Chapitre 8
Angle au centre :
L’angle $\widehat{A O B}$ est appelé angle au centre qui intercepte l’arc $\overparen{A B}$.
Angle inscrit
- $A$, $B$ et $M$ trois points du cercle $(C)$.
L’angle $\widehat{A M B}$ est appelé angle inscrit du cercle qui intercepte l’arc $\overparen{A B}$
- Soit ( $\Delta$ ) la tangente du cercle $(C)$ au point $A$.
Angle inscrit et angle au centre associé
Exemple : Sur le dessin suivant :
Angles inscrits interceptant le même arc
Exemple : Sur le dessin suivant :
$\widehat{A M B}$ et $\widehat{A N B}$ sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc donc : $\widehat{A M B}=\widehat{ANB}$.
Instructions pour le candidat
Durée de réalisation : 1 heure
Les questions de ce devoir sont issues des leçons suivantes :
- • Les identités remarquables
- • Les racines carrées
- • Les puissances
Soit $x$ un nombre réel. On pose :
$$A = 5\left( {x -2} \right) \quad;\quad B = {\left( {2x -1} \right)^2} + x\left( {2x -1} \right) \quad;\quad C = {\left( {x + 6} \right)^2} -25$$
- Développer et réduire : $A$, $B$ et $C$.
- Factoriser $B$ et $C$.
Écrire sous forme d’une seule puissance : $$D = \dfrac{{{a^{ -3}} \times {{\left( {a \times {a^{ -3}}} \right)}^{ -4}}}}{{{a^{ -1}} \times {a^{ -2}} \times a}}$$
- Donner l’écriture scientifique des nombres :
$$E = 0,048 \quad;\quad F=3000000$$ - En déduire l’écriture scientifique de:
$$G=\dfrac{0,048}{3000000}$$
Calculer et simplifier :
- $H = {\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^{ -2}} + \dfrac{7}{5}$
- $I = \sqrt {48} -\sqrt {12} + 2\sqrt 3 $
- $J = \sqrt {\dfrac{{\sqrt {100} -1}}{{{3^2} + {4^2}}}}$
- $K = \sqrt {\sqrt 5 -1} \times \sqrt {\sqrt 5 +1} $
Écrire sans « $\sqrt{~~}$ » au dénominateur :
- $L = \dfrac{{3}}{{7\sqrt 5 }}$
- $M = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 -1}}$
Chapitre 7
Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu
Cosinus d’un angle aigu
$\cos \hat B= \dfrac{\text{longueur du côté adjacent à }\hat B}{\text{longueur de l’hpoténuse }}$
Exemple : Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$.
On a : $\boxed{\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}}}$ et $\boxed{\cos \widehat {ACB} = \frac{{AC}}{{BC}}}$
Sinus d’un angle aigu
$\sin \hat B= \dfrac{\text{longueur du côté opposé à }\hat B}{\text{longueur de l’hpoténuse }}$
Exemple : Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$.
On a : $\boxed{\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}}}$ et $\boxed{\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}}$
Tangente d’un angle aigu
$\tan \hat B= \dfrac{\text{longueur du côté opposé à }\hat B}{\text{longueur du côté adjacent}\hat B}$
Exemple : Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$.
On a : $\boxed{\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}}}$ et $\boxed{\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}}}$
Formules trigonométries
- $0 < \cos \,\alpha \, < \,1$
- $0 < \sin \,\alpha \, < \,1$
- ${\cos ^2}\,\alpha \,\, + \,\,{\sin ^2}\,\alpha \,\, = \,\,1$
Preuve :
$\bullet$ Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$. On pose $\alpha=\widehat {ABC}$
On a : $\sin \alpha= \dfrac{{AC}}{{BC}}$ et $\cos \alpha= \dfrac{{AB}}{{BC}}$
Nous savons que le plus long côté d’un triangle rectangle est l’hypoténuse,
C’est-à-dire : $0<AB<BC$ et $0<AC<BC $,
donc : $\dfrac{0}{BC}<\dfrac{AC}{BC}<\dfrac{BC}{BC}$ et $\dfrac{0}{BC}<\dfrac{AB}{BC}<\dfrac{BC}{BC}$
c’est-à-dire : $0<\sin \alpha<1$ et $0<\cos\alpha<1$.
$\bullet$ D’après le théorème de Pythagore, on a : $AC^2+AB^2=BC^2$,
Par suite, on a :
\[\begin{aligned}
{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha &= {\left( {\frac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2}\\
&= \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}}\\
&= \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}}\\
&= 1
\end{aligned}\]
- ${\cos ^2}\alpha = 1-\sin^2 \alpha$
- ${\sin ^2}\alpha = 1-\cos^2 \alpha$
$${\tan}\alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$
- ${\cos}\alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\tan \alpha}$
- ${\sin}\alpha = \cos\alpha\times\tan \alpha$
- $\cos \alpha = \sin \beta$
- $\sin \alpha = \cos \beta$
- $\tan \alpha = \dfrac{1}{\tan\beta}$
- $\cos\left( {90^\circ – \alpha } \right)= \sin\alpha$
- $\sin\left( {90^\circ – \alpha } \right) = \cos \alpha$
- $\tan\left( {90^\circ – \alpha } \right) = \dfrac{1}{\tan\alpha}$
Angles particuliers
| $x$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ |
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt 3}{3}$ | $1$ | $\sqrt 3$ | $***$ |
Chapitre 6
Théorème de Pythagore
$$AB^2+AC^2=BC^2.$$
Exemple :
$$AB^2=BC^2-AC^2\quad et \quad AC^2=BC^2-AB^2.$$
Application : $EFG$ triangle rectangle en $E$ tel que :
$$EG = 2\sqrt{5}cm\quad ;\quad FG=6cm$$
Réponse : Le triangle $EFG$ est rectangle en $E$.
Donc d’après le théorème de Pythagore on a :
$$E{F^2} + E{G^2} = F{G^2}$$
Alors :
$$\begin{aligned}
E{F^2} &= F{G^2} – E{G^2}\\
&= {6^2} – {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2}\\
&= 36 – 4 \times 5\\
&= 36 – 20\\
&= 16
\end{aligned}$$
Puisque la distance est toujours positif, alors $\boxed{EF=\sqrt{16}cm=4cm}$
Réciproque du théorème de Pythagore
Application : Soit $ABC$ un triangle tel que :
$$AB=\sqrt{7}cm ~~;~~ AC = 2cm~~;~~BC=\sqrt{3}cm$$
Réponse : On a : $AB^2=\sqrt{7}^2=7$; $AC^2=2^2=4$ et $BC^2=\sqrt{3}^2=3$
On remarque que : $4+3=7$
Ça veut dire que : $AC^2+BC^2=AB^2$
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
$x$ et $y$ sont deux nombres réels tels que: $2 \leq x \leq 3 \quad$ et $\quad 6 \leq y \leq 7$.
On considère l’expression $E$ : $$E=\sqrt{4 x^2-4 x y+y^2}+2 \sqrt{(x-3)^2+12 x}.$$
Donner une écriture simplifiée de $E$.
$a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que: $a>1$ et $b>1$
Démontrer que : $$a \sqrt{b-1}+b \sqrt{a-1} \leq a b.$$
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que : $1 \leq \sqrt{a-3} \leq 3$ et $-4 \leq b \leq \dfrac{1}{2}$
- Montrer que : $4 \leq a<12$.
- Encadrer le nombre $\dfrac{3}{a}+b^2$.
$a$ et $b$ sont deux nombres réels positifs non nuls.
Montrer que : $$\dfrac{a}{a^4+b^2}+\dfrac{b}{a^2+b^4}\le \dfrac{1}{ab}.$$
$a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels positifs non nuls.
Montrer que : $$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{bc}{a}\geq a+b+c.$$
$a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels positifs non nuls.
Montrer que : $$\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\geq 9.$$
$a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que : $a >1$ et $b>1.$
Montrer que : $$\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\leq 8.$$
$x$ et $y$ sont deux nombres réels tels que : $$1\le x^2+y^2-xy\le 2.$$
Montrer que : $$\dfrac{2}{9}\le x^4+y^4\le 8.$$
Chapitre 5
Comparaison de deux nombres réels
Exemple : Comparons les nombres : $3 \sqrt{2}-5$ et $\sqrt{2}-7$.
On a : $\quad(\sqrt{2}-7)-(3 \sqrt{2}-5)=\sqrt{2}-7-3 \sqrt{2}+5=-2-2 \sqrt{2}$
Or : $\quad-2-2 \sqrt{2}$ est un nombre négatif,
alors : $(\sqrt{2}-7)-(3 \sqrt{2}-5)<0$
Donc : $\sqrt{2}-7<3 \sqrt{2}-5$.
Ordre et addition
Exemples :
- Si $x<8$, alors $x+2<8+2$, soit $x+2<10$.
- Si $x+9<2$, alors $x+9-9<2-9$, soit $x<-7$.
Ordre et multiplication
- Si $(a\leq b$ et $k>0)$, alors $ka \leq kb$.
- Si $(a \leq b$ et $k<0)$, alors $ka \geq kb$.
- $a$, $b$, $x$, $y$ sont des nombres réels positifs.
Si $a \leq x$ et $b \leq y$, alors: $ab \leq x y$.
Exemples :
- Si $x \leq-3$, alors $4 \times x \leq 4 \times(-3)$, soit $4 x \leq-12$.
- Si $\dfrac{-7}{6} x>\dfrac{12}{5}$, alors $\dfrac{-6}{7} \times \dfrac{-7}{6} x<\dfrac{-6}{7} \times \dfrac{12}{5}$, soit $x<-\dfrac{72}{35}$.
Ordre et inverse
$a \leq b$ signifie que : $\dfrac{1}{b} \leq \dfrac{1}{a}$.
Exemple : Si $\dfrac{1}{x^2}<\dfrac{2}{3}$, alors $x^2>\dfrac{3}{2}$.
Ordre et carré
- $a \leq b$ signifie que $a^2 \leq b^2$.
- $a \leq b$ signifie que $\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$.
Exemple : Comparons les nombres positifs $5 \sqrt{2}$ et $4 \sqrt{3}$
On a : $(5 \sqrt{2})^2=50$ et $(4 \sqrt{3})^2=48$.
Donc: $(4 \sqrt{3})^2<(5 \sqrt{2})^2$.
D’où : $4 \sqrt{3}<5 \sqrt{2}$.
Racine carrée du carré d’un réel
- Si $x \geq 0$ alors $\sqrt{x^2}=x$.
- Si $x \leq 0$, alors $\sqrt{x^2}=-x$.
Exemple : $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=-(\sqrt{3}-2)=-\sqrt{3}+2$ car $\sqrt{3}<2$.
Chapitre 4
Théorème de Thalès
$B$ et $M$ deux points de la droite $(d_1)$, distincts de $A$.
$C$ et $N$ deux points de la droite $(d_2)$, distincts de $A$.
Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles alors : $$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$$
Il y a trois configurations correspondantes à ce théorème.
- Les points $A$, $B$, $M$ et $A$, $C$, $N$ sont alignés dans le même ordre.
- Le théorème de Thalès permet de calculer les longueurs.
Réciproque du théorème de Thalès
$B$ et $M$ deux points de la droite $(d_1)$, distincts de $A$.
$C$ et $N$ deux points de la droite $(d_2)$, distincts de $A$.
Si les $A$, $B$, $M$ et $A$, $C$, $N$ sont alignés dans le même ordre et $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Il y a deux configurations correspondantes à ce théorème.
- L’hypothèse « alignés dans le même ordre » est essentielle.
- La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer le parallélisme de deux droites.
Exemple : On considère la figure suivante:
On donne : $AB=35cm$; $AM=40cm$; $AC=21cm$ ; $AN=24cm$
On a : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{40}{35}=\dfrac{8}{7}$ et $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{24}{21}=\dfrac{8}{7}$, alors : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$.
Et on sait que les points $A$, $B$, $M$ et $A$, $C$, $N$ sont alignés dans le même ordre.
Alors on peut conclure que les droites (BC) et $(MN)$ sont parallèles.
Calculer les nombres rationnels suivants :
$$A=\dfrac{3}{20}-\dfrac{11}{28} \quad;\quad B=\dfrac{7}{6}+\dfrac{-4}{9}$$
Calculer le nombre rationnel suivant : \[C = \frac{7}{{15}} – \frac{4}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{3} – \frac{2}{{15}}\]
Calculer, de la manière la plus simple, l’expression suivant: \[E = -\frac{2}{3} + \left({- 1 + \frac{4}{3} – \frac{5}{2}} \right)- \left[ {1- \left( {\frac{1}{2} + \frac{7}{3}} \right)} \right]\]
$a$ et $b$ sont deux nombres rationnels tels que : $$-4a+2b=\dfrac{11}{6}$$
Calculer : $$F=-2a-\left(-b-1\right)+\left(-2a+b+2\right)-\left(-\dfrac{5}{6}\right)$$
Soit $x$ un entier positif non nul.
- Montrer que : $$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{x(x+1)}.$$
- En déduire le résultat de la somme $S$ : $$S=\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\cdots+\dfrac{1}{998\times 999}+\dfrac{1}{999\times 1000}$$
$a$ et $b$ sont deux nombres rationnels tels que :
\[\begin{aligned}
a &= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{{2017}} + \frac{1}{{2018}}\\
b &= \frac{3}{2} + \frac{4}{3} + \frac{5}{4} + \frac{6}{5} + \cdots + \frac{{2018}}{{2017}} + \frac{{2019}}{{2018}}
\end{aligned}\]
Montrer que : $b-a=2017$
Calculer le nombre rationnel : $A=\dfrac{39}{-48}\times\dfrac{-64}{-26}$
Calculer le nombre rationnel : $B = \dfrac{9}{{ – 5}} \times \dfrac{{ – 20}}{3} \times \dfrac{{ – 18}}{{ – 14}}$
Calculer le nombre rationnel : $C=\dfrac{-12}{35}\div\dfrac{-21}{-20}$
Calculer le nombre rationnel $x$ tel que : $\dfrac{-3}{4}x=\dfrac{5}{32}$
$x$ est un nombre rationnel.
Développer et réduire les expressions suivantes : \[\begin{aligned}
A &= \frac{1}{3}x – \frac{4}{{15}} – \left( {\frac{5}{6}x – \frac{3}{2}} \right)\\
B &= \frac{2}{3}\left( {\frac{9}{4}x – 2} \right)
\end{aligned}\]
Badr dépense les $\dfrac{3}{8}$ de son argent de poche pour acheter des livres et $\dfrac{5}{12}$ de son argent de poche pour l’achat d’un jeu vidéo. Il lui reste 450 dh .
- Quelle fraction de de son argent de poche représente l’ensemble des dépenses ?
- Quelle fraction de son argent de poche représente ce qui lui reste?
- Déterminer le nombre $x$ tel que : $\dfrac{5}{24} \times x=450$. Que peut-on conclure?
$x$ et $y$ sont deux nombres rationnels non nuls tels que: $$x+y\neq 0 \quad;\quad x-y\neq 0 \quad et \quad \dfrac{1-x}{y-x}=\dfrac{1}{y+x}$$
Montrer que : $x+y=2$
I. Addition de deux nombres rationnels
Pour additionner deux nombres rationnels de même dénominateur, on additionne les numérateurs entre eux et on garde le dénominateur commun.
Exemples:
$$\begin{aligned}
\mathbf{1.}\quad A&=\frac{-8}{3}+\frac{2}{3}\\
A&=\frac{-8+2}{3}\\
&=-\frac{6}{3}=-2
\end{aligned} \quad\quad
\begin{aligned}
\mathbf{2.}\quad B&=\dfrac{x}{2}+\dfrac{-5}{2}\\
B&=\frac{x+(-5)}{2} \\
B&=\frac{x-5}{2}
\end{aligned}
$$
Pour additionner deux nombres rationnels de dénominateurs différents, on commence par les écrire avec le même dénominateur et on applique la règle précédente.
Exemples :
$$
\begin{aligned}\textbf{ 1. }\quad
A & =\frac{-5}{9}+\frac{1}{3} \\
A & =\frac{-5}{9}+\frac{3}{9} \\
A & =\frac{-5+3}{9} \\
A & =\frac{-2}{9}
\end{aligned}\quad\quad
\begin{aligned}\textbf{ 2. }\quad
B & =\frac{7}{15}+\frac{-5}{6} \\
B & =\frac{14}{30}+\frac{-25}{30} \\
B & =\frac{14+(-25)}{30} \\
B & =\frac{-11}{30}
\end{aligned}
$$
- $\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel : $\dfrac{a}{b}+\left(-\dfrac{a}{b}\right)=0$
On dit que:
$\quad\bullet~~ -\dfrac{a}{b}$ est l’opposé de $\dfrac{a}{b}$.
$\quad\bullet~~ -\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{a}{b}$ sont deux nombres opposés. - $\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel : $\dfrac{a}{b}+0=\dfrac{a}{b}$
- $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont deux nombres rationnels : $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}+\dfrac{a}{b}$
- $x, y$ et $z$ sont des nombres rationnels :
$$
\begin{aligned}
x+y+z & =(x+y)+z \\
& =x+(y+z) \\
& =(x+z)+y
\end{aligned}
$$
II. SOUSTRACTION
$$
\begin{aligned}
\frac{a}{b}-\frac{c}{d} & =\frac{a}{b}+\frac{-c}{d} \\
& =\frac{a d}{b d}+\frac{-b c}{b d} \\
& =\frac{a d+(-b c)}{b d} \\
& =\frac{a d-b c}{b d}
\end{aligned}
$$
Donc : $\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad-bc}{bd}$
Exemples:
$$
\begin{aligned}
\textbf {1.}\quad A & =\frac{-28}{3}-\frac{5}{3} \\
A & =\frac{-28}{3}-\frac{5}{3} \\
A & =\frac{-28-5}{3} \\
A & =\frac{-33}{3} \\
A & =-11
\end{aligned}\quad\quad
\begin{aligned}
\textbf {2.}\quad B & =\frac{-3}{4}-\frac{7}{6} \\
B & =\frac{-3}{4}-\frac{7}{6} \\
B & =\frac{-9}{12}-\frac{14}{12} \\
B & =\frac{-9-14}{12} \\
B & =\frac{-23}{12}
\end{aligned}
$$
III. PRODUIT DE DEUX NOMBRES RATIONNELS
- on multiplie les numérateurs entre eux;
- on multiplie les dénominateurs entre eux .
Exemples :
$\quad \begin{aligned}
\textbf{1.}\quad A&=\dfrac{9}{5} \times \dfrac{2}{7}\\
A&=\dfrac{9 \times 2}{5 \times 7} \\
A&=\dfrac{18}{35}
\end{aligned}$
$\quad\begin{aligned}
\textbf{2.}\quad B&=4 \times \dfrac{11}{13}\\
B&=\dfrac{4 \times 11}{13}\\
B&=\dfrac{44}{13}
\end{aligned}$
$\quad\begin{aligned}
\textbf{3.}\quad C&=\dfrac{5}{6} \times \dfrac{36}{25}\\
C&=\dfrac{5 \times 6 \times 6}{6\times 5\times 5} \\
C&=\dfrac{6}{5} .
\end{aligned}$
- $\quad\quad\dfrac{a}{b}$ est un nombre rationnel : $1 \times \dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b} \quad$ et $\quad \dfrac{a}{b} \times 0=0$
- $\quad\quad\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d}$ et $\dfrac{e}{f}$ sont des nombres rationnels :
$$
\begin{aligned}
\bullet & \dfrac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{c}{d} \times \frac{a}{b} \\
\bullet & \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f}=\left(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}\right) \times \frac{e}{f}=\frac{a}{b} \times\left(\frac{c}{d} \times \frac{e}{f}\right)
\end{aligned}
$$
Exemple: $$\begin{aligned}
\frac{3}{5} \times \frac{7}{8} \times \frac{5}{9} & =\frac{3}{5} \times \frac{5}{9} \times \frac{7}{8} \\
& =\frac{3}{1} \times \frac{1}{9} \times \frac{7}{8}=\frac{1}{3} \times \frac{7}{8}=\frac{7}{24}\end{aligned}$$
IV. QUOTIENT DE DEUX NOMBRES RATIONNELS
1. Inverse d’un nombre rationnel non nul.
D’où: $\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{b}{a} \quad$ et $\quad\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}=\dfrac{b}{a}$.
Exemples:
- $-3 \times \dfrac{1}{-3}=1$, donc $\dfrac{1}{-3}$ est l’inverse de $-3$.
- $4 \times 0,25=1$, donc $4$ est l’inverse de $0,25$.
- $0,5 \times 2=1$, donc $0,5$ est l’inverse de $2$.
2. Quotient de deux nombres rationnels
Le quotient de $\dfrac{a}{b}$ par $\dfrac{c}{d}$ est le produit de $\dfrac{a}{b}$ par l’inverse de $\dfrac{c}{d}$.
Exemples :
- $-\dfrac{8}{5}\div \dfrac{4}{3}=-\dfrac{8}{5} \times \dfrac{3}{4}=-\dfrac{4 \times 2 \times 3}{5 \times 4}=-\dfrac{6}{5}$
- $\dfrac{9}{11}\div (-4)=\dfrac{9}{10} \times\left(\dfrac{-1}{4}\right)=\dfrac{-9}{40}$
Simplifier les nombres suivants : $$\dfrac{-72}{54} \quad et \quad \dfrac{165}{75}$$
Réduire les nombres rationnels $\dfrac{6}{5}$ et $\dfrac{17}{25}$ au même dénominateur.
Réduire les nombres rationnels $\dfrac{5}{24}$ et $\dfrac{-7}{32}$ au meme dénominateur.
Déterminer le nombre qui manque : $\dfrac{15}{27}=\dfrac{-30}{\cdots}$
Montrer que les nombres rationnels $\dfrac{45}{60}$ et $\dfrac{63}{84}$ sont égaux.
$a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres rationnels tels que : $b\neq 0$, $d\neq 0$, $b+d\neq 0$ et $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}.$
Montrer que : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}.$
$x$ et $y$ sont deux nombres rationnels tels que : $\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$ et $x+y=-5$
Déterminer $x$ et $y$.
Déterminer les nombres entiers relatifs $x$ tels que : $$\dfrac{26}{27}<\dfrac{x}{54}<\dfrac{7}{6}$$
Un robinet A remplit un bassin en 4 heures.
Un robinet B le remplit en 6 heures.
A 9h30min, on ouvre le robinet A.
Dès que le bassin est à moitié plein, on ouvre le robinet B.
A quelle heure le bassin sera-t-il plein?