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Chapitre 2

Notions d’ensembles

Un ensemble est une collection d’objets. Les objets qui forment l’ensemble sont appellés les éléments de cet ensemble.

Exemples : $A=\big\{-1;3;5\big\}$ et $B=\big\{a;b;c;d\big\}$ sont des ensembles. $-1$, $3$ et $5$ sont les élements de l’ensemble $A$ et on écrit $3\in A$ (lire $3$ appartient à $A$) et $8\not\in A$ (lire $8$ n’appartient pas à $A$)

Définition : (ensemble vide)
L’ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l’ensemble vide et est noté $\varnothing$.
Définition : (sous ensemble)
On dit qu’un ensemble $A$ est un sous ensemble ou une partie de $E$ si tout élément de $A$ est un élement de $E$, et on note $A\subset E$.

Exemlpe : $A=\{-3;9\}$ est une partie de $E=\{-5;-3;6;9;13\}$

Définition : (Égalité de deux ensemble)
Soit $E$ et $F$ deux ensembles.
On dit que $E$ et $F$ sont égaux lorsqu’ils ont les mêmes éléments et on écrit $E=F$.

Exemlpe : Si $A=\{x\in\mathbb{R}; |x|\le 2\}$ et $B=\big[-2;2\big]$, alors $A=B$

Inclusion

Définition : Soit $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$.
On dit que $A$ est incluse dans $B$ si tout élément de $A$ appartient à $B$, et on écrit $A \subset B$.\[\left[ {A \subset B} \right] \Leftrightarrow \left[ {\left( {\forall x \in E} \right);\,\,x \in A \Rightarrow x \in B} \right]\]On a toujours : $\varnothing \subset  A$ et $A \subset A$.

Inclusion d'une ensemble dans une autre
Exemples :

  • On cosidère l’ensemble : $E=\{-5;-3;0;4;9\}$. On a : $$\{4\} \subset E\quad ; \quad\{-5;0;9\} \subset E\quad ; \quad\{-3;-1;4\}\not\subset E$$
  • On a : $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\quad ; \quad\left] {0; + \infty } \right[ \subset \mathbb{R}\quad ; \quad\{0;3;7;8\}\subset \mathbb{N}$$
Proposition : Soit $A$, $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$.

$\bullet\quad A = B \Leftrightarrow \left( {A \subset B\,\,\,et\,\,B \subset A} \right)$

$\bullet\quad \left\{ \begin{array}{l}
A \subset B\\
B \subset C
\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,\,A \subset C$

Ensemble des parties d’un ensemble

Définition : Soit $E$ un ensemble.
L’ensemble des parties d’un ensemble $E$ est un ensemble dont les éléments sont les parties de $E$.
Cet ensemble dont les éléments sont les sous-ensembles de $E$ est noté $\mathscr{P}(E)$. $$A \subset E \Longleftrightarrow A \in \mathscr{P}(E).$$
Remarques :

  • $\varnothing \in E \quad$ (ici $\varnothing$ est un élément)
  • $\varnothing \subset \mathscr{P}(E)$ (ici $\varnothing$ est un ensemble)
  • Le nombre de parties d’un ensemble $E$ constitué de $n$ éléments est égal à $2^n$.

Exemples : On cosidère l’ensemble $E=\{x,y,z\}$, dans ce cas, $\mathscr{P}(E)$ est constitué des $2^3=8$ éléments suivants : $$\mathscr{P}(E)=\Big\{\{\varnothing\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\Big\}$$

Complémentaire

Définition : Soit $A$ une partie d’un ensemble $E$.
L’ensemble des éléments de $E$ n’appartenant pas à l’ensemble $A$ est appelé le complémentaire de $A$ dans $E$. on le note $\complement_E^A$ ou $\overline A$.
On a : $$\complement_E^A=\big\{x\in E/ x\not\in A\big\}\quad\text{et}\quad x\in \overline A \Leftrightarrow x\not\in A$$

Complémentaire d'un ensemble
Exemples :

  • On a : $\quad\complement_\mathbb{N}^{\{0\}}=\mathbb{N}^*\quad$  ;  $\quad\complement_{\mathbb{R}}^{\mathbb{R}^*}=\{0\}\quad$ ; $\quad\complement_{\mathbb{R}}^{[0;2]}=\left] { – \infty ;0} \right[ \cup \left] {2; + \infty } \right[$
  • On cosidère les deux ensembles : $$E=\big\{e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6\big\}\quad \text{et}\quad A=\big\{e_1,e_2\big\}$$ Dans ce cas, on a : $$\complement_{E}^{A}=\big\{e_3,e_4,e_5,e_6\big\}$$
Proposition : Soit $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$. On a :

$\bullet\quad \overline \varnothing =E\quad$ et $\quad\overline E =\varnothing$

$\bullet\quad \overline{(\overline A)} =A$

$\bullet\quad  A \subset B \Leftrightarrow \overline B \subset \overline A$

Intersection

Définition : Soit $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$.
L’intersection des ensembles $A$ et $B$, ontée $A \cap B$, est l’ensemble des éléments de$E$ qui sont dans $A$ et dans $B$. C’est-à-dire :
\[x \in A \cap B \Leftrightarrow \left( {x \in A\,\,\text{ et }\,\,x \in B} \right)\] On a alors : \[A \cap B = \left\{ {x \in E/\,\,x \in A\,\,\text{ et }\,\,x \in B} \right\}\]

Intersection de deux ensembles
Exemples : On considères les ensemble suivantes : $$A=\big\{a,b,c,d\big\}\quad\text{et}\quad B=\big\{a,b,c,e\big\}$$ Dans ce cas, on a : $$A \cap B =\big\{a,b,c\big\}$$

Proposition : Soit $A$, $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$.
$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\  A \cap B=B \cap A &\quad\quad\mathbf{2.}\ A \cap E=A\\
\mathbf{3.}\  A \cap \varnothing=\varnothing &\quad\quad\mathbf{4.}\ A \cap A=A\\
\mathbf{5.}\ A \cap \bar{A}=\varnothing &\quad\quad\mathbf{6.}\ A \cap B \subset A\\
\mathbf{7.}\ A \cap B \subset B &\quad\quad\mathbf{8.}\ A \cap B=A \Leftrightarrow A \subset B\\
\mathbf{9.}\ A \cap (B \cap C)=(A\cap B)\cap C &\quad\quad\\
\end{array}$$

Réunion

Définition : Soit $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$.
La réunion des ensembles $A$ et $B$, ontée $A \cup B$, est l’ensemble des éléments de $E$ qui sont dans $A$ ou dans $B$. C’est-à-dire :
\[x \in A \cup B \Leftrightarrow \left( {x \in A\,\,\text{ ou }\,\,x \in B} \right)\] On a alors : \[A \cup B = \left\{ {x \in E/\,\,x \in A\,\,\text{ ou }\,\,x \in B} \right\}\]

Réunion de deux ensembles
Exemples : On considères les ensemble suivantes : $$A=\big\{a,b,c,d\big\}\quad\text{et}\quad B=\big\{a,b,c,e\big\}$$ Dans ce cas, on a : $$A \cup B =\big\{a,b,c,d,e\big\}$$

Proposition : Soit $A$, $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$.
$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\  A \cup B=B \cup A &\quad\quad\mathbf{2.}\ A \cup E=E\\
\mathbf{3.}\  A \cup \varnothing=A &\quad\quad\mathbf{4.}\ A \cup A=A\\
\mathbf{5.}\ A \cup \bar{A}=E  &\quad\quad\mathbf{6.}\ A \subset A \cup B\\
\mathbf{7.}\ B \subset A \cup B &\quad\quad\mathbf{8.}\ A \cup B=A \Leftrightarrow B\subset A\\
\mathbf{9.}\ A \cup (B \cup C)=(A\cup B)\cup C &\quad\quad
\end{array}$$
Proposition : Soit $A$, $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$. \[\begin{aligned}
&\bullet\quad A \cup \left( {B \cap C} \right) = \left( {A \cup B} \right) \cap \left( {A \cap C} \right)\\
&\bullet\quad A \cap \left( {B \cup C} \right) = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap C} \right)
\end{aligned}\]
Lois de Morgan : Soit $A$, $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$. \[\begin{aligned}
&\bullet\quad\overline {B \cap C} = \overline A \cup \overline B \\
&\bullet\quad\overline {B \cup C} = \overline A \cap \overline B
\end{aligned}\]

Différence de deux ensembles

Définition : Soit $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$.
La différence des ensembles $A$ et $B$, ontée $A\backslash B$, est l’ensemble des éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$. C’est-à-dire :
\[x \in A \backslash B \Leftrightarrow \left( {x \in A\,\,\text{ et }\,\,x \not\in B} \right)\] On a alors : \[A \backslash B = \left\{ {x \in E/\,\,x \in A\,\,\text{ et }\,\,x \not\in B} \right\}\]

Différence entre deux ensembles
Exemples : On considères les ensemble suivantes : $$A=\big\{a,b,c,d,e,f\big\}\quad\text{et}\quad B=\big\{e,f,g,h\big\}$$ Dans ce cas, on a : $$A \backslash B =\big\{a,b,c,d\big\}$$

Proposition : Soit $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$. \[\begin{aligned}
&\bullet\quad A\backslash B = A \cap \overline B \\
&\bullet\quad A = \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {A \cap B} \right)
\end{aligned}\]

Produit cartésien

Définition : Soit $E$ et $F$ deux ensembles.
Le produit cartésien des ensembles $E$ et $F$, ontée $E\times F$, est l’ensemble des couple $(x,y)$ tels que $x\in E$ et $y\in F$. C’est-à-dire :
\[(x,y) \in E\times F \Leftrightarrow \big( {x \in E\,\,\text{ et }\,\,y \in F} \big)\] On a alors : \[E\times F = \left\{ {(x,y) /\,\,x \in E\,\,\text{ et }\,\,y \in F} \right\}\]

Exemples : On considères les ensemble suivantes : $$E=\big\{a,b,c\big\}\quad\text{et}\quad F=\big\{x,y\big\}$$ Dans ce cas, on a : \[\begin{aligned}
&E \times F = \left\{ {\left( {a,x} \right),\left( {a,y} \right),\left( {b,x} \right),\left( {b,y} \right),\left( {c,x} \right),\left( {c,y} \right)} \right\}\\
&F \times E = \left\{ {\left( {x,a} \right),\left( {x,b} \right),\left( {x,c} \right),\left( {y,a} \right),\left( {y,b} \right),\left( {y,c} \right)} \right\}\\
&{E^2} = \left\{ {\left( {a,a} \right),\left( {a,b} \right),\left( {a,c} \right),\left( {b,a} \right),\left( {b,b} \right),\left( {b,c} \right),\left( {c,a} \right),\left( {c,b} \right),\left( {c,c} \right)} \right\}\\
&{F^2} = \left\{ {\left( {x,x} \right),\left( {x,y} \right),\left( {y,x} \right),\left( {y,y} \right)} \right\}
\end{aligned}\] À partir des exemples, il est clair que $E\times F \neq F\times E$.

La différence symétrique de deux ensembles

Définition : La différence symétrique de deux ensembles $A$ et $B$, notée $A\Delta B$, est l’ensemble des éléments qui appartiennent soit à $A$ soit à $B$, mais pas aux deux à la fois.
Autrement dit, elle représente les éléments qui sont dans l’un des ensembles mais pas dans leur intersection.

Formellement :$$A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$$

Cela peut également être exprimé de la manière suivante :

$$A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$$

Exemple : Si $A = \{1, 2, 3\}$ et $B = \{3, 4, 5\}$, alors :$$A \Delta B = \{1, 2, 4, 5\}$$

Les éléments communs (ici $3$) sont exclus.

Chapitre 1

Proposition

Définition : Une proposition mathématique est tout énoncé mathématique qui porte un sens vrai ou faux. On peut représenter les propositions par les lettres $P$, $Q$, $R$, etc.

  • Si la proposition $P$ est vraie, on le note par $V$ ou $1$.
  • Si la proposition $P$ est fausse, on la note par $F$ ou $0$.

Exemple :

  • $P$ : «$-2\in\mathbb{N}$» est une proposition fausse.
  • $Q$ : «$\frac{5}{3}>0$» est une proposition vraie.
  • $R$ : «$14$ est divisible par $6$» est une proposition fausse.

Fonction propositionnelle

Définition : Une fonction propositionnelle est une expression mathématique contenant une ou plusieurs variables qui devient une proposition lorsque les variables sont remplacées par des valeurs spécifiques.

Exemple :

  • $P(x)$ : « $x$ est un nombre pair ». Lorsque $x = 4$, $P(4)$ devient une proposition vraie.

Quantificateurs

Définition : Les quantificateurs sont des symboles utilisés pour indiquer la portée des variables dans une fonction propositionnelle. Les deux principaux quantificateurs sont :

  • Quantificateur universel ($\forall$) : Indique que la proposition est vraie pour tous les éléments d’un ensemble donné.
  • Quantificateur existentiel ($\exists$) : Indique qu’il existe au moins un élément dans l’ensemble pour lequel la proposition est vraie.
  • Quantificateur existentiel unique ($\exists!$) : Indique qu’il existe un et un seul élément dans l’ensemble pour lequel la proposition est vraie.

Exemples :

  • $(\forall x \in \mathbb{N}), x + 0 = x$ (vrai pour tous les nombres naturels $x$).
  • $(\exists x \in \mathbb{Z}), x^2 = 4$ (il existe un entier $x$ tel que $x^2 = 4$, par exemple $x = 2$).
  • $(\exists ! x\in\mathbb{N}), x+5=8$. Cet énoncé signifie qu’il existe un et un seul nombre naturel $x$ tel que $x+5=8$. En effet, la seule solution dans les nombres naturels est $x=3$, donc l’énoncé est vrai.

Négation d’une proposition

Définition : La négation d’une proposition $P$ est une nouvelle proposition qui est vraie lorsque $P$ est fausse et fausse lorsque $P$ est vraie. On note la négation de $P$ par $\neg P$ ou $\overline P$.

Table de vérité de $\overline P$
$\,\, P \,\,$ $\,\,\overline P\,\,$
$F$ $V$
$V$ $F$

Exemple :

  • La proposition $P$ : «$2$ est un nombre pair» (proposition vraie).
  • La négation $\overline P$ : «$2$ n’est pas un nombre pair» (proposition fausse).
Proposition : Soit $P(x)$ une fonction proportionnelle d’une variable $x$ d’un ensemble non vide $E$.

  • La négation de la proposition $«(\forall x\in E); P(x)»$ est la proposition $«(\exists x\in E); \overline{P(x)}».$
  • La négation de la proposition $«(\exists x\in E); P(x)»$ est la proposition $«(\forall x\in E); \overline{P(x)}».$

Exemples :

  • Proposition : $\forall x \in \mathbb{N}, x \geq 0$.
  • Négation : $\exists x \in \mathbb{N}, x < 0$ (Il existe un $x$ dans les naturels tel que $x$ est inférieur à 0).

Conjonction de deux propositions

Définition : La conjonction de deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est vraie si et seulement si $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies. On note la conjonction par $P \land Q$.

Table de vérité de $P \land Q$
$P$ $Q$ $P$ et $Q$
$F$ $F$ $F$
$F$ $V$ $F$
$V$ $F$ $F$
$V$ $V$ $V$

Exemple :

  • $P$ : « $2$ est un nombre pair » (vraie).
  • $Q$ : « $3$ est un nombre impair » (vraie).
  • $P \land Q$ : « $2$ est un nombre pair et 3 est un nombre impair » (vraie).

Disjonction de deux propositions

Définition : La disjonction de deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est vraie si au moins une des deux propositions est vraie. On note la disjonction par $P \lor Q$.

Table de vérité de $P \lor Q$
$P$ $Q$ $P$ ou $Q$
$F$ $F$ $F$
$F$ $V$ $V$
$V$ $F$ $V$
$V$ $V$ $V$

Exemple :

  • $P$ : « 2 est un nombre impair » (fausse).
  • $Q$ : « 3 est un nombre impair » (vraie).
  • $P \lor Q$ : « 2 est un nombre impair ou 3 est un nombre impair » (vraie).

Implication de deux propositions

Définition : L’implication entre deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est fausse uniquement si $P$ est vraie et $Q$ est fausse. On note l’implication par $P \Rightarrow Q$.

Table de vérité de $P \Rightarrow Q$
$P$ $Q$ $P\Rightarrow Q$
$F$ $F$ $F$
$F$ $V$ $V$
$V$ $F$ $V$
$V$ $V$ $V$

Exemple :

  • $P$ : « 4 est un nombre pair » (vraie).
  • $Q$ : « 4 est un multiple de 2 » (vraie).
  • $P \Rightarrow Q$ : « Si 4 est un nombre pair, alors 4 est un multiple de 2 » (vraie).

Équivalence de deux propositions

Définition : L’équivalence entre deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est vraie si et seulement si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité. On note l’équivalence par $P \Leftrightarrow Q$.

Table de vérité de $P \Leftrightarrow Q$
$P$ $Q$ $P\Leftrightarrow Q$
$F$ $F$ $V$
$F$ $V$ $F$
$V$ $F$ $F$
$V$ $V$ $V$

Exemple :

  • $P$ : « 5 est un nombre premier » (vraie).
  • $Q$ : « 5 n’a que deux diviseurs distincts » (vraie).
  • $P \Leftrightarrow Q$ : « 5 est un nombre premier si et seulement si 5 n’a que deux diviseurs distincts » (vraie).

Lois logiques et raisonnements

Loi logique ou tautologie

Exemple : Les propositions suivantes sont des lois logiques :

  • $P$ et $(Q$ ou $R) \Leftrightarrow (P$ et $Q)$ ou $(P$ et $R)$
  • $P$ ou $(Q$ et $R) \Leftrightarrow (P$ ou $Q)$ et $(P$ ou $R)$

Loi de Morgan

Proposition : Soit $P$ et $Q$ deux propositions. Les deux propositions suivantes sont des lois logiques:

  • $\overline{ (P \text{ et } Q)} \Leftrightarrow \overline{P} \text{ ou } \overline{Q}$
  • $\overline{(P \text{ ou } Q)} \Leftrightarrow \overline{P} \text{ et } \overline{Q}$

Implication

Proposition : Soit $P$ et $Q$ deux propositions :

  • $(P \Rightarrow Q )\Leftrightarrow (\overline{P} \text{ ou } Q)$

Raisonnement par contraposée

Proposition : Soit $P$ et $Q$ deux propositions.

  • $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\overline{Q}\Rightarrow \overline{P})$

Exemple :

Soit $x$ et $y$ deux nombres réels dans $]1;+\infty[$. Montrons que : $$x\neq y\Rightarrow x^2-2x\neq y^2-2y$$
Il suffit d’utiliser le raisennement par contraposé en montrant que : $$x^2-2x =  y^2-2y \Rightarrow x=y$$

On a :
\[\begin{aligned}
{x^2}- 2x = {y^2}- 2y &\Rightarrow {x^2}- {y^2}- 2\left( {x{\rm{\;}}- y} \right) = 0\\
&\Rightarrow \left( {x- y} \right)\left( {x + y} \right)- 2\left( {x- y} \right) = 0\\
&\Rightarrow \left( {x- y} \right)\left( {x + y- 2} \right) = 0\\
&\Rightarrow x- y = 0\,\,ou\,\,x + y- 2 = 0\\
&\Rightarrow x = y\,\,ou\,\,x + y = 2
\end{aligned}\]
Puisque $x>1$ et $y>1$, alors $x+y>2$, donc $x+y\neq 2$
Donc : ${x^2}- 2x = {y^2}- 2y \Rightarrow x=y$. Ainsi : $x\neq y\Rightarrow x^2-2x\neq y^2-2y$

Raisonnement par l’absurde

Proposition : Soit $P$ et $Q$ deux propositions. La propositions suivante est une loi logique : \[\left[ {\left( {\overline P \Rightarrow Q} \right)\,\,et\,\,\left( {\overline P \Rightarrow \overline Q } \right)} \right] \Rightarrow P\]

Exemple : Montrons que  $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5n + 7} \notin \mathbb{N}$

Raisonnement par l’absurde : On suppose que $\left( {\exists {n_0} \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5n_0 + 7} \in \mathbb{N}$,
donc : $\left( {\exists {N_0} \in \mathbb{N}} \right)$ tel que :
\[\begin{aligned}
\sqrt {5{n_0} + 7} = {N_0}\\
5{n_0} + 7 = N_0^2\\
5\left( {{n_0} + 1} \right) + 2 = N_0^2
\end{aligned}\]

Ainsi, $2$ est le reste de la division euclidienne de $N_0^2$ par $5$, ce qui est impossible car le reste de la division euclidienne d’un entier naturel $n$ par $5$ est $1$ ou $4$. Par conséquent, l’hypothèse est fausse, et donc : \[\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5n + 7} \notin \mathbb{N}\]

Raisennement par disjonction des cas

Proposition : Soit $P$, $Q$ et $R$ trois propositions.
La proposition suivante est une loi logique : \[\left[ {\left( {P \Rightarrow R} \right)\,\,et\,\,\left( {Q \Rightarrow R} \right)} \right] \Leftrightarrow \left[ {\left( {P\,\,ou\,\,Q} \right) \Rightarrow R} \right]\]

Exemple : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $$(E) : x^2 – 2(1+m)x + 4 = 0,$$ où $m$ est un paramètre réel.

Solution : Calculons le discriminant $\Delta$ de cette équation : \[\Delta = 4{\left( {1 + m} \right)^2} – 16 = 4\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)\]

1ère cas : Si $\Delta <0$, c’est-à-dire $m\in ]-3;1[$, alors l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est: $$S=\varnothing.$$

2ème cas : Si $\Delta =0$, c’est-à-dire $m=1$ ou $m=-3$, alors l’équation $(E)$ admet une seule solution qui est $1+m$, alors l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est : $$S=\{1+m\}.$$

3ème cas : Si $\Delta >0$, c’est-à-dire $m \in \left] { – \infty ; – 3} \right[ \cup \left] {1; + \infty } \right[$, alors l’équation $(E)$ admet deux solutions distinctes données par : $${x_1} = m + 1 – \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)}\,\,\text{ et } \,\, {x_2} = m + 1 + \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)},$$ alors l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est : $$S = \left\{ {m + 1 – \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)} \,\,;\,\,m + 1 + \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)} } \right\}.$$

Raisonnement par récurrence

Proposition : Soit $P(n)$ une proposition qui dépend d’un entier naturel $n$ et $n_0\in\mathbb{N}$.

Si la proposition $P(n_0)$ est vraie et si l’implication «$P\left( n \right) \Rightarrow P\left( {n + 1} \right)$» est vraie pour tout $n\ge n_0$, alors, la proposition $P(n)$ est vraie, pour tout entier $n\ge n_0$.

Exemple : Montrons par récurrence que : $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,{3^n} \ge 1 + 2n$

  • Pour $n=0$, on a : $3^0\ge 1+2\times 0$
  • Supposons que : ${3^n} \ge 1 + 2n$ et montrons que : ${3^{n+1}} \ge 1 + 2(n+1)$
    On a : \[\begin{aligned}
    {3^n} \ge 1 + 2n &\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 3\left( {1 + 2n} \right)\\
    &\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 3 + 6n\\
    &\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 3 + 2n\,\,\,\,\left( {\text{ car }\,\,6n \ge 2n} \right)\\
    &\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 1 + 2\left( {n + 1} \right)
    \end{aligned}\]
  • Finalement $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,{3^n} \ge 1 + 2n$
Exercice 1 Mathxi math math math - La négation et la vérité d'une proposition [Signaler une erreur]
Enoncé math

Considérons la proposition $P$ :$$P: \quad(\forall y \in \mathbb{R}^*) \, (\exists x \in \mathbb{R}) \text{ ; } \quad x^2 – xy + y^2 = 0.$$

  1. Déterminer la négation de la proposition $P$.
  2. Montrer que la proposition $P$ est fausse.

Indication math
Corrigé math
Exercice 2 Mathxi math math math - Raisonnement par contre exemple [Signaler une erreur]
Enoncé math

Montrer que la proposition suivante est fausse :
$$\forall x \in ]0, 1[,\quad \dfrac{2x}{x^2(1 – x^2)} < 0.$$
Indication math
Corrigé math
Exercice 3 Mathxi math math math - Raisonnement par la contraposée [Signaler une erreur]
Enoncé math

Montrer en utilisant la contraposée que :
$$\left(xy \neq 1 \text{ et } x \neq y \right) \Rightarrow \dfrac{x}{x^2 + x+ 1} \neq \dfrac{y}{y^2+y+1}.$$
Indication math
Corrigé math
Exercice 4 Mathxi math math math - Raisonnement par disjonction des cas [Signaler une erreur]
Enoncé math

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante :
\[\sqrt {2x + 19 – 8\sqrt {2x + 3} } + \sqrt {2x + 7 – 4\sqrt {2x + 3} } = 6\]
Indication math
Corrigé math
Exercice 5 Mathxi math math math - Raisonnement par implication [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soient $a$ et $b$ deux nombre réels. Considérons les propositions $P$ et $Q$ suivantes :$$\begin{aligned}
&\bullet\quad P \,: \,\,\left(a^3 + b^3 < 1 < a + b\right)\\
&\bullet\quad Q \,:\,\, \left(0 < a < 1\text{ et } 0 < b < 1\right)
\end{aligned}$$Montrer que $P \Rightarrow Q$.
Indication math
Corrigé math
Exercice 6 Mathxi math math math - Raisonnement par l'absurde [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soient $a$, $b$ et $c$ des nombres réels strictement positifs tels que
$$a + b + c < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \,\text{ et }\, abc > 1$$

  1. Montrer que tous ces nombres ne sont pas égaux à $1$.
  2. Montrer par l’absurde que l’un de ces nombres est inférieur à $1$.

Indication math
Corrigé math
Exercice 7 Mathxi math math math - Raisonnement par des équivalences successives [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que : $a + b = 2$ et $|a| < |b|$.
Montrer que : \[1 \in \left] {\left| a \right|;\left| b \right|} \right[ \Leftrightarrow ab \in \left] { – 3;1} \right[.\]
Indication math
Corrigé math
Exercice 8 Mathxi math math math - Raisonnement par disjonction des cas [Signaler une erreur]
Enoncé math

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation suivante :
$$\sqrt{x^2 – 5x + 6} > x + 4.$$
Indication math
Corrigé math
Exercice 9 Mathxi math math math - Raisonnement par récurrence [Signaler une erreur]
Enoncé math

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, le nombre $n^3 – n$ est divisible par $6$.
Indication math
Corrigé math
Exercice 10 Mathxi math math math - Raisonnement par récurrence [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soit $x$ un nombre réel strictement positif.

  1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$:
    $$(1 + x)^n \geq 1 + nx.$$
  2. En déduire les inégalités suivantes :
    1. $\big(\forall n \in \mathbb{N}\big),\,\,\, 2^n \geq 1 + n$
    2. $\big(\forall n \in \mathbb{N}\big), \,\,\, 3^n \geq n$
    3. $\big(\forall n \in \mathbb{N}^*\big),\,\,\, (n + 1)^n \geq 2^n n$.

Indication math
Corrigé math

Chapitre 1

Proposition

Définition : Une proposition mathématique est tout énoncé mathématique qui porte un sens vrai ou faux. On peut représenter les propositions par les lettres $P$, $Q$, $R$, etc.

  • Si la proposition $P$ est vraie, on le note par $V$ ou $1$.
  • Si la proposition $P$ est fausse, on la note par $F$ ou $0$.

Exemple :

  • $P$ : «$-2\in\mathbb{N}$» est une proposition fausse.
  • $Q$ : «$\frac{5}{3}>0$» est une proposition vraie.
  • $R$ : «$14$ est divisible par $6$» est une proposition fausse.

Fonction propositionnelle

Définition : Une fonction propositionnelle est une expression mathématique contenant une ou plusieurs variables qui devient une proposition lorsque les variables sont remplacées par des valeurs spécifiques.

Exemple :

  • $P(x)$ : « $x$ est un nombre pair ». Lorsque $x = 4$, $P(4)$ devient une proposition vraie.

Quantificateurs

Définition : Les quantificateurs sont des symboles utilisés pour indiquer la portée des variables dans une fonction propositionnelle. Les deux principaux quantificateurs sont :

  • Quantificateur universel ($\forall$) : Indique que la proposition est vraie pour tous les éléments d’un ensemble donné.
  • Quantificateur existentiel ($\exists$) : Indique qu’il existe au moins un élément dans l’ensemble pour lequel la proposition est vraie.
  • Quantificateur existentiel unique ($\exists!$) : Indique qu’il existe un et un seul élément dans l’ensemble pour lequel la proposition est vraie.

Exemples :

  • $(\forall x \in \mathbb{N}), x + 0 = x$ (vrai pour tous les nombres naturels $x$).
  • $(\exists x \in \mathbb{Z}), x^2 = 4$ (il existe un entier $x$ tel que $x^2 = 4$, par exemple $x = 2$).
  • $(\exists ! x\in\mathbb{N}), x+5=8$. Cet énoncé signifie qu’il existe un et un seul nombre naturel $x$ tel que $x+5=8$. En effet, la seule solution dans les nombres naturels est $x=3$, donc l’énoncé est vrai.

Négation d’une proposition

Définition : La négation d’une proposition $P$ est une nouvelle proposition qui est vraie lorsque $P$ est fausse et fausse lorsque $P$ est vraie. On note la négation de $P$ par $\neg P$ ou $\overline P$.

Table de vérité de $\overline P$
$\,\, P \,\,$ $\,\,\overline P\,\,$
$0$ $1$
$1$ $0$

Exemple :

  • La proposition $P$ : «$2$ est un nombre pair» (proposition vraie).
  • La négation $\overline P$ : «$2$ n’est pas un nombre pair» (proposition fausse).
Proposition : Soit $P(x)$ une fonction proportionnelle d’une variable $x$ d’un ensemble non vide $E$.

  • La négation de la proposition $«(\forall x\in E); P(x)»$ est la proposition $«(\exists x\in E); \overline{P(x)}».$
  • La négation de la proposition $«(\exists x\in E); P(x)»$ est la proposition $«(\forall x\in E); \overline{P(x)}».$

Exemples :

  • Proposition : $\forall x \in \mathbb{N}, x \geq 0$.
  • Négation : $\exists x \in \mathbb{N}, x < 0$ (Il existe un $x$ dans les naturels tel que $x$ est inférieur à 0).

Conjonction de deux propositions

Définition : La conjonction de deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est vraie si et seulement si $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies. On note la conjonction par $P \land Q$.

Table de vérité de $P \land Q$
$P$ $Q$ $P\land Q$
$0$ $0$ $0$
$0$ $1$ $0$
$1$ $0$ $0$
$1$ $1$ $1$

Exemple :

  • $P$ : « $2$ est un nombre pair » (vraie).
  • $Q$ : « $3$ est un nombre impair » (vraie).
  • $P \land Q$ : « $2$ est un nombre pair et 3 est un nombre impair » (vraie).

Disjonction de deux propositions

Définition : La disjonction de deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est vraie si au moins une des deux propositions est vraie. On note la disjonction par $P \lor Q$.

Table de vérité de $P \lor Q$
$P$ $Q$ $P\lor Q$
$0$ $0$ $0$
$0$ $1$ $1$
$1$ $0$ $1$
$1$ $1$ $1$

Exemple :

  • $P$ : « 2 est un nombre impair » (fausse).
  • $Q$ : « 3 est un nombre impair » (vraie).
  • $P \lor Q$ : « 2 est un nombre impair ou 3 est un nombre impair » (vraie).

Implication de deux propositions

Définition : L’implication entre deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est fausse uniquement si $P$ est vraie et $Q$ est fausse. On note l’implication par $P \Rightarrow Q$.

Table de vérité de $P \Rightarrow Q$
$P$ $Q$ $P\Rightarrow Q$
$0$ $0$ $0$
$0$ $1$ $1$
$1$ $0$ $1$
$1$ $1$ $1$

Exemple :

  • $P$ : « 4 est un nombre pair » (vraie).
  • $Q$ : « 4 est un multiple de 2 » (vraie).
  • $P \Rightarrow Q$ : « Si 4 est un nombre pair, alors 4 est un multiple de 2 » (vraie).

Équivalence de deux propositions

Définition : L’équivalence entre deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est vraie si et seulement si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité. On note l’équivalence par $P \Leftrightarrow Q$.

Table de vérité de $P \Leftrightarrow Q$
$P$ $Q$ $P\Leftrightarrow Q$
$0$ $0$ $1$
$0$ $1$ $0$
$1$ $0$ $0$
$1$ $1$ $1$

Exemple :

  • $P$ : « 5 est un nombre premier » (vraie).
  • $Q$ : « 5 n’a que deux diviseurs distincts » (vraie).
  • $P \Leftrightarrow Q$ : « 5 est un nombre premier si et seulement si 5 n’a que deux diviseurs distincts » (vraie).

Lois logiques et raisonnements

Loi logique ou tautologie

Exemple : Les propositions suivantes sont des lois logiques :

  • $P\land (Q\lor R) \Leftrightarrow (P \land Q) \lor (P \land R)$
  • $P \lor (Q \land R) \Leftrightarrow (P \lor Q) \land (P \lor R)$

Loi de Morgan

Proposition : Soit $P$ et $Q$ deux propositions. Les deux propositions suivantes sont des lois logiques:

  • $\overline{ (P \land Q)} \Leftrightarrow \overline{P} \lor \overline{Q}$
  • $\overline{(P \lor Q)} \Leftrightarrow \overline{P} \land \overline{Q}$

Implication

Proposition : Soit $P$ et $Q$ deux propositions :

  • $(P \Rightarrow Q )\Leftrightarrow (\overline{P} \lor Q)$

Raisonnement par contraposée

Proposition : soit $P$ et $Q$ deux propositions.

  • $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\overline{Q}\Rightarrow \overline{P})$

Exemple :

Soit $x$ et $y$ deux nombres réels dans $]1;+\infty[$. Montrons que : $$x\neq y\Rightarrow x^2-2x\neq y^2-2y$$
Il suffit d’utiliser le raisennement par contraposé en montrant que : $$x^2-2x =  y^2-2y \Rightarrow x=y$$

On a :
\[\begin{aligned}
{x^2}- 2x = {y^2}- 2y &\Rightarrow {x^2}- {y^2}- 2\left( {x{\rm{\;}}- y} \right) = 0\\
&\Rightarrow \left( {x- y} \right)\left( {x + y} \right)- 2\left( {x- y} \right) = 0\\
&\Rightarrow \left( {x- y} \right)\left( {x + y- 2} \right) = 0\\
&\Rightarrow x- y = 0\,\,ou\,\,x + y- 2 = 0\\
&\Rightarrow x = y\,\,ou\,\,x + y = 2
\end{aligned}\]
Puisque $x>1$ et $y>1$, alors $x+y>2$, donc $x+y\neq 2$
Donc : ${x^2}- 2x = {y^2}- 2y \Rightarrow x=y$. Ainsi : $x\neq y\Rightarrow x^2-2x\neq y^2-2y$

Raisonnement par l’absurde

Proposition : Soit $P$ et $Q$ deux propositions. La propositions suivante est une loi logique : \[\left[ {\left( {\overline P \Rightarrow Q} \right)\,\,et\,\,\left( {\overline P \Rightarrow \overline Q } \right)} \right] \Rightarrow P\]

Exemple : Montrons que  $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5n + 7} \notin \mathbb{N}$

Raisonnement par l’absurde : On suppose que $\left( {\exists {n_0} \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5n_0 + 7} \in \mathbb{N}$,
donc : $\left( {\exists {N_0} \in \mathbb{N}} \right)$ tel que :
\[\begin{aligned}
\sqrt {5{n_0} + 7} = {N_0}\\
5{n_0} + 7 = N_0^2\\
5\left( {{n_0} + 1} \right) + 2 = N_0^2
\end{aligned}\]

Ainsi, $2$ est le reste de la division euclidienne de $N_0^2$ par $5$, ce qui est impossible car le reste de la division euclidienne d’un entier naturel $n$ par $5$ est $1$ ou $4$. Par conséquent, l’hypothèse est fausse, et donc : \[\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5n + 7} \notin \mathbb{N}\]

Raisennement par disjonction des cas

Proposition : Soit $P$, $Q$ et $Q$ trois propositions.
La proposition suivante est une loi logique : \[\left[ {\left( {P \Rightarrow R} \right)\,\,et\,\,\left( {Q \Rightarrow R} \right)} \right] \Leftrightarrow \left[ {\left( {P\,\,ou\,\,Q} \right) \Rightarrow R} \right]\]

Exemple : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $$(E) : x^2 – 2(1+m)x + 4 = 0,$$ où $m$ est un paramètre réel.

Solution : Calculons le discriminant $\Delta$ de cette équation : \[\Delta = 4{\left( {1 + m} \right)^2} – 16 = 4\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)\]

1ère cas : Si $\Delta <0$, c’est-à-dire $m\in ]-3;1[$, alors l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est: $$S=\varnothing.$$

2ème cas : Si $\Delta =0$, c’est-à-dire $m=1$ ou $m=-3$, alors l’équation $(E)$ admet une seule solution qui est $1+m$, alors l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est : $$S=\{1+m\}.$$

3ème cas : Si $\Delta >0$, c’est-à-dire $m \in \left] { – \infty ; – 3} \right[ \cup \left] {1; + \infty } \right[$, alors l’équation $(E)$ admet deux solutions distinctes données par : $${x_1} = m + 1 – \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)}\,\,\text{ et } \,\, {x_2} = m + 1 + \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)},$$ alors l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est : $$S = \left\{ {m + 1 – \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)} \,\,;\,\,m + 1 + \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)} } \right\}.$$

Raisonnement par récurrence

Proposition : Soit $P(n)$ une proposition qui dépend d’un entier naturel $n$ et $n_0\in\mathbb{N}$.

Si la proposition $P(n_0)$ est vraie et si l’implication «$P\left( n \right) \Rightarrow P\left( {n + 1} \right)$» est vraie pour tout $n\ge n_0$, alors, la proposition $P(n)$ est vraie, pour tout entier $n\ge n_0$.

Exemple : Montrons par récurrence que : $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,{3^n} \ge 1 + 2n$

  • Pour $n=0$, on a : $3^0\ge 1+2\times 0$
  • Supposons que : ${3^n} \ge 1 + 2n$ et montrons que : ${3^{n+1}} \ge 1 + 2(n+1)$
    On a : \[\begin{aligned}
    {3^n} \ge 1 + 2n &\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 3\left( {1 + 2n} \right)\\
    &\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 3 + 6n\\
    &\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 3 + 2n\,\,\,\,\left( {\text{ car }\,\,6n \ge 2n} \right)\\
    &\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 1 + 2\left( {n + 1} \right)
    \end{aligned}\]
  • Finalement $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,{3^n} \ge 1 + 2n$
Exercice 1 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Déterminez une opération pour ce qui suit : $A=\left( {2x- 1} \right)\left( {x- 4} \right) + \left( {2x- 1} \right)\left( {-3x + 5} \right)$

  1. $A=\left( {2x- 1} \right)\left( {-2x+ 1} \right)$
  2. $A=\left( {2x- 1} \right)\left( {4x+ 1} \right)$
  3. $A=\left( {2x- 1} \right)\left( {x- 4} \right)\left( {-3x+ 5} \right)$
  4. $ A=- 2\left( {2x- 1} \right)$

Indication math
Corrigé math
Exercice 2 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Observez la figure suivante :

Triangle rectangle et triangle isocèle ayant un coté commun, pour appliquer le théorème de Pythagore.

Q1. Le triangle $BCD$ est-il rectangle? Oui ou non.

Q2. Calculer $\mathcal{p}$ le périmètre de la figure $ABCD$

  1. $\mathcal{p}=40$
  2. $\mathcal{p}=50$
  3. $\mathcal{p}=60$
  4. $\mathcal{p}=30$

Indication math
Corrigé math
Exercice 3 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Calculer  : $B=\dfrac{14}{5-\sqrt{11}}-\dfrac{11}{\sqrt{11}}$

  1. $B=5\sqrt{11}$
  2. $B=5+\sqrt{11}$
  3. $B=5$
  4. $B=\dfrac{5}{11-5\sqrt{11}}$

Indication math
Corrigé math
Exercice 4 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Dans la figure suivante, $ABCD$ est un rectangle tel que $AB=4 cm$ et $AD=3 cm$. Soit $M$ un point du segment $[AB]$ et $N$ un point du segment $[BC]$ tels que $AM=x$ et $CN=1cm$.

Rectangle inscrit dans un rectangle avec des dimensions spécifiques et des points marqués pour l'analyse géométrique.

Sachant que l’aire du rectangle $ABCD$ est trois fois celle du rectangle $BNPM$.
Déterminer la valeur de $x$.

  1. $4cm$
  2. $2cm$
  3. $1cm$
  4. $3cm$

Indication math
Corrigé math
Exercice 5 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Dans la figure suivante, les triangles $ABC$ et $ACD$ sont rectangles avec : $\widehat {BAC} = \widehat {CAD} = \alpha $.

Deux triangle rectangles ayant un coté commun et un angle égal, pour calculer le cosinus d'un angle égal.

Déterminer la valeur de $cos^2 \alpha$ parmi les expressions suivantes :

  1. $\dfrac{AB}{BC}$
  2. $\dfrac{AD}{AB}$
  3. $\dfrac{AB}{DC}$
  4. $\dfrac{AB}{AD}$

Indication math
Corrigé math
Exercice 6 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soit $a$ un nombre réel positif. Développez l’expression suivante : $C={\left( {\sqrt a + 2} \right)^2} + {\left( {2\sqrt a – 1} \right)^2}$

  1. $C=5a+5$
  2. $C=a+2\sqrt a +5$
  3. $C=5a+3$
  4. $C=a+2\sqrt a+3$
  5. $C=3a+5$

Indication math
Corrigé math
Exercice 7 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soit $ABCD$ un carré inscrit dans un cercle de centre $O$ et de rayon $6$. Soit $H$ le projeté orthogonal de $O$ sur $(AB)$ (voir la figure).

Carré inscrit dans un cercle avec le projeté orthogonal du centre sur le coté du carré pour l'étude géométrique.

Calculer la distance $OH$.

  1. $OH=\sqrt 6$
  2. $OH=3\sqrt 2$
  3. $OH=3$
  4. $OH=2\sqrt 6$

Indication math
Corrigé math
Exercice 8 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Considérons dans un repère orthonormé ${\left( {O;\vec i;\vec j} \right)}$ les points $A(1;2)$, $B(-1;1)$, $C(-2;-2)$ et $D(x;y)$.
Déterminer les coordonnées du point $D$ sachant que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.

  1. $D(1;-1)$
  2. $D(0;1)$
  3. $D(0;-1)$
  4. $D(-1;0)$

Indication math
Corrigé math
Exercice 9 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Considérons dans un repère orthonormé ${\left( {O;\vec i;\vec j} \right)}$ les points $A(2;1)$ et $B(-3;2)$.
Déterminer l’équation réduite de la droite $(AB)$.

  1. $y = \dfrac{{- 1}}{5}x + \dfrac{7}{5}$
  2. $y = \dfrac{1}{5}x- \dfrac{7}{5}$
  3. $y = \dfrac{{- 1}}{5}x- \dfrac{7}{5}$
  4. $y = \dfrac{1}{5}x+ \dfrac{7}{5}$

Indication math
Corrigé math
Exercice 10 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Quel est le nombre égal à : $$D=\dfrac{3}{5} \times {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^4} \times {\left( {\dfrac{{ – 3}}{5}} \right)^3}$$

  1. $D={\left( {\dfrac{{- 3}}{5}} \right)^8}$
  2. $D=- {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{12}}$
  3. $D=- {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^7}$
  4. $D=- {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^8}$

Indication math
Corrigé math
Exercice 11 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

$OMN$ est un triangle et $P$ un point du segment $[OM]$ et $R$ un point du segment $|ON]$ tels que le segment $[PR]$ est parallèle au segment $[MN]$.

Triangle quelconque avec deux points sur les deux cotés pour appliquer le théorème de Thalès.

On donne : $OP=x$, $PM=3$, $OR=5$ et $RN=6$.
Déterminer la valeur de $x$.

  1. $3$
  2. $2,5$
  3. $2$
  4. $1,5$

Indication math
Corrigé math
Exercice 12 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Quel est le nombre égal à : $E=5,12 \times 10^3 $ ?

  1. $E=512$
  2. $E=5,12$
  3. $E=5120$
  4. $E=512000$

Indication math
Corrigé math
Exercice 13 Mathxi math math math - Construction [Signaler une erreur]
Enoncé math

Sur le schéma suivant, placez le point $N$ tel que $\overrightarrow {MN\,} = \overrightarrow {AB\,} + \overrightarrow {AC\,} $.

Vecteurs dans le plan avec un point marqué, utilisé pour tracer la somme de deux vecteurs.

Indication math
Corrigé math
Exercice 14 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Le périmètre d’un rectangle est de $284 m$. Quelle est (en mètres) la longueur de ce rectangle sachant que sa longueur dépasse sa largeur de $12 m$?

  1. $65m$
  2. $142m$
  3. $77m$
  4. $12m$

Indication math
Corrigé math
Exercice 15 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soit le nombre réel $x$ tel que : $ – 3 < 2x + 3 < 5$
Donner un encadrement du nombre $1-x$.

  1. $ – 3 < 1 – x < 0$
  2. $0 < 1 – x < 4$
  3. $4 < 1 – x < 5$
  4. $-2 < 1 – x < -1$

Indication math
Corrigé math
Exercice 16 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ tel que $\widehat {BAC} = 80^\circ$. $M$ est un point de l’arc $\overset{\huge\frown}{AC}$ ne contenant pas $B$.

Triangle isocèle inscrit dans un cercle avec un angle donné, utilisé pour calculer un angles inscrits.

Quelle est la mesure de l’angle $\widehat {BMA}$?

  1. $40°$
  2. $130°$
  3. $100°$
  4. $50°$

Indication math
Corrigé math
Exercice 17 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Donnez tous les arêtes du parallélépipède parallèles à l’arête $[AB]$.

Prisme rectangulaire avec des sommets étiquetés, idéal pour l'étude des solides en géométrie.

Indication math
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Exercice 18 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

$ABCDEFGH$ est un cube dont l’arête mesure $5$.

Représentation d'un cube en perspective avec des sommets marqués pour appliquer le théorème de Pythagore dans l'espace.

Quelle est la longueur de la diagonale $[BH]$?

  1. $BH=5\sqrt 3$
  2. $BH=5$
  3. $BH=5\sqrt 2$
  4. $BH=3\sqrt 5$

Indication math
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Exercice 19 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Le tableau ci-dessous représente la répartition des distances $d$ (en $km$) parcourues par les élèves de certains villages pour rejoindre leur collège.

Nombre d’enfants $0 \le d < 1$ $1 \le d < 2$ $2 \le d < 3$ $3 \le d < 4$ $4 \le d < 5$
Nombre de familles $50$ $60$ $70$ $80$ $40$

Quelle est le pourcentage d’élèves de ces villages qui parcourent une distance supérieure ou égale à $3 km$?

  1. $60\%$
  2. $80\%$
  3. $40\%$
  4. $70\%$

Indication math
Corrigé math
ⓘ
Remarques :
Les questions de cet examen sont liées à ce que vous avez déjà étudié dans les niveaux scolaires précédents et sont en rapport avec le programme d’études que vous suivrez durant l’année en cours.
Exercice 1 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Parmi les réponses suivantes, quelle est la bonne réponse pour l’opération $50,45+35$?

  1. $50,80$
  2. $85,45$
  3. $845,5$
  4. $508$

Indication math
Corrigé math
Exercice 2 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Parmi les réponses suivantes, quelle est la bonne réponse pour l’opération $120,5−75,35$?

  1. $451,5$
  2. $44,70$
  3. $45,15$
  4. $195,85$

Indication math
Corrigé math
Exercice 3 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Parmi les produits suivants, quel est le produit correct de l’opération $608,35\times 45$?

  1. $2737575$
  2. $27375,75$
  3. $3075,75$
  4. $307575$

Indication math
Corrigé math
Exercice 4 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Quel est le quotient exact de la division suivante : $262,6:52$?

  1. $5,5$
  2. $5,05$
  3. $505$
  4. $50,05$

Indication math
Corrigé math
Exercice 5 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Quel est le produit correct de cette opération : $\left(\dfrac{5}{9}+\dfrac{2}{9}\right)\left(\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}\right)$?

  1. $\dfrac{14}{27}$
  2. $\dfrac{7}{9}$
  3. $\dfrac{7}{6}$
  4. $\dfrac{11}{9}$

Indication math
Corrigé math
Exercice 6 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Quel est l’ordre correct des fractions suivantes : $\dfrac{9}{4}$; $\dfrac{9}{5}$; $\dfrac{7}{7}$; $\dfrac{6}{7}$; $\dfrac{5}{7}$?

  1. $\dfrac{5}{7}\,\, \le \,\,\dfrac{6}{7}\,\, \le \,\,\dfrac{7}{7}\, \le \,\dfrac{9}{4} \le \dfrac{9}{5}\,$
  2. $\dfrac{9}{4}\,\, \le \,\,\dfrac{9}{5}\,\, \le \,\,\dfrac{7}{7}\, \le \,\dfrac{6}{7} \le \dfrac{5}{7}\,$
  3. $\dfrac{7}{7}\, \le \,\,\dfrac{6}{7}\,\, \le \,\,\,\dfrac{5}{7} \le \,\dfrac{9}{5} \le \,\dfrac{9}{4}$
  4. $\dfrac{5}{7}\, \le \,\,\dfrac{6}{7}\,\, \le \,\,\,\dfrac{7}{7} \le \,\dfrac{9}{5} \le \,\dfrac{9}{4}$

Indication math
Corrigé math
Exercice 7 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Lequel des ordres suivants représente un classement correct des nombres suivants : $$99,909\, ; \, 99,09 \, ; \, 99 \, ; \, 99,9 \, ; \, 99,99$$

  1. $99,99 \succ 99,909 \succ 99,9 \succ 99,09 \succ 99$
  2. $99,909 \succ 99,99 \succ 99,9 \succ 99,09 \succ 99$
  3. $99,99 \succ 99,9 \succ 99,909 \succ 99,09 \succ 99$
  4. $99,909 \succ 99,99 \succ 99,09 \succ 99,9 \succ 99$

Indication math
Corrigé math
Exercice 8 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Ton professeur a enregistré le nombre d’élèves qui ont emprunté des livres de la bibliothèque pendant une semaine dans un « graphique en lignes brisées » comme suit :

Graphique en lignes brisées montrant le nombre d'étudiants qui ont emprunté des livres à la bibliothèque pendant une semaine, de lundi à samedi.
Q1. Combien d’élèves ont emprunté des livres les jeudi et vendredi réunis?

  1. $3$
  2. $12$
  3. $11$
  4. $10$

Q2. Combien d’élèves ont emprunté des livres pendant toute la semaine?

  1. $12$
  2. $43$
  3. $40$
  4. $20$

Indication math
Corrigé math
Exercice 9 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Quel est le pourcentage que représentent les cases ombrées par rapport au total des cases de la grille suivante?

Image montrant le pourcentage des cases colorées pour le nombre total des cases dans une grille
Indication math
Corrigé math
Exercice 10 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Un conducteur parcourt une distance de 25 km en 15 min. Quelle distance parcourra-t-il en 75 min en maintenant la même vitesse moyenne?

  1. $135km$
  2. $120km$
  3. $125km$
  4. $100km$

Indication math
Corrigé math
Exercice 11 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Construis un angle $\widehat {AOB}$ de $70^\circ$ en utilisant les instruments géométriques appropriés:
Indication math
Corrigé math
Exercice 12 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Sachant que la mesure de l’angle $\widehat {BOC}$ est $45^\circ$ (voir la figure), calcule la mesure de l’angle $\widehat {AOB}$ sans utiliser d’instruments géométriques.

Image montrant deux angles supplémentaires, l'un est connu. La tâche est de calculer l'angle inconnu sans utiliser de rapporteur.

  1. $180^\circ$
  2. $360^\circ$
  3. $135^\circ$
  4. $100^\circ$

Indication math
Corrigé math
Exercice 13 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Construis un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon $3 cm$ en utilisant les instruments géométriques appropriés :
Indication math
Corrigé math
Exercice 14 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Construis la droite $(D’)$ perpendiculaire à la droite $(D)$ et passant par $A$ en utilisant les instruments géométriques appropriés.

Image montrant une droite (D) et un point A non situé sur la droite, utilisé pour construire une droite perpendiculaire passant par le point A.
Indication math
Corrigé math
Exercice 15 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Construis la figure $A’B’C’D’$ symétrique de la figure $ABCD$ par rapport à l’axe de symétrie $(D)$:

Figure symétrique d'une figure par rapport à une droite
Indication math
Corrigé math
Exercice 16 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Q1. Quelle est la surface d’une pièce métallique en forme de disque de rayon $7 cm$? (On prendra $\pi =\frac{22}{7}$)

  1. $154cm^2$
  2. $616cm^2$
  3. $22cm^2$
  4. $88cm^2$

Q2. Quelle est la surface d’un carré dont le périmètre mesure $48 m$?

  1. $144m^2$
  2. $576m^2$
  3. $24m^2$
  4. $192m^2$

Indication math
Corrigé math
Exercice 17 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Un terrain de jeu a la forme d’un rectangle dont le périmètre mesure $580m$ et dont la largeur est de $90m$. Quelle est la longueur en mètres?

  1. $490$
  2. $290$
  3. $200$
  4. $390$

Indication math
Corrigé math
Exercice 18 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Quelle est la conversion correcte de $15,07 km30 hm0,7 dam$ en mètres?

  1. $1537,7m$
  2. $18077m$
  3. $1544m$
  4. $1814m$

Indication math
Corrigé math
Exercice 19 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Quelle est la conversion correcte de $8,09hm^2 75,8m^2$ en $dam^2$?

  1. $88,48 dam^2$
  2. $809,758 dam^2$
  3. $816,58 dam^2$
  4. $81,658 dam^2$

Indication math
Corrigé math
Exercice 20 Mathxi math math math - QCM [Signaler une erreur]
Enoncé math

Parmi les solides suivants :

Figure montrant quatre solides géométriques : un tétraèdre, un cube, un cylindre, et une pyramide.
Q1. Quel est le numéro du solide qui représente un prisme droit?

  1. Solide 1
  2. Solide 2
  3. Solide 3
  4. Solide 4

Q2. Quel est le numéro du solide qui représente un cylindre droit?

  1. Solide 1
  2. Solide 2
  3. Solide 3
  4. Solide 4

Indication math
Corrigé math
Exercice 1 Mathxi math math - Priorités opératiores avec les puissances [Signaler une erreur]
Enoncé math

Calculer ls nombres suivants : $$\begin{aligned} \bullet\quad A&=8-2\times 3^2+(7-5)^2\\
\bullet\quad B&=2^{-1}+3^2\times 2^{-2}\\
\bullet\quad C&=\left(3^{-1}+2^{-1}\right)^{-1}
\end{aligned}$$
Indication math
Corrigé math
Exercice 2 Mathxi math math math - Résoudre des problèmes avec les propriétés d'un puissance [Signaler une erreur]
Enoncé math

Déterminer le nombre entier relatif $x$ sachant que: $27^{-x}=3^{-2x}\times 9$
Indication math
Corrigé math
Exercice 3 Mathxi math math math - Calcul sur les puissances avec des lettres [Signaler une erreur]
Enoncé math

Simplifier $A$ en le mettant sous la forme $a^nb^mc^p$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres rationnels non nuls et $n$, $m$ et $p$ sont des entiers relatifs.\[A = \frac{{{a^6}}}{{{b^3}}}:\frac{{{{\left[ {{{\left( {{a^{ – 2}}{b^6}} \right)}^{ – 3}}{c^{ – 4}}} \right]}^{ – 2}}}}{{{{\left[ {{a^3}{{\left( {{b^{ – 2}}{c^{ – 4}}} \right)}^3}} \right]}^2}}}\]
Indication math
Corrigé math
Exercice 4 Mathxi math math - Ecriture scientifique [Signaler une erreur]
Enoncé math

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad A=1 234 000 000 000\\
&\bullet\quad B=0,00000000234\\
&\bullet\quad C = {10^2} \times 0,00001 \times {10^{ – 1}}\\
&\bullet\quad D = 24 \times {10^{ – 2}} \times 3000 \times {10^{20}}\\
&\bullet\quad E=\dfrac{10^7\times 0,12\times 10^{-3}}{60\times 10^{-5}}\\
&\bullet\quad F=\dfrac{32\times 10^4 \times 14\times 10^{9}}{56\times 10^{13}}\end{aligned}$$
Indication math
Corrigé math
Exercice 5 Mathxi math math math math math - Challenges [Signaler une erreur]
Enoncé math

$n$ est un entier naturel. Calculer $n$ sachant que : $7^n+49^n=2450.$
Indication math
Corrigé math
Exercice 6 Mathxi math math math math math - Challenges [Signaler une erreur]
Enoncé math

Montrer que : $4444444^2+3333333^2=5555555^2$.
Indication math
Corrigé math
Exercice 7 Mathxi math math math math math - Challenges [Signaler une erreur]
Enoncé math

Montrer que : $499999^2+999999=25\times 10^{10}$.
Indication math
Corrigé math

Chapitre 4

Puissance d’exposant positif d’un nombre rationnel

Définition : Soit $a$ un nombre rationnel non nul, $n$ un nombre entier tel que $n\ge 2$.
$$a^{n}=\underbrace{a \times a \times \ldots \ldots \times a}_{n \text { facteurs }}$$

$\bullet$  Si $n=1$, alors $a^1=a$
$\bullet$  Si $n=0$ et $a \neq 0$ alors $a^0=1$
$\bullet$  Si $n\neq 0$ et $a = 0$ alors $0^n=0$

Remarque :

$\bullet$ $a$ est la base de la puissance $a^n$.
$\bullet$ $n$ est l’exposant de la puissance $a^n$.
$\bullet$ $0^0$ n’existe pas.

Exemples :

$\bullet$  $(-3)^4=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)=9 \times 9 = 81$
$\bullet$  $\left(\dfrac{-2}{3}\right)^3=\dfrac{-2}{3}\times\dfrac{-2}{3}\times \dfrac{-2}{3}=\dfrac{-2\times 2\times 2}{3\times 3\times 3}=\dfrac{-8}{27}$
$\bullet$  $2019^0=1$
$\bullet$  $523^1=523$

Puissance d’exposant négatif d’un nombre rationnel

Définition :
Soit $a$ un nombre rationnel non nul, $n$ un nombre entier naturel. $$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$$

$\bullet$  La puissance $a^{-n}$ est l’inverse de la puissance $a^n$.
$\bullet$  Si $\dfrac{a}{b}$ un nombre rationnel non nul, alors $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$.

Exemples :

$\bullet$  $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{2\times 2\times 2}=\dfrac{1}{8}$
$\bullet$  $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}=\dfrac{5}{3}\times \dfrac{5}{3}=\dfrac{25}{9}$
$\bullet$  $\bigg[\left(\dfrac{2}{7}\right)^{-3}\bigg]^{-1}=
\bigg[\left(\dfrac{7}{2}\right)^{3}\bigg]^{-1}=
\bigg[\dfrac{7}{2}\times \dfrac{7}{2}\times\dfrac{7}{2}\bigg]^{-1}=
\bigg[\dfrac{343}{8}\bigg]^{-1}=\dfrac{8}{343}$

Le signe d’une puissance

Propriété : Soit $a$ un nombre rationnel non nul, $n$ un entier naturel.

  • Si $n$ est pair, alors $a^n$ est toujours positif quel que soit le signe de $a$.
  • Si $n$ est impair, alors $a^n$ et $a$ ont le meme signe.

Exemples :

$\bullet$  La puissance $\left( -12 \right)^{17}$ est \textbf{négatif}, car l’exposant est impaire et la base est négatif.
$\bullet$  La puissance $\left( -3 \right)^{48}$ est \textbf{positif}, car l’exposant est paire.

Opérations sur les puissances :

Propriétés : $a$, $b$ deux nombres rationnels non nuls, $n$ et $m$ deux entiers relatifs.

$\bullet\quad a^n \times a^m = a^{n+m}$ $\quad$ $\bullet\quad a^n \times b^n = (a \times b )^{n}$ $\quad$ $\bullet\quad \dfrac{a^n}{a^m}= a^{n-m}$ $\quad$ $\bullet\quad \dfrac{a^n}{b^n}= \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$ $\quad$ $\bullet\quad \left( a^n\right)^m=a^{n\times m}$

Exemples :

$\bullet$  ${(-3)}^9 \times {(-3)}^5= {(-3)}^{9+5}={(-3)}^{14}$
$\bullet$  $2^{{7}} \times 5^{{7}}= (2 \times 5)^{{7}}=10^{{7}}$
$\bullet$  $\dfrac{{1,3}^8}{{1,3}^3}={1,3}^{8-3}={1,3}^5$
$\bullet$  $\dfrac{21^{{13}}}{7^{{13}}}=\left(\dfrac{21}{7}\right)^{{13}}=3^{{13}}$
$\bullet$  $\left({2}^3\right)^4={2}^{3 \times 4} ={2}^{12}$

Puissances de 10

Propriété : Soit $n$ un nombre entier naturel.

$\bullet$ ${10^n} = 1\underbrace {00………0}_{n\,\,\text{zéros}}$
$\bullet$ ${10^{-n}} = \underbrace {0,00………0}_{n\,\,\text{zéros}}1$
$\bullet$ $10^0=1$ ; $10^1=10$ ; $10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}$

Exemples :

$\bullet$ $1000000000=10^9$
$\bullet$ $10^5=100000$
$\bullet$ $0,000001=10^{-6}$
$\bullet$ $10^{-4}=0,0001$
$\bullet$ $10^8 \times 10^3=10^{8+3}=10^{11}$
$\bullet$ $\dfrac{10^6}{10^2}=10^{6-2}=10^4$
$\bullet$ $(10^5)^7=10^{5\times 7}=10^{35}$

Écriture scientifique

Définition : Soit $x$ un nombre décimal, $n$ un nombre entier relatif.
L’écriture scientifique de $x$ est :
$$x=a \times 10^{n} \text{~~ou~~} x=- a \times 10^{n}$$
Avec $1 \leq a < 10$.

Exemples :

$\bullet$ $649,2=6,492 \times 10^2$
$\bullet$ $-0,0000327=-3,27\times 10^{-5}$
$\bullet$ $32000000=3,2\times 10^{-7}$
$\bullet$ $569,4 \times 10^{13}=5,694 \times 10^2 \times 10^{13}=5,694\times 10^{15}$

Exercice 1 Mathxi math - Egalités [Signaler une erreur]
Enoncé math

  1. Ecrire sous forme d’une fraction les nombres suivants: $$3,1 \quad;\quad 4\quad;\quad \dfrac{0,02}{5,2}$$
  2. Compléter les égalités suivantes: $$\dfrac{\ldots}{42}=\dfrac{2}{7} \quad;\quad \dfrac{8}{16}=\dfrac{3}{\ldots}\quad;\quad \dfrac{\ldots}{5}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{18}{\ldots}$$

Indication math
Corrigé math
Exercice 2 Mathxi math math - Forme irréductible [Signaler une erreur]
Enoncé math

Donner la forme irréductible des fractions suivantes:$$\dfrac{116}{320} \quad;\quad \dfrac{150}{750} \quad;\quad \dfrac{27\times 16}{72} \quad;\quad\dfrac{54\times 64\times 8}{28\times 27\times 32}$$
Indication math
Corrigé math
Exercice 3 Mathxi math - Comparison [Signaler une erreur]
Enoncé math

Comparer les fractions suivantes:$$\dfrac{14}{17} \text{ et } \dfrac{16}{17} \quad;\quad\dfrac{5}{3} \text{ et } \dfrac{5}{2}\quad;\quad\dfrac{5}{4} \text{ et } \dfrac{9}{8}\quad;\quad\dfrac{3}{7} \text{ et } \dfrac{6}{11}$$
Indication math
Corrigé math
Exercice 4 Mathxi math math math - Comparison [Signaler une erreur]
Enoncé math

Comparer les fractions : $$\dfrac{987654321}{987654322}\quad et \quad\dfrac{123456789}{123456780}$$
Indication math
Corrigé math
Exercice 5 Mathxi math math math - Encadrement [Signaler une erreur]
Enoncé math

Compléter par un entier naturel convenable: $$\dfrac{6}{4}<\dfrac{\ldots}{8}<\dfrac{7}{4}\quad;\quad\dfrac{3}{7}<\dfrac{\ldots}{14}<\dfrac{4}{7}\quad;\quad\dfrac{9}{7}<\dfrac{3}{\ldots}<\dfrac{9}{5}$$
Indication math
Corrigé math
Exercice 6 Mathxi math math math math math - Challenges [Signaler une erreur]
Enoncé math

Soit $a$, $b$ et $c$ des nombres fractionnaires tels que : $$\dfrac{b\times c}{a}=1 \quad;\quad \dfrac{c\times a}{b}=2 \quad;\quad \dfrac{a\times b}{c}=3$$Calculer : $a^2+b^2+c^2$.
Indication math
Corrigé math
Direction Provinciale Kénitra
Olympiades de mathématiques
3ème année collège
2019-2020

Durée de réalisation : 2 heures

Date de passation : Vendredi 20 décembre 2019

Exercice 1 Mathxi math math math - Olympiades de maths [Signaler une erreur]
Enoncé math

$a$ et $b$ deux nombres rationnels strictement positifs.
Montrer que : $$\left( {\sqrt a + b} \right)\left( {\frac{{\sqrt a }}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4$$
Indication math
Corrigé math
Exercice 2 Mathxi math math math - Olympiades de maths [Signaler une erreur]
Enoncé math

On pose : $x=3$ et $y=1$ et $z=2$.
c’est-à-dire : $x = y + z$
donc :  $x\left( {x- y} \right) = \left( {y + z} \right)\left( {x- y} \right)$
donc :  ${x^2}- xy = xy + xz- {y^2}- yz$
donc :  ${x^2}- xy- xz = xy- {y^2}- yz$
donc :  $x\left( {x- y- z} \right) = y\left( {x- y- z} \right)$
Après la simplification on obtient $x=y$ d’où $3 = 1$
Trouver l’erreur, justifier la réponse.
Indication math
Corrigé math
Exercice 3 Mathxi math math math - Olympiades de maths [Signaler une erreur]
Enoncé math

$ABC$ un triangle rectangle en $A$, son aire est égale à $1$.
Soient $A’$ et $B’$ les points tels que:

  • $A’$ est le symétrique de $A$ par rapport à la droite $(BC)$.
  • $B’$ est le symétrique de $B$ par rapport à la droite $(AC)$.
  • $C’$ est le symétrique de $C$ par rapport à la droite $(AB)$.

Calculer l’aire du triangle $A’B’C’$.

Indication math
Corrigé math
Exercice 4 Mathxi math math math - Olympiades de maths [Signaler une erreur]
Enoncé math

$ABC$ un triangle d’angle $\widehat A $ aigu. $E$ un point du segment $[AB]$ tel que $AB=3AE$, $I$ est le milieu du segment $[AC]$ et $D$ est l’intersection des deux droites $(EI)$ et $(BC)$.
Montrer que $C$ est le milieu du segment $[BD]$.
Indication math
Corrigé math