1. Si $a$ et $b$ sont pairs, alors $a+b$ est pair.
2. Si $a$ et $b$ sont impairs, alors $a+b$ est pair.
3. Si $a$ est pair et $b$ est impair, alors $a+b$ est impair.
4. Si $a$ et $b$ sont pairs, alors $ab$ est pair.
5. Si $a$ et $b$ sont impairs, alors $ab$ est impair.
6. Si $a$ est pair et $b$ est impair, alors $ab$ est pair.
7. Si $a$ et $b$ sont deux nombres consécutifs, alors l’un est pair et l’autre est impair.

1. Démontrez que si $a$ est pair, alors $a^2$ est pair.
2. Démontrez que si $a$ est impair, alors $a^2$ est impair.
3. En déduisez que si $a^2$ est pair, alors $a$ est pair, et si $a^2$ est impair, alors $a$ est impair.
4. Démontrez que $\sqrt{2}\not\in \mathbb{Q}$.

1. Démontrez que $a^2-1$ est un multiple de $8$.
2. En déduisez que $a^4-1$ est un multiple de $16$.
3. Démontrez que si $m$ et $n$ sont des nombres impairs, alors $8$ divise $m^2+n^2+6$.

1. Développez et simplifiez $(x+1)^2-x^2$.
2. En déduisez que tout nombre impair est une différence de deux carrés parfaits.
3. Écrivez le nombre $2005$ comme différence de deux carrés parfaits.
4. On considère le nombre $a=n^2+n+7$ où $n\in \mathbb{N}$.
   1. Démontrez que le nombre $a$ est impair.
   2. En déduisez que le nombre $a$ est une différence de deux carrés parfaits.

1. Démontrez que $m+n$ et $m-n$ ont la même parité.
2. Déterminez les entiers naturels $x$ et $y$ qui satisfont $x^2-y^2=12$.

1. Démontrez que : $a=3n^2+15n+7$ est un nombre impair.
2. Démontrez que : $b=5n^2-7n+4$ est un nombre pair.
3. Démontrez que : $c=n^4-n^2+16$ est un multiple de $4$.

1. $a=214$ et $b=816$
2. $a=7371$ et $b=4095$
3. $a=1959$ et $b=1963$

1. Déterminez le nombre $a$ pour que le nombre $\overline {4a3a}$ soit divisible par $9$.
2. Déterminez les nombres $a$ et $b$ pour que le nombre $\overline{65ab}$ soit divisible par $3$ et $4$.

1. Démontrez que si $d$ divise $a$ et $b$, alors $d$ divise $ax+by$ pour tout $x$ et $y$ de $\mathbb{N}$.
2. Démontrez que si $d$ divise $ab$ et $a+b$, alors $d$ divise $a^2$.
3. Déterminez $\left( {{n^2} + n + 1} \right) \wedge \left( {n + 1} \right)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
4. Déterminez $\left( {{2^{n + 1}} – 1} \right) \wedge \left( {{2^n} – 1} \right)$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$.

1. $119$
2. $503$
3. $1559$
4. $2523$
5. $341$
6. $2027$

1. Démontrez que $n^3-n=(n+2)(n^2-2n+3)-6$.
2. En déduisez les valeurs de $n$ pour que $\dfrac{n^3-n}{n+2}$ soit un entier naturel.

1. Montrer que $\left(\forall(a, b) \in \mathbb{Z}^{2}\right): \,\,\, a \wedge b=1 \Rightarrow a \wedge b(a+b)=1.$
2. Soient $x, y \in \mathbb{N}^{*}$ tels que : $x(43-x)=y(x+y)$. On pose $x \wedge y=d, x=d x^{\prime}, y=dy^{\prime}.$
   1. Montrer que $x^{\prime} \mid d$.
   2. On pose $\alpha=\dfrac{d}{x^{\prime}}$. Montrer que $\alpha\left(x^{\prime 2}+{x^{\prime}} y^{\prime}+y^{\prime 2}\right)=43$ et en déduire que $\alpha=1.$
3. Résoudre dans $\mathbb{Z}^{* 2}$ l’équation $x(43-x)=y(x+y).$

1. Montrer que $d\mid 108$.
2. Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles on a :
   1. $2$ ne divise pas $d$
   2. $3$ ne divise pas $d.$
3. Soit $k=2+6m$.
   1. Montrer que $d=1.$
   2. Résoudre dans $\mathbb{Z}^{2}$ l’équation $A x-B y=108.$

1. Montrer que : $A_{n} \wedge B_{n}=(n+1) \wedge 7$.
2. Déterminer suivant les valeurs de $n A_{n} \wedge B_{n}$.
3. Montrer que : $C_{n} \wedge B_{n}=B_{n} \wedge 6$.
4. Déterminer suivant les valeurs de $n C_{n} \wedge B_{n}$.

1. Soient $a, b \in \mathbb{N}$. Montrer que : $a \wedge b=1 \Rightarrow(a+2 b) \wedge(3 a+5 b)=1$.
2. Résoudre dans $\mathbb{N}^{2}$ le système $\left\{\begin{array}{l}(a+2 b)(3 a+5 b)=127 b \\ a b=2(a \vee b)\end{array}\right.$

1. Montrer que $a \wedge(b \vee a)=a$ et $a \vee(b \wedge a)=a$.
2. Montrer que si $a \wedge b=1$ alors $a \wedge(b c)=a \wedge c$ et $a \vee(b c)=b(a \vee c)$.
3. Montrer que $\left(a^{2}+b^{2}\right) \wedge(a b)=(a \wedge b)^{2}$.
4. Montrer que $a \wedge b=(a+b) \wedge(a \vee b)$.

1. Montrer que : $(a \equiv b[n]$ et $d\mid n) \Rightarrow a \equiv b[d]$
2. Montrer que : $(a \equiv b[n]$ et $a \equiv b[m]) \Leftrightarrow a \equiv b[m \vee n]$
3. En déduire que si $a \equiv a^{5}[5]$ alors $a$ et $a^{5}$ ont la même unité dans leur écriture en base $10$.

1. On suppose qu’il existe un entier naturel $m$ tel que $(n-1)!+1=n^{m}$
   1. Montrer que $n$ est un impaire.
   2. Montrer que $(n-1)^{2} /(n-1)!$.
   3. Montrer que $(n-1) \mid m$.
   4. En déduire que $n^{m}>(n-1)!+1$.
2. Montrer qu’il n’existe pas d’entiers naturels tel que : $(n-1)!+1=n^{m}$.

1. Montrer que si $M_{n}$ est premier alors $n$ est aussi premier.
2. Soient $p, q \in \mathbb{N}^{*}-\{1\}$ tels que : $p \wedge q=1$
   1. Montrer que: $\left(\exists(x, y) \in \mathbb{N}^{2}\right): p x-q y=1$
   2. Montrer que : $\left(2^{p x}-1\right)-2\left(2^{p y}-1\right)=1$
   3. En déduire que : $M_{p} \wedge M_{q}=1$

1. Montrer que $x$ est impaire.
2. Montrer que $x^{2} \equiv 1[8]$.
3. En déduire les solutions de cette équation.

1. 1. Montrer que : $(\forall m, n \in \mathbb{N}): m^{2} \mid n^{2} \Rightarrow m \mid n$.
   2. Montrer qu’il suffit d’étudier le cas ou $x \wedge y=1$.Dans la suite on suppose que $x \wedge y=1$ dans l’équation $(E)$.
   1. Montrer que si $(x, y, z)$ est solution de l’équation $(E)$ alors $x$ et $z$ sont impaires et $y$ paire.
   2. On pose $d=(z-x) \wedge(z+x)$. Montrer que d est paire et en déduire que $d=2$.
   3. Montrer que si $a^{2}=b c$ et $c \wedge b=1$ alors il existe $b^{\prime}$ et $c^{\prime}$ tels que $b=b^{\prime 2}$ et $c=c^{2}$.
2. Soit $\alpha$ et $\beta \in \mathbb{N}$ tels que $3-x=2 \alpha$ et $3-x=2 \alpha$.
   Montrer que $\alpha$ ou $\beta$ est paire , en déduire les solutions de l’équation $(E)$.

1. 1. Montrer que $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right): x_{n+1}=2 x_{n}+1$
   2. En déduire que : $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right): x_{n+1} \wedge x_{n}=1$
   1. Montrer que : $n \equiv 0[6] \Leftrightarrow x_{n} \equiv 0[9]$ (Remarquer que : $2^{6} \equiv 1[9]$)
   2. En déduire qu’il existe une infinité de nombres $n \in \mathbb{N}^{*}$ tels que $n \wedge x_{n} \neq 1$.
   1. Montrer que $\left(\forall(n, m) \in \mathbb{N}^{* 2}\right): n \mid m \Rightarrow x_{n} \mid x_{m}$
   2. Soient $m, n \in \mathbb{N}^{*}$. Montrer que si $r$ est le reste de la division euclidienne de $m$ sur $n$ alors $x_{r}$ est le reste de la division euclidienne de $x_{m}$ sur $x_{n}$. (Remarquer que : $2^{n} \equiv 1\left[x_{n}\right]$).
   3. En déduire que $x_{m} \wedge x_{n}=x_{n} \wedge x_{r}$.
   4. Montrer en utilisant l’algorithme d’Euclide que: $\left(\forall(m, n) \in \mathbb{N}^{* 2}\right): x_{m} \wedge x_{n}=x_{m \wedge n}$

Partie II :
Dans la suite en veut monter que $\left(\forall k \in \mathbb{N}^{*}\right)(\exists i \in\{1,2,3, \ldots . ., 2 k\}): 2 k+1 \mid x_{i}$.
On suppose le contraire c.à $d \quad\left(\exists k \in \mathbb{N}^{*}\right)(\forall i \in\{1,2,3, \ldots ., 2 k\}): x_{i} \neq 0[2 k+1]$
Et soit $R_{i}$ le reste de la division euclidienne de $x_{i}$ par $2 k+1$.

1. Montrer que : $(\forall i \in\{1,2,3, \ldots \ldots, 2 k\}): 1 \leq R_{i} \leq 2 k$.
   1. Montrer que : $x_{i} \equiv 2 k[2 k+1] \Leftrightarrow 2^{i} \equiv 0[2 k+1]$
   2. En déduire que : $(\forall i \in\{1,2,3, \ldots . ., 2 k\}): R_{i} \neq 2 k$.
2. Montrer que les restes $R_{i}$ sont distincts deux à deux.
3. Conclure.

1. Soient $a, b, c, d \in \mathbb{N}^{*}$. Montrer que : \[d = a \wedge b \Rightarrow \left( {\exists \left( {u,v} \right) \in \mathbb{N}} \right):d = au – bv\]
2. Soient $m, n, p \in \mathbb{N}^{*}$ tels que $2^{m} \equiv 1[p]$ et $2^{n} \equiv 1[p]$. Montrer que $2^{m \wedge n} \equiv 1[p]$.

1. Soient $a, b, c \in \mathbb{Z}$ tel que : $a \wedge b=1$. Trouver un nombre $x$ tel que : $(a+b x) \wedge c=1$
2. Résoudre dans $\mathbb{Z}^{2}$ l’équation $(a \wedge b)+(a \vee b)=b+9$
3. On suppose ici que a divise $b$. Montrer que $b \wedge c=(a \wedge c)\left[\dfrac{c}{a \wedge c} \wedge \dfrac{b}{a}\right]$ et $(a \vee c) \dfrac{b}{a}=(b \vee c)\left[\dfrac{c}{a \wedge c} \wedge \dfrac{b}{a}\right]$

1. Écrivez dans ce même système de numération les naturels $x+y$ et $x+z$.
2. Déterminez $a$ sachant que $z$ est le produit de $x$ et $y$.

1. Quelles inégalités larges à propos des entiers $x$, $y$ et $z$ pouvez-vous écrire d’emblée?
2. Montrez que l’égalité à obtenir équivaut à $19 x-13 y=4 z$.
3. Grâce à l’algorithme d’Euclide, déterminez des naturels $X$ et $Y$ tels que $19 X-13 Y=1$.
4. Prouvez que si des entiers $x$, $y$ et $z$ vérifient $19 x-13 y=4 z$, il existe un entier $k$ tel que : $x=-8 z+13k$ et $y=-12 z+19 k$.
5. Montrez que dans les égalités du $4)$, on ne peut pas avoir $k \leq 0$.
6. Quelle est la plus grande valeur possible pour $x+8z$? En déduire qu’on a nécessairement $k \leq 2$.
7. Montrez que dans la division euclidienne de $19k$ par 12, $y$ est le reste et $z$ est le quotient.
8. Concluez.
   

1. Montrer que : $\left|\dfrac{a-b}{1-a \bar{b}}\right|=1.$
2. Montrer que : $\left|a b+b c+c a\right|=\left|a+b+c\right|.$

1. Montrer que : $$(\forall z \in \mathbb{C}),\,\,|z+1|=|z|+1 \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}^{+}.$$
2. Montrer que : $\left(\forall\left(z, z^{\prime}\right) \in \mathbb{C}^{2}\right),$ $$\left|z+z^{\prime}\right|=|z|+z^{\prime} \mid \Leftrightarrow\left(\exists \alpha \in \mathbb{R}^{+}\right):\left(z=\alpha z^{\prime}\right. \text{ ou } \left. z^{\prime}=\alpha_{z}\right)$$

1. Montrer que $\left|z^{\prime}\right|=1$, $\dfrac{z^{\prime}-1}{z-1}$ est réel et $\dfrac{z^{\prime}+1}{z-1}$ est imaginaire pure.
2. En déduire une construction géométrique du pont $M^\prime$ à partir du point $M.$

1. Montrer que : $$f(z) \in \mathbb{R} \Leftrightarrow|z|^{2}-\operatorname{Im}(z)=0.$$
2. Déterminer la nature des deux ensembles : $E=\{M(z) \in P / f(z) \in \mathbb{R}\}$ et $F=\{M(z) \in P / f(z) \in i\mathbb{R}\}$
3. On considère les points $A(i), M(z), M^{\prime}(f(z))$
   1. Montrer que : $f(z)-i=\dfrac{-i}{1-i \bar{z}}.$ En déduire l’ensemble $G=\{M(z) \in P /|f(z)-i|=2\}$
   2. Montrer que $f(z)-i=\dfrac{1}{|1-i \bar{z}|^{2}}(z-i).$ En déduire un mesure de l’angle $\left( {\widehat {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM’} }} \right)$

1. ABC est un triangle équilatéral.
2. $j$ ou $j^{2}$ est solution de l’équation $a z^{2}+b z+c=0$.
3. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$

Application : Soit $ABC$ un triangle du plan affine euclidien. On construit, à l’extérieur de ce triangle, les trois triangles équilatéraux de bases $A B$, $B C$, $C A$. Montrer que les centres de gravité de ces trois triangles forment un triangle équilatéral.

1. Soit $(\mathscr{C})$ le cercle de centre $A\left(z_{0}\right)$ et de rayon $R$. Montrer que $(\mathcal{C})$ est l’ensemble des points $M\left(z_{0}\right)$ tels que: $z \bar{z}-\bar{z}_{0} z-z_{0} \bar{z}+z_{0} \bar{z}_{0}-R^{2}=0$
2. Réciproquement, soient $c \in \mathbb{C}$ et $\gamma \in \mathbb{R}$. Quel est l’ensemble des points $M(z)$ tels que $z \bar{z}-\bar{cz}-c \bar{z}+\gamma=0.$
3. Application : Soient $\theta \in\mathbb{R}$ et $(a, b) \in \mathbb{C}^{2}$ avec $a \neq b$. On considère les points $A(a)$ et $B(b).$
   Trouver l’ensemble des points $M$ tels que $(\overline{\overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M B}}) \equiv \theta[\pi]$

1. Montrer que $\operatorname{Re}(v \bar{w})=\dfrac{-1}{2}$. En déduire la valeur de $v \bar{w}$.
2. Montrer que : $u=j v=j^{2} w$ ou $u=j w=j^{2} v$.

1. Montrer que $S$ et $T$ sont conjugués et $\operatorname{Im}(S)>0$.
2. Calculer : $S+T$ et $S T$. En déduire $S$ et $T.$
3. Calculer : $\dfrac{u}{1+u^{2}}+\dfrac{u^{2}}{1+u^{4}}+\dfrac{u^{3}}{1+u^{6}}$
4. En déduire la valeur de : $\dfrac{1}{\cos \dfrac{2 \pi}{7}}+\dfrac{1}{\cos \dfrac{4 \pi}{7}}+\dfrac{1}{\cos \dfrac{6 \pi}{7}}.$

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^{2}+z+1=0$
2. Pour tout $z=e^{i \theta}$ avec $-\pi \leq \theta \leq \pi$ et $\theta \neq \dfrac{2 \pi}{3}$ et $\theta \neq-\dfrac{2 \pi}{3}$, on pose $z^{\prime}=\dfrac{1}{z^{2}+z+1}$.
   1. Montrer que : $z^{2}+z+1=z(1+z+\bar{z}).$
   2. Calculer le module et l’argument $z^\prime$ en fonction de $\theta$.
   3. On pose $z^{\prime}=x+iy$ avec $x$ et $y$ deux nombres réels. Montrer que : $x^{2}+y^{2}=(1-2 x)^{2}.$
   4. En déduire que le point $M$ d’affixe $z^\prime$ appartient à une hyperbole dont on déterminera le centre les sommets et les asymptotes.

1. Déterminer la nature de $(H)=\left\{M(z) / z^{2}-(\bar{z})^{2}=a^{2}-(\bar{a})^{2}\right\}$ et tracer $(H)$ pour $a=1+i.$
2. Déterminer la nature de $(C)=\{M(z) /(z-a)(\bar{z}-\bar{a})=4 a \bar{a}\}$ et tracer $(C)$ pour $a=1+i.$
3. On considère dans $\mathbb{C}$ le système $(S):\left\{\begin{array}{l}z^{2}-(\bar{z})^{2}=a^{2}-(\bar{a})^{2} \\ (z-a)(\bar{z}-\bar{a})=4 a \bar{a}\end{array}\right.$ et on pose $u=z-a.$
4. Montrer que le système est équivalent au système $(S^\prime) :\left\{\begin{array}{l}u \bar{u}=4 a \bar{a} \\ (u+2 a)\left(u^{3}-8 a(\bar{a})^{2}\right)=0\end{array}\right.$
5. On pose $a=r e^{i \theta}$ avec $r>0$ et $-\pi<\theta \leq \pi$. Déterminer en fonction de $r$ et $\theta$ les affixes des point d’intersection de $(C)$ et $(H)$.
6. Montrer que l’intersection de $(C)$ et $(H)$ contient trois points sommets d’un triangle équilatéral.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $(z-b)^{n}-(z-a)^{n}=0.$
2. Prouver que les solutions sont affixes de points alignés.
3. On considère le nombre complexe $a=e^{\frac{2 i \pi}{5}}$. On note $I, A, B, C, D$ les points du plan complexe d’affixes $1, a, a^{2}, a^{3}, a^{4}$.
   1. Vérifier que $a^{5}=1$ et montrer que $I A=A B=B C=C D=D I$.
   2. Placer les points $I, A, B, C, D$ dans le plan complexe (unité: $4cm$).
   1. Vérifier que, pour tout nombre complexe $z$ : $$z^{5}-1=(z-1)\left(1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}\right)$$
   2. En déduire que : \begin{align}1+a+a^{2}+a^{3}+a^{4}=0\end{align}
   3. Montrer que $a^{3}=\overline{a}^{2}$ et que $a^{4}=\overline{a}$ et en déduire que: $$(a+\overline{a})^{2}+(a+\overline{a})-1=0 \quad(2)$$
   4. Résoudre l’équation: $4 x^{2}+2 x-1=0$ et en déduire, à partir de $(2)$, la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)$.

1. Montrer que $(\forall z \in \mathbb{C}-\{-1\}):$ $$|z|=1 \Leftrightarrow(\exists \alpha \in \mathbb{R}),\,\,\, z=\frac{1+i \alpha}{1-i \alpha}$$
2. Soit $a \in \mathbb{C}, n \in \mathbb{N}^{*}$, montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation $\left(\dfrac{1+i x}{1-i x}\right)^{n}=a$ ait des solutions réelles est que $|a|=1.$

1. Montrer que  : $(\forall k \in\{0,1,2, \ldots ., 2 n-1\}),\,\,\, \overline{z}_{k}=z_{2 n-k}$
2. En déduire que le nombre $u=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} z_{k}$ est imaginaire pur.

1. Montrer que si $z$ est une solution de $(S)$ alors $|z|=|z-1|=1.$
2. En déduire que $z$ est une solution de $(S)$ alors $z=e^{i \frac{\pi}{3}}$ ou $z=e^{-i \frac{\pi}{3}}.$
3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ le système $(S).$

1. Déterminer le nombre complexe $p$ pour que $(E_{p})$ admette une racine double
2. Soit $z_{1}$ et $z_{2}$ les racines de $\left(E_{p}\right)$. On pose $u_{1}=\dfrac{1+z_{1}}{p}$ et $u_{2}=\dfrac{1+z_{2}}{p}$
   1. Calculer $u_{1}+u_{2}$ et $u_{1}u_{2}.$
   2. Montrer que si $u_{1}$ et $u_{2}$ ne sont pas des réels alors $\left|1+z_{1}\right|=\left|1+z_{2}\right|.$
   3. Montrer que si $u_{1}$ et $u_{2}$ sont des réels alors $\arg \left(1+z_{1}\right) \equiv \arg \left(1+z_{2}\right)[2 \pi].$

1. Les points d’affixe $1, z, \dfrac{1}{z}, 1-z$ soient cocycliques.
2. Les points d’affixe $z, z^{2}, z^{5}$ soient alignés.
3. Les points d’affixe $1, z, z^{3}$ soient alignés.
4. Les points d’affixe $z, 2 z+1, z-1$ forment un triangle isocèle en $M$.
5. Les points d’affixe $1,1+z, 1+z^{2}$ forment un triangle équilateral.

1. Résoudre dans l’équation $(1+i z)^{5}=(1-i z)^{5}.$
2. En déduire $\tan \dfrac{\pi}{5}$ et $\tan \dfrac{2 \pi}{5},$ et les exprimer sous la forme $\sqrt{p + q \sqrt{n}}​,$ où $n, p$ et $q$ sont des éléments de $\mathbb{Z}.$
3. Calculer $\tan \left(\dfrac{\pi}{60}\right).$

1. Montrer que $1+u+u^{2}+u^{3}+u^{4}=0$ et exprimer $\cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)$ en fonction des puissances de $u$.
2. En déduire que $\cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)$ est racine de l’équation $4 x^{2}+2 x-1=0.$
3. Calculer $\cos \left(\frac{2 \pi}{5}\right)$, $\cos \left(\dfrac{4 \pi}{5}\right), \cos \left(\dfrac{6 \pi}{5}\right), \cos \left(\dfrac{8 \pi}{5}\right)$ puis $\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)$.

1. Montrer que $A_{k+1}$ est l’image de $A_{k}$ par la rotation $r$ de centre $O$ et d’angle $\dfrac{2 \pi}{n}$.
2. Calculer la somme $S=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} A_{k} A_{k+1}.$

1. Montrer que $\arg \left(z_{0}\right) \operatorname{targ}\left(z_{1}\right) \equiv 0[2 \pi]$ et $\left|z_{0}\right|\left|z_{1}\right|=1.$
2. On suppose que $z_{0}=e^{i \theta}$. Donner la forme exponentielle de $m.$

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $\left(E_{\alpha}\right)$ on notera $z_{1}, z_{2}$ ses solutions.
2. Déterminer la forme trigonométrique de $z_{1}$ et $z_{2}$.
3. Soient $M_{1}$ et $M_{2}$ les points images de $z_{1}$ et $z_{2}$ respectivement.
   1. Montrer que $OM_{1}=OM_{2}$.
   2. Déterminer la valeur de $\theta$ pour que le triangle $\left(O M_{1} M_{2}\right)$ soit équilatère directe.

1. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}):\,\, u_{n}>1.$
2. Etudier le sens de variation de $\left(u_{n}\right).$
3. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}):\,\, u_{n}>n \dfrac{\pi}{3}+2$.
4. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n’est pas majorée.

1. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et minorée et déduire qu’elle est convergente.
2. Montrer que $(\forall n \geq 1):\,\, u_{n}=\dfrac{\sin (\alpha)}{2^{n} \sin \left(\dfrac{\alpha}{2^{n}}\right)}$ et en déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right).$

1. Montrer que $(\forall n \geq 1): u_{n} \leq 2$. En déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite $\ell.$
2. Montrer que $(\forall n \geq 2): \dfrac{1}{n-1} \leq u_{n} \leq \dfrac{n+1}{(n-1)^{2}}$. En déduire $\lim \left(n u_{n}\right).$
3. On veut étudier la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$.
   1. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)_{n \geq 2}$ définie par $v_{n}=\dfrac{n}{n^{2}-1}$ est décroissante.
   2. Montrer que pour tout $n \geq 2$, on a $u_{n} \geq v_{n}$.
   3. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 2}$ est décroissante .

1. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
2. Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite $\ell.$
3. Calculer $u_{n+1}-\ell$ en fonction de $u_{n}-\ell$. En déduire $u_{n}$ en fonction de $n.$

1. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}): u_{n}>1.$
2. Etudier le sens de variation de $\left(u_{n}\right).$
3. Montrer que $\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)$ est convergente et donner sa limite.

1. Montrer que les suites $\left(a_{n}\right)_{n \ge 0}$ et $\left(b_{n}\right)_{n \ge 0}$ sont convergentes et ont la même limite.
2. Montrer que pour tout $n \geq 0 :$ $$0 \leq b_{n+1}-a_{n+1} \leq \dfrac{1}{8 a}\left(b_{n}-a_{n}\right)^{2}.$$
3. En déduire que pour tout $n \geq 0:$  $$0 \leq b_{n}-a_{n} \leq 8 a\left(\dfrac{b-a}{8 a}\right)^{2^{n}}.$$

1. Montrer que $(\forall n \geq 0): u_{n} \geq 1.$
2. Etudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right).$
3. Montrer que $(\forall n \geq 1)$ : $2 \leq u_{n}^{2}-u_{n-1}^{2} \leq 2+u_{n}-u_{n-1}$ et $2 n \leq u_{n}^{2}-1 \leq 2 n+u_{n}-1.$
4. En déduire la divergence de la suite $\left(u_{n}\right).$
   en déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite $l.$
5. Montrer que $(\forall n \geq 0): 1-\dfrac{1}{u_{n}} \leq \dfrac{2 n}{u_{n}^{2}} \leq 1-\dfrac{1}{u_{n}^{2}}$. En déduire $\lim \left(\dfrac{1}{\sqrt{2 n}} u_{n}\right).$

1. Montrer que $f_{n}$ est croissante sur $\left[\sqrt[n-1]{\dfrac{1}{3 n}},+\infty\right[$ et décroissante sur $\left[0, \sqrt[n-1]{\dfrac{1}{3 n}}\right],$ puis poser le tableau de variation de $f_{n}$.
2. Montrer que l’équation $f_{n}(x)=0$ admet une solution unique $u_{n}$ dans l’intervalle $[0,+\infty[$.
3. Calculer $f_{n}(1)$, en déduire que $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right):\,\,$ $0 < u_{n} < 1$.
   1. Montrer que : $(\forall x \in] 0,1[):\,\, f_{n+1}(x) < f_{n}(x)$
   2. Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est croissante, en déduire qu’elle est convergente.
4. On pose $\lim u_{n}=\ell$
   1. Montrer que: $0 \leq \ell \leq 1$
   2. Montrer que: $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right): u_{n} \leq l$ (penser au raisonnement par absurde)
   3. Montrer que : $\ell=1.$  (penser au raisonnement par absurde encore)

1. 1. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}):\,\,  0 < u_{n} < \dfrac{1}{n+1}$.
   2. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est croissante.
2. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ converge vers un réel $\lambda$ tel que $0<\lambda \leq 1$
3. Montrer que la suite $w_{n}=n\left(v_{n+1}-v_{n}\right)$ converge vers une limite $\ell$ à déterminer.
   1. Montrer que si $\lambda \neq 1$ alors : $$\left(\exists n_{0} \in \mathbb{N}^{*}\right)(\exists a>0): n>n_{0} \Rightarrow v_{n+1}-v_{n}>\frac{a}{n}$$
   2. En déduire que $\left(\forall n>n_{0}\right): v_{2 n} \rightarrow v_{n}>\dfrac{a}{2}$.
   3. Montrer que $\lim v_{n}=+\infty$.
4. Déterminer $\lim v_{n}$.

1. Soient $x_{n}=a-u_{n}$ et $y_{n}=a+u_{n}$. Trouver des relations liant $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ à $x_{n}$ et $y_{n}.$
2. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}): x_{n} \geq 0$ et $y_{n} \geq 0$. En déduire la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$.
3. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.

1. Simplifier l’expression $(1-x)^{2} f_{n}(x)$. En déduire une autre expression de $f_{n}(x)$ pour $x \neq 1$.
2. Pour tout $x \in[0,1]$, On pose $F(x)=\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x).$
   1. Donner l’expression de $F(x)$.
   2. Représenter sur un même graphique, dans l’intervalle $[0,1]$, les fonctions $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ et $F$.
3. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, l’équation $f_{n}(x)=1$ admet une unique solution, notée $u_{n}$, dans l’intervalle $[0,1]$. Puis calculer $u_{1}$ et $u_{2}.$
4. Etudier le sens de variation de le suite $\left(u_{n}\right)$. En déduire qu’elle converge. On notera $\ell$ sa limite.
5. Montrer que $\left(\forall x \in\left[0, \dfrac{1}{2}\right]\right)\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right):\left| F(x)-f_{n}(x)\right| \leq 6 \dfrac{n+1}{2^{n+1}}$.
6. Montrer que $\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}\left(u_{n}\right)=F(\ell)$. En déduire la valeur de $\ell.$

1. Montrer que l’équation $f_{n}(x)=0$ admet une seule solution dans $[0,1]$, notée $u_{n}$.
2. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}): f_{n}\left(u_{n+1}\right)<0$. En déduire le sens de variation de $\left(u_{n}\right)$.
3. Calculer la limite de $\left(u_{n}\right)$.
4. Soit $a_{n}=u_{n}-\dfrac{1}{2}$. Montrer que $\lim (n+1) a_{n}=0$. En déduire $\lim 2^{n+2}\left(u_{n}-\dfrac{1}{2}\right).$

1. Etudier la continuité de la fonction $f$ en $0$.
2. Calculer $\displaystyle\lim _{|x| \rightarrow+\infty} f(x).$

1. Montrer que : $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right)\left(\exists!a_{n} \in\right] 0,1[),\,\,\,\, 2 n a_{n} \tan \left(\dfrac{\pi}{2} a_{n}\right)=\pi$
2. Comparer $a_{n}$ et $a_{n+1}.$
3. Montrer que $a_{n}$ est solution de l’équation $2\arctan \left( {\dfrac{\pi }{{2nx}}} \right) – \pi x = 0.$

1. Montrer que $f(0)=0$.
2. Montrer que : $\left(\forall(x, y) \in I R^{2}\right): f(x)=f(x-y)+f(y)$.
3. En déduire que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

1. Soit $\left.x_{0} \in\right] 0,+\infty\left[\right.$. Montrer que : $$\left(\forall x>x_{0}\right): 0 \leq f(x)-f\left(x_{0}\right) \leq\left(x-x_{0}\right) g\left(x_{0}\right)$$ et
   \[\left( {\forall x < {x_0}} \right):\left( {x -{x_0}} \right)g\left( {{x_0}} \right) \le f(x) -f\left( {{x_0}} \right) \le 0\]
2. Montrer que $f$ est continue sur $] 0,+\infty[$.

1. Montrer que : $\exists(\alpha, \beta) \in\left] a, b\right[^{2}/\,\,\, f(\alpha) \cdot f(\beta)<0.$
2. En déduire que l’équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l’intervalle $] a, b[$.
3. Soit $g$ une fonction continue sur $[a, b]$. Montrer que: $\exists c \in] a, b[/\,\,\, f(c)=g(c)$
4. Montrer que : \[\exists c \in \left] {a,b} \right[/\,\,\,\sqrt {\frac{{b -c}}{{c -a}}} – \sqrt {\frac{{c -a}}{{b -c}}} = \sqrt {\left( {b -c} \right)\left( {c -a} \right)} \]

1. Déterminer le domaine de définition de $f$.
2. Montrer que $f$ est une bijection de $[-1,1]$ vers un intervalle à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x)$.

1. Déterminer le domaine de définition de $f$. est ce que $f$ réalise une bijection de $D_{f}$ vers $\mathbb{R}$?
2. Soit $g$ la restriction de $f$ à $I=\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right]$.
   1. Montrer que $g$ est une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer.
   2. Déterminer $g^{-1}(x)$.
   3. En déduire que : $(\forall x \in J): \arcsin\left(\dfrac{2 x}{1+x^{2}}\right)=\arccos\left(\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)$

1. Montrer que pour tout $n \geq 1$ l’équation $f_{n}(x)=1$ admet un unique solution positive que l’on notera $u_{n}$
2. Comparer $u_{n}$ et $u_{n+1}.$

1. Déterminer $D_{f}$.
2. Montrer que : $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-\pi-2 \arctan x & ; & x \leq-1 \\ 2 \arctan x & ; & -1 \leq x \leq 1 \\ \pi-2 \arctan x & ; & x \geq 1\end{array}\right.$
3. Soit $g$ la restriction de $f$ à $I=[1,+\infty[$.
   Montrer que $g$ est une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer puis déterminer $g^{-1}(x)$.

1. Montrer que : $(\forall x \in] 0,1])\left(\exists \alpha \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right[\right):\quad x=\cos ^{2} \alpha.$
2. En déduire que $(\forall x \in[0,1]):\quad f(x)=\dfrac{\pi}{2}-\arccos \sqrt{x}.$
3. Que $f$ est une bijection de $[0,1]$ vers un intervalle $J$ à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x)$.

1. Déterminer $D_{f}$.
2. Montrer que : \[
   \left\{
   \begin{aligned}
   &f(x)=\arcsin x+\dfrac{3\pi}{4} &si & & -1\le x\le \dfrac{-\sqrt{2}}{2}\\
   & f(x)=\arcsin x-\dfrac{\pi}{4} &si & & -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\le x\le 1
   \end{aligned}
   \right.
   \]

1. Montrer que l’équation $( E )$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$ et qu’elle appartient $]0,1[$.
2. Résoudre l’équation $(E)$.
3. En déduire $\tan \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.

1. Montrer que $f_{n}$ est une bijection de $[0,1]$ vers un intervalle $J$ à déterminer.
2. 1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, l’équation $f_{n}(x)=0$ admet une unique solution $a_{n}$ dans l’intervalle $] 0,1$.
   2. Montrer que $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right)(\forall x \in] 0,1[$ ): $\sqrt[n]{x}<\sqrt[n+1]{x}$
   3. En déduire que : $\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\left( {\forall x \in \left] {0,1} \right[} \right):{f_n}\left( x \right) < {f_{n + 1}}\left( x \right)$
   4. Comparer $a_n$ et $a_{n+1}$

1. Montrer que $\cos (\alpha+\beta)=\cos (\alpha) \cos (\beta)(1-a b)$
2. En déduire que $-\dfrac{\pi}{2}<\alpha+\beta<\dfrac{\pi}{2}$
3. Montrer que : $\arctan(a)+\arctan(b)=\arctan\left(\dfrac{a+b}{1-a b}\right)$
4. Calculer $2 \arctan \left(\dfrac{1}{4}\right)+\arctan \left(\dfrac{1}{7}\right)+2 \arctan \left(\dfrac{1}{13}\right)$