Considérons la proposition $P$ :$$P: \quad(\forall y \in \mathbb{R}^*) \, (\exists x \in \mathbb{R}) \text{ ; } \quad x^2 – xy + y^2 = 0.$$
- Déterminer la négation de la proposition $P$.
- Montrer que la proposition $P$ est fausse.
Montrer que la proposition suivante est fausse :
$$\forall x \in ]0, 1[,\quad \dfrac{2x}{x^2(1 – x^2)} < 0.$$
Montrer en utilisant la contraposée que :
$$\left(xy \neq 1 \text{ et } x \neq y \right) \Rightarrow \dfrac{x}{x^2 + x+ 1} \neq \dfrac{y}{y^2+y+1}.$$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante :
\[\sqrt {2x + 19 – 8\sqrt {2x + 3} } + \sqrt {2x + 7 – 4\sqrt {2x + 3} } = 6\]
Soient $a$ et $b$ deux nombre réels. Considérons les propositions $P$ et $Q$ suivantes :$$\begin{aligned}
&\bullet\quad P \,: \,\,\left(a^3 + b^3 < 1 < a + b\right)\\
&\bullet\quad Q \,:\,\, \left(0 < a < 1\text{ et } 0 < b < 1\right)
\end{aligned}$$Montrer que $P \Rightarrow Q$.
Soient $a$, $b$ et $c$ des nombres réels strictement positifs tels que
$$a + b + c < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \,\text{ et }\, abc > 1$$
- Montrer que tous ces nombres ne sont pas égaux à $1$.
- Montrer par l’absurde que l’un de ces nombres est inférieur à $1$.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que : $a + b = 2$ et $|a| < |b|$.
Montrer que : \[1 \in \left] {\left| a \right|;\left| b \right|} \right[ \Leftrightarrow ab \in \left] { – 3;1} \right[.\]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation suivante :
$$\sqrt{x^2 – 5x + 6} > x + 4.$$
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, le nombre $n^3 – n$ est divisible par $6$.
Soit $x$ un nombre réel strictement positif.
- Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$:
$$(1 + x)^n \geq 1 + nx.$$ - En déduire les inégalités suivantes :
- $\big(\forall n \in \mathbb{N}\big),\,\,\, 2^n \geq 1 + n$
- $\big(\forall n \in \mathbb{N}\big), \,\,\, 3^n \geq n$
- $\big(\forall n \in \mathbb{N}^*\big),\,\,\, (n + 1)^n \geq 2^n n$.
Chapitre 1
Proposition
- Si la proposition $P$ est vraie, on le note par $V$ ou $1$.
- Si la proposition $P$ est fausse, on la note par $F$ ou $0$.
Exemple :
- $P$ : «$-2\in\mathbb{N}$» est une proposition fausse.
- $Q$ : «$\frac{5}{3}>0$» est une proposition vraie.
- $R$ : «$14$ est divisible par $6$» est une proposition fausse.
Fonction propositionnelle
Exemple :
- $P(x)$ : « $x$ est un nombre pair ». Lorsque $x = 4$, $P(4)$ devient une proposition vraie.
Quantificateurs
- Quantificateur universel ($\forall$) : Indique que la proposition est vraie pour tous les éléments d’un ensemble donné.
- Quantificateur existentiel ($\exists$) : Indique qu’il existe au moins un élément dans l’ensemble pour lequel la proposition est vraie.
- Quantificateur existentiel unique ($\exists!$) : Indique qu’il existe un et un seul élément dans l’ensemble pour lequel la proposition est vraie.
Exemples :
- $(\forall x \in \mathbb{N}), x + 0 = x$ (vrai pour tous les nombres naturels $x$).
- $(\exists x \in \mathbb{Z}), x^2 = 4$ (il existe un entier $x$ tel que $x^2 = 4$, par exemple $x = 2$).
- $(\exists ! x\in\mathbb{N}), x+5=8$. Cet énoncé signifie qu’il existe un et un seul nombre naturel $x$ tel que $x+5=8$. En effet, la seule solution dans les nombres naturels est $x=3$, donc l’énoncé est vrai.
Négation d’une proposition
| $\,\, P \,\,$ | $\,\,\overline P\,\,$ |
| $0$ | $1$ |
| $1$ | $0$ |
Exemple :
- La proposition $P$ : «$2$ est un nombre pair» (proposition vraie).
- La négation $\overline P$ : «$2$ n’est pas un nombre pair» (proposition fausse).
- La négation de la proposition $«(\forall x\in E); P(x)»$ est la proposition $«(\exists x\in E); \overline{P(x)}».$
- La négation de la proposition $«(\exists x\in E); P(x)»$ est la proposition $«(\forall x\in E); \overline{P(x)}».$
Exemples :
- Proposition : $\forall x \in \mathbb{N}, x \geq 0$.
- Négation : $\exists x \in \mathbb{N}, x < 0$ (Il existe un $x$ dans les naturels tel que $x$ est inférieur à 0).
Conjonction de deux propositions
| $P$ | $Q$ | $P\land Q$ |
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
Exemple :
- $P$ : « $2$ est un nombre pair » (vraie).
- $Q$ : « $3$ est un nombre impair » (vraie).
- $P \land Q$ : « $2$ est un nombre pair et 3 est un nombre impair » (vraie).
Disjonction de deux propositions
| $P$ | $Q$ | $P\lor Q$ |
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
Exemple :
- $P$ : « 2 est un nombre impair » (fausse).
- $Q$ : « 3 est un nombre impair » (vraie).
- $P \lor Q$ : « 2 est un nombre impair ou 3 est un nombre impair » (vraie).
Implication de deux propositions
| $P$ | $Q$ | $P\Rightarrow Q$ |
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
Exemple :
- $P$ : « 4 est un nombre pair » (vraie).
- $Q$ : « 4 est un multiple de 2 » (vraie).
- $P \Rightarrow Q$ : « Si 4 est un nombre pair, alors 4 est un multiple de 2 » (vraie).
Équivalence de deux propositions
| $P$ | $Q$ | $P\Leftrightarrow Q$ |
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
Exemple :
- $P$ : « 5 est un nombre premier » (vraie).
- $Q$ : « 5 n’a que deux diviseurs distincts » (vraie).
- $P \Leftrightarrow Q$ : « 5 est un nombre premier si et seulement si 5 n’a que deux diviseurs distincts » (vraie).
Lois logiques et raisonnements
Loi logique ou tautologie
- $P\land (Q\lor R) \Leftrightarrow (P \land Q) \lor (P \land R)$
- $P \lor (Q \land R) \Leftrightarrow (P \lor Q) \land (P \lor R)$
Loi de Morgan
- $\overline{ (P \land Q)} \Leftrightarrow \overline{P} \lor \overline{Q}$
- $\overline{(P \lor Q)} \Leftrightarrow \overline{P} \land \overline{Q}$
Implication
- $(P \Rightarrow Q )\Leftrightarrow (\overline{P} \lor Q)$
Raisonnement par contraposée
- $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\overline{Q}\Rightarrow \overline{P})$
Exemple :
Soit $x$ et $y$ deux nombres réels dans $]1;+\infty[$. Montrons que : $$x\neq y\Rightarrow x^2-2x\neq y^2-2y$$
Il suffit d’utiliser le raisennement par contraposé en montrant que : $$x^2-2x = y^2-2y \Rightarrow x=y$$
On a :
\[\begin{aligned}
{x^2}- 2x = {y^2}- 2y &\Rightarrow {x^2}- {y^2}- 2\left( {x{\rm{\;}}- y} \right) = 0\\
&\Rightarrow \left( {x- y} \right)\left( {x + y} \right)- 2\left( {x- y} \right) = 0\\
&\Rightarrow \left( {x- y} \right)\left( {x + y- 2} \right) = 0\\
&\Rightarrow x- y = 0\,\,ou\,\,x + y- 2 = 0\\
&\Rightarrow x = y\,\,ou\,\,x + y = 2
\end{aligned}\]
Puisque $x>1$ et $y>1$, alors $x+y>2$, donc $x+y\neq 2$
Donc : ${x^2}- 2x = {y^2}- 2y \Rightarrow x=y$. Ainsi : $x\neq y\Rightarrow x^2-2x\neq y^2-2y$
Raisonnement par l’absurde
Exemple : Montrons que $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5n + 7} \notin \mathbb{N}$
Raisonnement par l’absurde : On suppose que $\left( {\exists {n_0} \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5n_0 + 7} \in \mathbb{N}$,
donc : $\left( {\exists {N_0} \in \mathbb{N}} \right)$ tel que :
\[\begin{aligned}
\sqrt {5{n_0} + 7} = {N_0}\\
5{n_0} + 7 = N_0^2\\
5\left( {{n_0} + 1} \right) + 2 = N_0^2
\end{aligned}\]
Ainsi, $2$ est le reste de la division euclidienne de $N_0^2$ par $5$, ce qui est impossible car le reste de la division euclidienne d’un entier naturel $n$ par $5$ est $1$ ou $4$. Par conséquent, l’hypothèse est fausse, et donc : \[\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5n + 7} \notin \mathbb{N}\]
Raisennement par disjonction des cas
La proposition suivante est une loi logique : \[\left[ {\left( {P \Rightarrow R} \right)\,\,et\,\,\left( {Q \Rightarrow R} \right)} \right] \Leftrightarrow \left[ {\left( {P\,\,ou\,\,Q} \right) \Rightarrow R} \right]\]
Exemple : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $$(E) : x^2 – 2(1+m)x + 4 = 0,$$ où $m$ est un paramètre réel.
Solution : Calculons le discriminant $\Delta$ de cette équation : \[\Delta = 4{\left( {1 + m} \right)^2} – 16 = 4\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)\]
1ère cas : Si $\Delta <0$, c’est-à-dire $m\in ]-3;1[$, alors l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est: $$S=\varnothing.$$
2ème cas : Si $\Delta =0$, c’est-à-dire $m=1$ ou $m=-3$, alors l’équation $(E)$ admet une seule solution qui est $1+m$, alors l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est : $$S=\{1+m\}.$$
3ème cas : Si $\Delta >0$, c’est-à-dire $m \in \left] { – \infty ; – 3} \right[ \cup \left] {1; + \infty } \right[$, alors l’équation $(E)$ admet deux solutions distinctes données par : $${x_1} = m + 1 – \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)}\,\,\text{ et } \,\, {x_2} = m + 1 + \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)},$$ alors l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est : $$S = \left\{ {m + 1 – \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)} \,\,;\,\,m + 1 + \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)} } \right\}.$$
Raisonnement par récurrence
Si la proposition $P(n_0)$ est vraie et si l’implication «$P\left( n \right) \Rightarrow P\left( {n + 1} \right)$» est vraie pour tout $n\ge n_0$, alors, la proposition $P(n)$ est vraie, pour tout entier $n\ge n_0$.
Exemple : Montrons par récurrence que : $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,{3^n} \ge 1 + 2n$
- Pour $n=0$, on a : $3^0\ge 1+2\times 0$
- Supposons que : ${3^n} \ge 1 + 2n$ et montrons que : ${3^{n+1}} \ge 1 + 2(n+1)$
On a : \[\begin{aligned}
{3^n} \ge 1 + 2n &\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 3\left( {1 + 2n} \right)\\
&\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 3 + 6n\\
&\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 3 + 2n\,\,\,\,\left( {\text{ car }\,\,6n \ge 2n} \right)\\
&\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 1 + 2\left( {n + 1} \right)
\end{aligned}\] - Finalement $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,{3^n} \ge 1 + 2n$
Déterminez une opération pour ce qui suit : $A=\left( {2x- 1} \right)\left( {x- 4} \right) + \left( {2x- 1} \right)\left( {-3x + 5} \right)$
- $A=\left( {2x- 1} \right)\left( {-2x+ 1} \right)$
- $A=\left( {2x- 1} \right)\left( {4x+ 1} \right)$
- $A=\left( {2x- 1} \right)\left( {x- 4} \right)\left( {-3x+ 5} \right)$
- $ A=- 2\left( {2x- 1} \right)$
Observez la figure suivante :
Q1. Le triangle $BCD$ est-il rectangle? Oui ou non.
Q2. Calculer $\mathcal{p}$ le périmètre de la figure $ABCD$
- $\mathcal{p}=40$
- $\mathcal{p}=50$
- $\mathcal{p}=60$
- $\mathcal{p}=30$
Calculer : $B=\dfrac{14}{5-\sqrt{11}}-\dfrac{11}{\sqrt{11}}$
- $B=5\sqrt{11}$
- $B=5+\sqrt{11}$
- $B=5$
- $B=\dfrac{5}{11-5\sqrt{11}}$
Dans la figure suivante, $ABCD$ est un rectangle tel que $AB=4 cm$ et $AD=3 cm$. Soit $M$ un point du segment $[AB]$ et $N$ un point du segment $[BC]$ tels que $AM=x$ et $CN=1cm$.
Sachant que l’aire du rectangle $ABCD$ est trois fois celle du rectangle $BNPM$.
Déterminer la valeur de $x$.
- $4cm$
- $2cm$
- $1cm$
- $3cm$
Dans la figure suivante, les triangles $ABC$ et $ACD$ sont rectangles avec : $\widehat {BAC} = \widehat {CAD} = \alpha $.
Déterminer la valeur de $cos^2 \alpha$ parmi les expressions suivantes :
- $\dfrac{AB}{BC}$
- $\dfrac{AD}{AB}$
- $\dfrac{AB}{DC}$
- $\dfrac{AB}{AD}$
Soit $a$ un nombre réel positif. Développez l’expression suivante : $C={\left( {\sqrt a + 2} \right)^2} + {\left( {2\sqrt a – 1} \right)^2}$
- $C=5a+5$
- $C=a+2\sqrt a +5$
- $C=5a+3$
- $C=a+2\sqrt a+3$
- $C=3a+5$
Soit $ABCD$ un carré inscrit dans un cercle de centre $O$ et de rayon $6$. Soit $H$ le projeté orthogonal de $O$ sur $(AB)$ (voir la figure).
Calculer la distance $OH$.
- $OH=\sqrt 6$
- $OH=3\sqrt 2$
- $OH=3$
- $OH=2\sqrt 6$
Considérons dans un repère orthonormé ${\left( {O;\vec i;\vec j} \right)}$ les points $A(1;2)$, $B(-1;1)$, $C(-2;-2)$ et $D(x;y)$.
Déterminer les coordonnées du point $D$ sachant que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
- $D(1;-1)$
- $D(0;1)$
- $D(0;-1)$
- $D(-1;0)$
Considérons dans un repère orthonormé ${\left( {O;\vec i;\vec j} \right)}$ les points $A(2;1)$ et $B(-3;2)$.
Déterminer l’équation réduite de la droite $(AB)$.
- $y = \dfrac{{- 1}}{5}x + \dfrac{7}{5}$
- $y = \dfrac{1}{5}x- \dfrac{7}{5}$
- $y = \dfrac{{- 1}}{5}x- \dfrac{7}{5}$
- $y = \dfrac{1}{5}x+ \dfrac{7}{5}$
Quel est le nombre égal à : $$D=\dfrac{3}{5} \times {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^4} \times {\left( {\dfrac{{ – 3}}{5}} \right)^3}$$
- $D={\left( {\dfrac{{- 3}}{5}} \right)^8}$
- $D=- {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{12}}$
- $D=- {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^7}$
- $D=- {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^8}$
$OMN$ est un triangle et $P$ un point du segment $[OM]$ et $R$ un point du segment $|ON]$ tels que le segment $[PR]$ est parallèle au segment $[MN]$.
On donne : $OP=x$, $PM=3$, $OR=5$ et $RN=6$.
Déterminer la valeur de $x$.
- $3$
- $2,5$
- $2$
- $1,5$
Quel est le nombre égal à : $E=5,12 \times 10^3 $ ?
- $E=512$
- $E=5,12$
- $E=5120$
- $E=512000$
Sur le schéma suivant, placez le point $N$ tel que $\overrightarrow {MN\,} = \overrightarrow {AB\,} + \overrightarrow {AC\,} $.
Le périmètre d’un rectangle est de $284 m$. Quelle est (en mètres) la longueur de ce rectangle sachant que sa longueur dépasse sa largeur de $12 m$?
- $65m$
- $142m$
- $77m$
- $12m$
Soit le nombre réel $x$ tel que : $ – 3 < 2x + 3 < 5$
Donner un encadrement du nombre $1-x$.
- $ – 3 < 1 – x < 0$
- $0 < 1 – x < 4$
- $4 < 1 – x < 5$
- $-2 < 1 – x < -1$
$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ tel que $\widehat {BAC} = 80^\circ$. $M$ est un point de l’arc $\overset{\huge\frown}{AC}$ ne contenant pas $B$.
Quelle est la mesure de l’angle $\widehat {BMA}$?
- $40°$
- $130°$
- $100°$
- $50°$
Donnez tous les arêtes du parallélépipède parallèles à l’arête $[AB]$.
$ABCDEFGH$ est un cube dont l’arête mesure $5$.
Quelle est la longueur de la diagonale $[BH]$?
- $BH=5\sqrt 3$
- $BH=5$
- $BH=5\sqrt 2$
- $BH=3\sqrt 5$
Le tableau ci-dessous représente la répartition des distances $d$ (en $km$) parcourues par les élèves de certains villages pour rejoindre leur collège.
| Nombre d’enfants | $0 \le d < 1$ | $1 \le d < 2$ | $2 \le d < 3$ | $3 \le d < 4$ | $4 \le d < 5$ |
| Nombre de familles | $50$ | $60$ | $70$ | $80$ | $40$ |
Quelle est le pourcentage d’élèves de ces villages qui parcourent une distance supérieure ou égale à $3 km$?
- $60\%$
- $80\%$
- $40\%$
- $70\%$
Les questions de cet examen sont liées à ce que vous avez déjà étudié dans les niveaux scolaires précédents et sont en rapport avec le programme d’études que vous suivrez durant l’année en cours.
Parmi les réponses suivantes, quelle est la bonne réponse pour l’opération $50,45+35$?
- $50,80$
- $85,45$
- $845,5$
- $508$
Parmi les réponses suivantes, quelle est la bonne réponse pour l’opération $120,5−75,35$?
- $451,5$
- $44,70$
- $45,15$
- $195,85$
Parmi les produits suivants, quel est le produit correct de l’opération $608,35\times 45$?
- $2737575$
- $27375,75$
- $3075,75$
- $307575$
Quel est le quotient exact de la division suivante : $262,6:52$?
- $5,5$
- $5,05$
- $505$
- $50,05$
Quel est le produit correct de cette opération : $\left(\dfrac{5}{9}+\dfrac{2}{9}\right)\left(\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}\right)$?
- $\dfrac{14}{27}$
- $\dfrac{7}{9}$
- $\dfrac{7}{6}$
- $\dfrac{11}{9}$
Quel est l’ordre correct des fractions suivantes : $\dfrac{9}{4}$; $\dfrac{9}{5}$; $\dfrac{7}{7}$; $\dfrac{6}{7}$; $\dfrac{5}{7}$?
- $\dfrac{5}{7}\,\, \le \,\,\dfrac{6}{7}\,\, \le \,\,\dfrac{7}{7}\, \le \,\dfrac{9}{4} \le \dfrac{9}{5}\,$
- $\dfrac{9}{4}\,\, \le \,\,\dfrac{9}{5}\,\, \le \,\,\dfrac{7}{7}\, \le \,\dfrac{6}{7} \le \dfrac{5}{7}\,$
- $\dfrac{7}{7}\, \le \,\,\dfrac{6}{7}\,\, \le \,\,\,\dfrac{5}{7} \le \,\dfrac{9}{5} \le \,\dfrac{9}{4}$
- $\dfrac{5}{7}\, \le \,\,\dfrac{6}{7}\,\, \le \,\,\,\dfrac{7}{7} \le \,\dfrac{9}{5} \le \,\dfrac{9}{4}$
Lequel des ordres suivants représente un classement correct des nombres suivants : $$99,909\, ; \, 99,09 \, ; \, 99 \, ; \, 99,9 \, ; \, 99,99$$
- $99,99 \succ 99,909 \succ 99,9 \succ 99,09 \succ 99$
- $99,909 \succ 99,99 \succ 99,9 \succ 99,09 \succ 99$
- $99,99 \succ 99,9 \succ 99,909 \succ 99,09 \succ 99$
- $99,909 \succ 99,99 \succ 99,09 \succ 99,9 \succ 99$
Ton professeur a enregistré le nombre d’élèves qui ont emprunté des livres de la bibliothèque pendant une semaine dans un « graphique en lignes brisées » comme suit :
- $3$
- $12$
- $11$
- $10$
Q2. Combien d’élèves ont emprunté des livres pendant toute la semaine?
- $12$
- $43$
- $40$
- $20$
Quel est le pourcentage que représentent les cases ombrées par rapport au total des cases de la grille suivante?
Un conducteur parcourt une distance de 25 km en 15 min. Quelle distance parcourra-t-il en 75 min en maintenant la même vitesse moyenne?
- $135km$
- $120km$
- $125km$
- $100km$
Construis un angle $\widehat {AOB}$ de $70^\circ$ en utilisant les instruments géométriques appropriés:
Sachant que la mesure de l’angle $\widehat {BOC}$ est $45^\circ$ (voir la figure), calcule la mesure de l’angle $\widehat {AOB}$ sans utiliser d’instruments géométriques.
- $180^\circ$
- $360^\circ$
- $135^\circ$
- $100^\circ$
Construis un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon $3 cm$ en utilisant les instruments géométriques appropriés :
Construis la droite $(D’)$ perpendiculaire à la droite $(D)$ et passant par $A$ en utilisant les instruments géométriques appropriés.
Construis la figure $A’B’C’D’$ symétrique de la figure $ABCD$ par rapport à l’axe de symétrie $(D)$:
Q1. Quelle est la surface d’une pièce métallique en forme de disque de rayon $7 cm$? (On prendra $\pi =\frac{22}{7}$)
- $154cm^2$
- $616cm^2$
- $22cm^2$
- $88cm^2$
Q2. Quelle est la surface d’un carré dont le périmètre mesure $48 m$?
- $144m^2$
- $576m^2$
- $24m^2$
- $192m^2$
Un terrain de jeu a la forme d’un rectangle dont le périmètre mesure $580m$ et dont la largeur est de $90m$. Quelle est la longueur en mètres?
- $490$
- $290$
- $200$
- $390$
Quelle est la conversion correcte de $15,07 km30 hm0,7 dam$ en mètres?
- $1537,7m$
- $18077m$
- $1544m$
- $1814m$
Quelle est la conversion correcte de $8,09hm^2 75,8m^2$ en $dam^2$?
- $88,48 dam^2$
- $809,758 dam^2$
- $816,58 dam^2$
- $81,658 dam^2$
Parmi les solides suivants :
- Solide 1
- Solide 2
- Solide 3
- Solide 4
Q2. Quel est le numéro du solide qui représente un cylindre droit?
- Solide 1
- Solide 2
- Solide 3
- Solide 4
Calculer ls nombres suivants : $$\begin{aligned} \bullet\quad A&=8-2\times 3^2+(7-5)^2\\
\bullet\quad B&=2^{-1}+3^2\times 2^{-2}\\
\bullet\quad C&=\left(3^{-1}+2^{-1}\right)^{-1}
\end{aligned}$$
Déterminer le nombre entier relatif $x$ sachant que: $27^{-x}=3^{-2x}\times 9$
Simplifier $A$ en le mettant sous la forme $a^nb^mc^p$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres rationnels non nuls et $n$, $m$ et $p$ sont des entiers relatifs.\[A = \frac{{{a^6}}}{{{b^3}}}:\frac{{{{\left[ {{{\left( {{a^{ – 2}}{b^6}} \right)}^{ – 3}}{c^{ – 4}}} \right]}^{ – 2}}}}{{{{\left[ {{a^3}{{\left( {{b^{ – 2}}{c^{ – 4}}} \right)}^3}} \right]}^2}}}\]
Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad A=1 234 000 000 000\\
&\bullet\quad B=0,00000000234\\
&\bullet\quad C = {10^2} \times 0,00001 \times {10^{ – 1}}\\
&\bullet\quad D = 24 \times {10^{ – 2}} \times 3000 \times {10^{20}}\\
&\bullet\quad E=\dfrac{10^7\times 0,12\times 10^{-3}}{60\times 10^{-5}}\\
&\bullet\quad F=\dfrac{32\times 10^4 \times 14\times 10^{9}}{56\times 10^{13}}\end{aligned}$$
$n$ est un entier naturel. Calculer $n$ sachant que : $7^n+49^n=2450.$
Montrer que : $4444444^2+3333333^2=5555555^2$.
Montrer que : $499999^2+999999=25\times 10^{10}$.
Chapitre 4
Puissance d’exposant positif d’un nombre rationnel
$$a^{n}=\underbrace{a \times a \times \ldots \ldots \times a}_{n \text { facteurs }}$$
$\bullet$ Si $n=1$, alors $a^1=a$
$\bullet$ Si $n=0$ et $a \neq 0$ alors $a^0=1$
$\bullet$ Si $n\neq 0$ et $a = 0$ alors $0^n=0$
$\bullet$ $a$ est la base de la puissance $a^n$.
$\bullet$ $n$ est l’exposant de la puissance $a^n$.
$\bullet$ $0^0$ n’existe pas.
Exemples :
$\bullet$ $(-3)^4=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)=9 \times 9 = 81$
$\bullet$ $\left(\dfrac{-2}{3}\right)^3=\dfrac{-2}{3}\times\dfrac{-2}{3}\times \dfrac{-2}{3}=\dfrac{-2\times 2\times 2}{3\times 3\times 3}=\dfrac{-8}{27}$
$\bullet$ $2019^0=1$
$\bullet$ $523^1=523$
Puissance d’exposant négatif d’un nombre rationnel
Soit $a$ un nombre rationnel non nul, $n$ un nombre entier naturel. $$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$$
$\bullet$ La puissance $a^{-n}$ est l’inverse de la puissance $a^n$.
$\bullet$ Si $\dfrac{a}{b}$ un nombre rationnel non nul, alors $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$.
Exemples :
$\bullet$ $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{2\times 2\times 2}=\dfrac{1}{8}$
$\bullet$ $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}=\dfrac{5}{3}\times \dfrac{5}{3}=\dfrac{25}{9}$
$\bullet$ $\bigg[\left(\dfrac{2}{7}\right)^{-3}\bigg]^{-1}=
\bigg[\left(\dfrac{7}{2}\right)^{3}\bigg]^{-1}=
\bigg[\dfrac{7}{2}\times \dfrac{7}{2}\times\dfrac{7}{2}\bigg]^{-1}=
\bigg[\dfrac{343}{8}\bigg]^{-1}=\dfrac{8}{343}$
Le signe d’une puissance
- Si $n$ est pair, alors $a^n$ est toujours positif quel que soit le signe de $a$.
- Si $n$ est impair, alors $a^n$ et $a$ ont le meme signe.
Exemples :
$\bullet$ La puissance $\left( -12 \right)^{17}$ est \textbf{négatif}, car l’exposant est impaire et la base est négatif.
$\bullet$ La puissance $\left( -3 \right)^{48}$ est \textbf{positif}, car l’exposant est paire.
Opérations sur les puissances :
$\bullet\quad a^n \times a^m = a^{n+m}$ $\quad$ $\bullet\quad a^n \times b^n = (a \times b )^{n}$ $\quad$ $\bullet\quad \dfrac{a^n}{a^m}= a^{n-m}$ $\quad$ $\bullet\quad \dfrac{a^n}{b^n}= \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$ $\quad$ $\bullet\quad \left( a^n\right)^m=a^{n\times m}$
Exemples :
$\bullet$ ${(-3)}^9 \times {(-3)}^5= {(-3)}^{9+5}={(-3)}^{14}$
$\bullet$ $2^{{7}} \times 5^{{7}}= (2 \times 5)^{{7}}=10^{{7}}$
$\bullet$ $\dfrac{{1,3}^8}{{1,3}^3}={1,3}^{8-3}={1,3}^5$
$\bullet$ $\dfrac{21^{{13}}}{7^{{13}}}=\left(\dfrac{21}{7}\right)^{{13}}=3^{{13}}$
$\bullet$ $\left({2}^3\right)^4={2}^{3 \times 4} ={2}^{12}$
Puissances de 10
$\bullet$ ${10^n} = 1\underbrace {00………0}_{n\,\,\text{zéros}}$
$\bullet$ ${10^{-n}} = \underbrace {0,00………0}_{n\,\,\text{zéros}}1$
$\bullet$ $10^0=1$ ; $10^1=10$ ; $10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}$
Exemples :
$\bullet$ $1000000000=10^9$
$\bullet$ $10^5=100000$
$\bullet$ $0,000001=10^{-6}$
$\bullet$ $10^{-4}=0,0001$
$\bullet$ $10^8 \times 10^3=10^{8+3}=10^{11}$
$\bullet$ $\dfrac{10^6}{10^2}=10^{6-2}=10^4$
$\bullet$ $(10^5)^7=10^{5\times 7}=10^{35}$
Écriture scientifique
L’écriture scientifique de $x$ est :
$$x=a \times 10^{n} \text{~~ou~~} x=- a \times 10^{n}$$
Avec $1 \leq a < 10$.
Exemples :
$\bullet$ $649,2=6,492 \times 10^2$
$\bullet$ $-0,0000327=-3,27\times 10^{-5}$
$\bullet$ $32000000=3,2\times 10^{-7}$
$\bullet$ $569,4 \times 10^{13}=5,694 \times 10^2 \times 10^{13}=5,694\times 10^{15}$
- Ecrire sous forme d’une fraction les nombres suivants: $$3,1 \quad;\quad 4\quad;\quad \dfrac{0,02}{5,2}$$
- Compléter les égalités suivantes: $$\dfrac{\ldots}{42}=\dfrac{2}{7} \quad;\quad \dfrac{8}{16}=\dfrac{3}{\ldots}\quad;\quad \dfrac{\ldots}{5}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{18}{\ldots}$$
Donner la forme irréductible des fractions suivantes:$$\dfrac{116}{320} \quad;\quad \dfrac{150}{750} \quad;\quad \dfrac{27\times 16}{72} \quad;\quad\dfrac{54\times 64\times 8}{28\times 27\times 32}$$
Comparer les fractions suivantes:$$\dfrac{14}{17} \text{ et } \dfrac{16}{17} \quad;\quad\dfrac{5}{3} \text{ et } \dfrac{5}{2}\quad;\quad\dfrac{5}{4} \text{ et } \dfrac{9}{8}\quad;\quad\dfrac{3}{7} \text{ et } \dfrac{6}{11}$$
Comparer les fractions : $$\dfrac{987654321}{987654322}\quad et \quad\dfrac{123456789}{123456780}$$
Compléter par un entier naturel convenable: $$\dfrac{6}{4}<\dfrac{\ldots}{8}<\dfrac{7}{4}\quad;\quad\dfrac{3}{7}<\dfrac{\ldots}{14}<\dfrac{4}{7}\quad;\quad\dfrac{9}{7}<\dfrac{3}{\ldots}<\dfrac{9}{5}$$
Soit $a$, $b$ et $c$ des nombres fractionnaires tels que : $$\dfrac{b\times c}{a}=1 \quad;\quad \dfrac{c\times a}{b}=2 \quad;\quad \dfrac{a\times b}{c}=3$$Calculer : $a^2+b^2+c^2$.
Olympiades de mathématiques
Durée de réalisation : 2 heures
Date de passation : Vendredi 20 décembre 2019
$a$ et $b$ deux nombres rationnels strictement positifs.
Montrer que : $$\left( {\sqrt a + b} \right)\left( {\frac{{\sqrt a }}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4$$
On pose : $x=3$ et $y=1$ et $z=2$.
c’est-à-dire : $x = y + z$
donc : $x\left( {x- y} \right) = \left( {y + z} \right)\left( {x- y} \right)$
donc : ${x^2}- xy = xy + xz- {y^2}- yz$
donc : ${x^2}- xy- xz = xy- {y^2}- yz$
donc : $x\left( {x- y- z} \right) = y\left( {x- y- z} \right)$
Après la simplification on obtient $x=y$ d’où $3 = 1$
Trouver l’erreur, justifier la réponse.
$ABC$ un triangle rectangle en $A$, son aire est égale à $1$.
Soient $A’$ et $B’$ les points tels que:
- $A’$ est le symétrique de $A$ par rapport à la droite $(BC)$.
- $B’$ est le symétrique de $B$ par rapport à la droite $(AC)$.
- $C’$ est le symétrique de $C$ par rapport à la droite $(AB)$.
Calculer l’aire du triangle $A’B’C’$.
$ABC$ un triangle d’angle $\widehat A $ aigu. $E$ un point du segment $[AB]$ tel que $AB=3AE$, $I$ est le milieu du segment $[AC]$ et $D$ est l’intersection des deux droites $(EI)$ et $(BC)$.
Montrer que $C$ est le milieu du segment $[BD]$.
Olympiades de mathématiques
Durée de réalisation : 2 heures
Date de passation : Vendredi 22 novembre 2019
$a$ et $b$ deux nombres rationnels tels que : $a>2$ et $b>2$.
Montrer que : $a+b < ab$.
Après six interrogations en mathématiques, un éléve de la troisième année collége a eu la moyenne $12$.
Sachant que la moyenne des deux notes obtenues à la deuxieme et à la cinquième interrogations est $11$, quelle est la moyenne des notes obtenues aux interrogations qui restent, la première, la troisizime, la quatrième et la sixième?
$ABCD$ un carré et $M$ le milieu du segment $[AD]$.
$E$ un point du segment $[DC]$ et $F$ un point du segment $[AB]$.
Déterminer les positions des deux points $E$ et $F$ pour que la somme $BE+EF+FM$ prend la plus petite valeur possible.
$ABC$ un triangle rectangle en $A$. $D$ est le point d’intersection de la droite issue du point $A$ et perpendiculaire à la droite $(BC)$.
$I$ est le milieu du segment $[BD]$. $J$ est le milieu du segment $[AD]$.
Montrer que les deux droites $(CJ)$ et $(AI)$ sont perpendiculaires.
Les questions de cet examen sont liées à ce que vous avez déjà étudié dans les niveaux scolaires précédents et sont en rapport avec le programme d’études que vous suivrez durant l’année en cours.
Le tableau ci-dessous montre le nombre d’enfants par famille dans une tribu :
| Nombre d’enfants | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Nombre de familles | 15 | 40 | 64 | 25 | 56 | 22 | 12 |
Combien de familles ont quatre enfants ou plus?
- $28$
- $96$
- $85$
- $56$
Combien vaut l’expression suivante : $$P=(3x−5)−(5x+3)(3x – 5)- (5x + 3)(3x−5)−(5x+3)$$
- $P=-30$
- $P=4x$
- $P=4x- 30$
- $P=-16- 30x$
Dans le triangle rectangle $EFG$ représenté ci-dessous,
Calculer $\cos(\hat{GFE})$
- $\cos(\hat{GFE})=0,75$
- $\cos(\hat{GFE})=0,6$
- $\cos(\hat{GFE})=\dfrac{3}{4}$
- $\cos(\hat{GFE})=0,8$
Soit $x$ un nombre tel que $2,7 < x < 2,8$.
Parmi les expressions suivantes, laquelle est correcte?
- $2,4 < x- 3 < 2,5$
- $0,3 < x- 3 < 0,8$
- $-5,7 < x- 3 < -5,8$
- $-0,3 < x- 3 < -0,2$
Déterminer parmi les propositions suivantes lesquelles sont vraies :
- $-\dfrac{3}{2}$ est un nombre décimal.
- $\dfrac{1}{3}$ est un nombre rationnel.
- $-5,19$ est un nombre irrationnel.
- $\dfrac{2}{3}$ est un nombre décimal.
Dans le carré $PQRS$ de côté $5cm$, quelle est la longueur de la diagonale $[PR]$?
- $PR=\sqrt{5}cm$
- $PR=\sqrt{10}cm$
- $PR=\sqrt{40}cm$
- $PR=\sqrt{25}cm$
Le graphique ci-dessous représente une relation de proportionnalité entre les quantités d’un produit et leurs prix en dirhams.
- $300$ dirhams
- $255$ dirhams
- $375$ dirhams
- $448$ dirhams
Construire le symétrique du triangle $ABC$ par rapport à la droite $(D)$, (en laissant les traces de la construction).
Cette année, l’âge de Ahmed est le double de celui de Ali, et l’âge de Souad est de 16 ans.
Quel est l’âge de Ahmed sachant que la somme des âges des trois personnes est de 88 ans?
- $50$ans.
- $40$ans.
- $48$ans.
- $35$ans.
Dans la figure suivante, $(EF)$ est parallèle à $(MN)$.
Quelle est la longueur du segment $[MN]$?
- $MN=\dfrac{21}{5}$
- $MN=\dfrac{6}{5}$
- $MN=\dfrac{5}{6}$
- $MN=\dfrac{25}{2}$
Quelle est l’écriture scientifique du nombre $0,000347$?
- $3,47\times 10^{-6}$
- $347\times 10^{-6}$
- $3,47\times 10^{-4}$
- $3,47\times 10^{-7}$
Place le point $N$ tels que $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC}$. Laisse les traces de la construction.
Quel est la factorisation correcte de l’expression suivante: $A=(x + 3)(5x – 2) – (x + 3)(2x + 1)$?
- $A=(x+3)(3x-3)$
- $A=(x+3)(3x-1)$
- $A=(x+3)(-3x-3)$
- $A=(x+3)(7x-1)$
Combien vaut le nombre $B=\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{7}\times\dfrac{4}{5}-\dfrac{2}{3}$?
- $B=\dfrac{6}{35}$
- $B=\dfrac{10}{35}$
- $B=\dfrac{8}{35}$
- $B=\dfrac{16}{35}$
Dans la figure suivante :
$E$ est le milieu de $[PN]$ et $F$ est le milieu de $[MN]$, et $I$ est le point d’intersection de $(ME)$ et $(PF)$ et $IF = 2 cm$.
Quelle est la longueur du segment $[PI]$?
- $PI=8cm$
- $PI=4cm$
- $PI=6cm$
- $PI=9cm$
Combien vaut le nombre $C=\dfrac{5^6}{36}\times\left(\dfrac{6}{5}\right)^2$?
- $C=6^2$
- $C=5^3$
- $C=6^4\times 5^7$
- $C=5^4$
La figure représente un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ avec des dimensions de $8cm$, $6cm$ et $4cm$.
Quelle est la surface totale $\mathcal{S}_\mathcal{T}$ de ce solide?
- $\mathcal{S}_\mathcal{T}=208cm^2$
- $\mathcal{S}_\mathcal{T}=176cm^2$
- $\mathcal{S}_\mathcal{T}=192cm^2$
- $\mathcal{S}_\mathcal{T}=104cm^2$
Pendant la période de croissance d’une plante, sa longueur augmente de $7\%$ chaque semaine. Si sa longueur aujourd’hui est de $35cm$, quelle sera sa longueur après une semaine en centimètres?
- $30,37$
- $37,45$
- $35$
- $40$