7} \right)\\
&= {\left( {2x} \right)^2} -2 \times 2x \times 5 + {5^2} -36 -4{x^2} + 26x + 14\\
&= 4{x^2} -20x + 25 -36 -4{x^2} + 26x + 14\\
&= 6x + 3\\
&= 3\left( {2x + 1} \right)
\end{aligned}$$
- On a :
\[B -2A = 3\left( {2x + 1} \right)\]
Alors :
\[\begin{aligned}
2A &= B + 3\left( {2x + 1} \right)\\
2A &= \left( {{{2x -11}}} \right)\left( {{{2x + 1}}} \right) + 3\left( {2x + 1} \right)\\
2A &= \left( {{{2x + 1}}} \right)\left( {2x -11 + 3} \right)\\
2A &= \left( {{{2x + 1}}} \right)\left( {2x -8} \right)\\
2A &= 2\left( {{{2x + 1}}} \right)\left( {x -4} \right)
\end{aligned}\]
D’où : $$A= \left( {{{2x + 1}}} \right)\left( {x -4} \right).$$
Chapitre 1
Réduire une expression algébrique
Définition : Réduire une expression algébrique, c’est l’écrire avec le minimum possible d’opérations.
Exemple :
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A &= {2x}+{y}+{5}-{6x}-{9}+{7y}\\
&= {2x-6x}+{y+7y}+{5-9}\\
&= {-4x}+{8y}-{4}\\
\bullet\quad B &= {9x^2}+{x}+{x^2}+{5x}\\
&= {9x^2+x^2}+{x+5x}\\
&= {10x^2}+{6x}
\end{aligned}$$
Développement
Définition : Développer c’est transformer un produit en une somme algébrique.
Propriété : $a$, $b$ et $k$ trois nombres réels:
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad {k} \times (a+b) ={k} \times a+{k} \times b\\
&\bullet\quad {k} \times (a-b) = {k} \times a-{k} \times b
\end{aligned}$$
Exemple :
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A & = 6 \times (a+2) \\
&= 6 \times a+6\times 2\\
&= 6a+12\\
\bullet\quad B & ={7} \times (b-3) \\
& = 7\times b-7\times 3\\
&= 7b-21
\end{aligned}$$
Propriété : (Double développement) $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels:
$$(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$$
Exemple :
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A&= (5+a)(a+3)\\
&= 5 \times a +5\times 3+ a \times a + a \times 3\\
&= 5a+15+a^2+3a\\
&= a^2+5a+3a+15\\
&= a^2+8a+15\\
\bullet\quad B&=(2a-3)(a-4) \\
&= 2a \times a-2a\times 4- 3 \times a+ 3 \times 4\\
&= 2a^2-8a-3a+12\\
&= 2a^2-11a+12
\end{aligned}$$
Développement et identités remarquables
Propriété : $a$ et $b$ deux nombres réels.
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\\
&\bullet\quad (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\\
&\bullet\quad (a-b)(a+b) = a^2-b^2
\end{aligned}$$
Exemple : Développer et réduire les expressions suivantes.
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A&= (3a+2)^2 \\
&= (3a)^2+2\times 3a\times 2+2^2\\
&= 9a^2+12a+4\\
\bullet\quad B&=(5a- 4)^2 \\
&= (5a)^2-2\times 5a\times 4+4^2\\
&= 25a^2- 40a+16\\
\bullet\quad C&=(7a-2)(7a+2) \\
&= (7a)^2- 2^2\\
&= 49a^2-4
\end{aligned}$$
Factorisation
Définition : Factoriser c’est transformer une somme algébrique en un produit.
Propriété : $a$, $b$ et $k$ trois nombres réels:
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad {k} \times a+ {k} \times b = {k} \times (a+b)\\
&\bullet\quad {k} \times a- {k} \times b = {k} \times (a-b)
\end{aligned}$$
Exemple :
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A &= 5 a+ 20 \\
&= {5} \times a+ {5} \times 4\\
&= {5} \times (a+4)\\
\bullet\quad B &= 16a^2+ 12a \\
&= {4a} \times 4a+{4a} \times 3\\
&= {4a} \times (4a+3)
\end{aligned}$$
Factorisation et identités remarquables
Propriété : $a$ et $b$ deux nombres réels.
$$\begin{aligned}
&\bullet~~& a^2+ 2ab+b^2 = (a+ b)^2\\
&\bullet~~& a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\\
&\bullet~~& a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
\end{aligned}$$
Exemple : Factoriser les expressions suivantes.
$$\begin{aligned}
\bullet\quad A & = 4x^2+12x+9\\
& = (2x)^2+2\times 2x \times 3 +3^2\\
& = (2x+3)^2\\
\bullet\quad B & = 49x^2-28x+4\\
& = (7x)^2-2\times 7x \times 2+2^2\\
& = (7x-2)^2\\
\bullet\quad C & = 16-25x^2\\
& = 4^2- (5x)^2\\
& = (4-5x)(4+5x)
\end{aligned}$$
