On considère la fonction $f$ définie par :

Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left( {O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)$

1. 1. Montrer que : $\left( {\forall x < 0} \right)\,\,;\,\,\,\arctan \left( x \right) – x > 0$. (0.75)
      (0,75)
   2. En déduire que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. (0.5pt)
      (0,5)
   1. Montrer que : $\left( {\forall x < 0} \right)\,\,;\,\,\,\dfrac{{{x^5}}}{5} < \arctan \left( x \right) – x + \dfrac{{{x^3}}}{3} < 0$
      (1,5)
   2. Calculer : $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \dfrac{{\arctan \left( x \right) – x}}{{{x^3}}}$
      (0,75)
   3. Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $0$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.(1)
   4. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.(1,5)
2. Calculer $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right)$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.(0,75)
   1. Calculer $\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f\left( x \right)$
      (1)
   2. Montrer que : $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\arctan \left( x \right) – x}}{{{x^2}}} = 0$
      (Utiliser la question 2a)
      (1)
   3. Montrer que : $$\left( {\forall x > 0} \right)\,\,;\,\,\,\,\,f\left( x \right) – x = \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\left( {\dfrac{{\arctan \left( {\dfrac{1}{{x + 1}}} \right) – \dfrac{1}{{x + 1}}}}{{{{\left( {\dfrac{1}{{x + 1}}} \right)}^2}}}} \right) – \dfrac{x}{{x + 1}}$$
      En déduire la nature de la branche infinie au voisinage de $+\infty$.
      (0,75)
3. On considère la fonction $g$ définie sur $]0,+\infty[$ par :
   $$g\left( x \right) = 2\arctan \left( {\dfrac{1}{{x + 1}}} \right) – \dfrac{x}{{{x^2} + 2x + 2}}$$
   1. Étudier les variations de la fonction $g$, puis en déduire que $g\left( x \right) > 0$
      (1,5)
   2. Étudier les variations de la fonction $f$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
      (1,5)
4. Construire la courbe $(C_f)$.
   (1)

On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0,\dfrac{\pi}{3}\right]$ par :
$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$.

1. 1. Montrer que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,;\,\,\,\,\,x\cos x – \sin x < 0$ (0,75)
   2. En déduire le sens de variation de $f$. (0,75)
2. On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\varphi \left( x \right) = x\cos x – \sin x + c{x^2}$ où $c=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
   1. Calculer $\varphi'(x)$, puis en déduire que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,;\,\,\,\,\,\varphi \left( x \right) > 0$. (0,75)
   2. En déduire que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,\,;\,\,\,\left| {f’\left( x \right)} \right| \le c$. (0,75)
3. On considère la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_0} \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \\ {} \\ {{u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)} \end{array}} \right.$
   1. Montrer que l’équation $\sin x=x^2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]$. (0,75)
   2. Montrer que : $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right)\,\,;\,\,\,\,\,0 < {u_n} \le \dfrac{\pi }{3}$. (0,75)
   3. En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :$\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right)\,\,;\,\,\,\,\,\left| {{u_{n + 1}} – \alpha } \right| \le c\left| {{u_n} – \alpha } \right|$. (1)
   4. En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}$. (1)

On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0,\dfrac{\pi}{3}\right]$ par :
$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$.

1. 1. Montrer que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,;\,\,\,\,\,x\cos x – \sin x < 0$ (0,75)
   2. En déduire le sens de variation de $f$. (0,75)
2. On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\varphi \left( x \right) = x\cos x – \sin x + c{x^2}$ où $c=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
   1. Calculer $\varphi'(x)$, puis en déduire que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,;\,\,\,\,\,\varphi \left( x \right) > 0$. (0,75)
   2. En déduire que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,\,;\,\,\,\left| {f’\left( x \right)} \right| \le c$. (0,75)
3. On considère la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_0} \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \\ {} \\ {{u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)} \end{array}} \right.$
   1. Montrer que l’équation $\sin x=x^2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]$. (0,75)
   2. Montrer que : $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right)\,\,;\,\,\,\,\,0 < {u_n} \le \dfrac{\pi }{3}$. (0,75)
   3. En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :

      $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right)\,\,;\,\,\,\,\,\left| {{u_{n + 1}} – \alpha } \right| \le c\left| {{u_n} – \alpha } \right|$. (1)

   4. En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}$. (1)

1. Montrer que : $2 \arctan \left( \dfrac{1}{3} \right) + \arctan \left( \dfrac{1}{7} \right) = \dfrac{\pi}{4}$
2. Calculer : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt[3]{-x}+x}{\sqrt{-x}+x}$
3. Calculer : $\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} \dfrac{\sqrt[3]{1-x}+x^2-1}{x-1}$
4. Calculer : $\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} \dfrac{\arctan\left( \sqrt[3]{1-x}\right)}{x-1}$
   1. Montrer que :  $(\forall x<0)\,;\,\,\, \arctan x+\arctan\dfrac{1}{x}=-\dfrac{\pi}{2}$
   2. En déduire : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2x\arctan\left(1-\sqrt[3]{x} \right)+\pi x\right)$

1. Montrer que $(\forall p\in \mathbb{N})$ : \[\arctan \left( p+1 \right) + \arctan \left( p \right) = \arctan \left( \dfrac{1}{p^2+p+1} \right)\]
2. On considère la suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $$S_n=\sum_{k=0}^{n}\arctan\left(\dfrac{1}{k^2+k+1}\right)$$
   Calculer $S_n$ en fonction de $n$ puis calculer $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n$.

Pour tout entier $n\ge 3$, on considère la fonction $f_n$ définie par $f_n(x) =x^n-2-n(x-1)$.

1. Montrer que l’équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $x_n$ dans $[0,1]$.
2. Étudier la monotonie de la suite $(x_n)$ et déduire que $(x_n)$ est convergente.
   1. Montrer que $(\forall n\ge 3)\,:\,\, x_n=\dfrac{n+x_n^n-2}{n}$.
   2. En déduire un encadrement de $(x_n)$, puis calculer $\lim x_n.$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[0,1]$ dans $[0,1]$ telles que $f \circ g = g \circ f$.
Le but de l’exercice est de démontrer qu’il existe $c \in [0,1]$ tel que $f(c) = g(c)$.

1. Montrer qu’il existe $s \in [0,1]$ tel que $f(s) = s$.
2. Montrer que pour tout $n \ge 0$, $g^n(s) = f(g^n(s))$. (On pourra utiliser un raisonnement par récurrence)

   (Où $g^n = \underbrace{g \circ g \circ g \circ \dots \circ g}_{n\,fois}$ pour $n \ge 1$ et $g^0 = Id\, :\, x \to x$)

3. On considère la suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $u_n = g^n(s)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
   1. Vérifier que $f(u_n) = u_n$ et que $u_{n+1} = g(u_n)$.
   2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 1$.
   3. On suppose que la suite $(u_n)$ est monotone. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et que sa limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = g(\ell)$.
   4. On suppose que la suite $(u_n)$ n’est pas monotone. Montrer qu’il existe $(u,v) \in [0,1]^2$ tels que $\left( f(u) – g(u) \right)\left( f(v) – g(v) \right) \le 0$.
4. Conclure.

On considère la fonction $g$ définie sur $[0,\pi[$ par : $g(x) = \arctan \left( \sqrt{\dfrac{1-a}{1+a}} \tan \left( \dfrac{x}{2} \right) \right)$.
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,\pi]$ telle que : $(\forall x\in [0,\pi[),\,\, f(x)=\pi-2g(x)$

1. Calculer $f(\pi)$.
2. Montrer que pour tout $x \in ]0,\pi[$ : \[0 < f(x) < \pi\]
3. Montrer que pour tout  $x \in ]0,\pi[$ : \[\tan \left( \dfrac{f(x)}{2} \right) \tan \left( \dfrac{x}{2} \right) = \sqrt{\dfrac{1+a}{1-a}}\]
4. En déduire que pour tout $x\in [0,\pi],\,\,\,f(f(x)) = x$.
5. En déduire que la fonction $f$ est une bijection de $[0,\pi]$ vers $[0,\pi]$ et en déduire la bijection réciproque $f^{-1}$.

On considère la fonction $ f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1} $.

1. Montrer que $3$ est le maximum absolu de $f$ atteint en $x=1$.
2. Montrer que $-1$ est le minimum absolu de $f$.

On considère la fonction $ f(x)=\dfrac{4 x-3}{x^{2}+1} $.

1. Montrer pour tout $ x $ et $ y $ de $\mathbb{R}$ tel que $ x \neq y $, on a : $$ \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{(2 x+1)(2-y)+(2 y+1)(2-x)}{\left(x^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)}.$$
2. En déduire les variations de $ f $ sur $ [2,+\infty[ $, $ \left[-\dfrac{1}{2}, 2\right] $, et $ \left]-\infty,-\dfrac{1}{2}\right] $.
3. Déterminer le maximum et le minimum absolus de $ f $.
4. Montrer que $ f\left(\left[2,+\infty\right[\right)=\left] 0,1\right]$.
5. On considère la fonction $g(x)=\dfrac{4x-3x^2}{1+x^2}.$
   1. Montrer que $(\forall x\neq 0)\,:\,\,\, g(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right).$
   2. En déduire les variations de la fonction $g$ sur chacun des intervalles : \[\left[ {2, + \infty } \right[\,\,,\,\,\left[ {\frac{1}{2},2} \right]\,\,,\,\,\left] {0,\frac{1}{2}} \right]\,\,,\,\,\left[ { – \frac{1}{2},0} \right[\,\,,\,\,\left[ { – 2, – \frac{1}{2}} \right]\,\,,\,\,\left] { – \infty , – 2} \right]\]

On considère les deux fonctions : $f(x)=\sqrt{x+1}$ et $g(x)=-x^3$.

1. Construire dans un même repère les courbes $ C_f $ et $ C_g $.
2. En déduire que l’équation $ x^{3}+\sqrt{1+x}=0 $ admet une solution unique $ \alpha $ telle que $ -\dfrac{7}{8}<\alpha<-\dfrac{3}{4}.$
3. Résoudre dans $ \left[-1,+\infty\right[ $ l’inéquation $ x^{3}+\sqrt{1+x}<0.$
4. Déterminer graphiquement $ f\left(\left[-1,2\right]\right) $ et $ f\left(\left[3,+\infty\right[\right).$

On considère les fonctions $ f(x)=\sqrt{x+1} $ et $ g(x)=\dfrac{x+1}{x-2}.$
Déterminer le domaine de définition de $ h=g \circ f $ puis étudier ses variations.

On considère les fonctions $ f(x)=x^{2}-2x $ et $ g(x)=x^{2}-4x+5.$
Étudier les variations de la fonction $ h=g \circ f.$

On considère la fonction $ f(x)=\dfrac{8 x+4}{x^{2}+2 x+1}.$

1. Déterminer $ D_f.$
2. Montrer que $f$ admet un maximum absolu.
3. On considère la fonction $ g(x)=4-x^{2} $.
   1. Déterminer une fonction $ h $ telle que $ \left(\forall x \in D_f\right)\,: \,\,\,f(x)=g \circ h(x)$.
   2. En déduire les variations de $f$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}+x^{2}+x $.

1. 1. Montrer que $ \left(\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2\right)\,:\,\,\, x^{2}+x(1+y)+y^{2}+y+1 > 0.$
   2. En déduire que $f $ est croissante sur $ \mathbb{R} $.
2. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : $ g(x)=\dfrac{1+x+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} $.
   1. Montrer que $ \left(\forall x \in \mathbb{R}_+^*\right)\,:\,\,\, g(x)=f\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right).$
   2. En déduire les variations de $g$ sur $ \mathbb{R}_+^*.$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x^{2}+1}}$.

1. Déterminer $D_f$.
2. Monsrer que $\left(\forall x \in D_f\right)\,:\,\,\, f(-x)=\dfrac{1}{f(x)}$.
3. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}^{+}$ puis sur $\mathbb{R}^{-}$.
4. Soit $g$ la restriction de $f$ sur $\mathbb{R}^{+}$.
   Montrer que $g$ est une bijection de $\mathbb{R}^{+}$ sur $[1,+\infty[$ puis déterminer sa bijection réciproque.

On considère la fonction $f(x)=\dfrac{1}{x+1}\sqrt{x^{2}-1}$.

1. Déterminer $D_f$.
2. On considère la fonction $g$ définie par : $g(x)=(f(x))^{2}$.Donner le tableau de variation de $g$ puis celui de $f$.

On considère la fonction $f$ définie par : $ f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x} $ pour $ x \neq 0 $ et $ f(0)=0 $.

1. Montrer que $ \left(\forall x \in \mathbb{R}\right)\,:\,\, -1 < f(x) <1$.
2. Monsrer que $1$ et $-1$ ne sont pas des extremums de la fonction $f$.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[$ par : $ f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{1-x}\right).$

1. Montrer que $ \left(\forall x \in ]0,1[\right)\,:\,\, f(x)=1-\dfrac{2}{x^{2}-x}.$
2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur chacun des intervalles $\left]0, \dfrac{1}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{1}{2},1\right[$.
3. Quelle est la valeur maximale que prend le nombre $ A=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)$ lorsque $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs vérifiant $a+b=1$?

On considère la fonction définie sur $[1,+\infty[$ par $f(x)=x-1-2 \sqrt{x-1}.$

1. Déterminer $A=f^{-1}\left(\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}\right)$ et en déduire que $f$ n’est pas injective.
2. On considère les deux fonctions $u(x)=x^{2}-2 x$ et $v(x)=\sqrt{x-1}.$
   1. Montrer que pour tout $x \in[1,+\infty[$, on a : $f(x)=(u \circ v)(x).$
   2. Étudier les variation de $f$.
   3. En déduire que $f$ n’est pas surjective de $[1,+\infty[$ vers $\mathbb{R}$.
3. Déterminer le maximum absolu de la fonction $g(x)=\dfrac{1}{x}\left(1-2 \sqrt{x-x^{2}}\right)-1$ sur l’intervalle $\left[\dfrac{2}{5}, \dfrac{1}{2}\right]$

On considère la fonction $f(x)=\dfrac{\sqrt{|x|}-2}{\sqrt{|x|}+2}.$

1. Déterminer le domaine de définition de $f$ et étudier sa parité.
2. Étudier les variations de $f$.
   1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a : $-1 \leq f(x) < 1.$
   2. Montrer que $-1$ est le minimum absolu de $f$, et que $f$ n’admet pas de maximum absolu.
3. Montrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}^{+}$ vers $[-1,1[$, puis déterminer sa bijection réciproque.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$par $f(x)=\dfrac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}+\sqrt{1+x}.$

1. Montrer que $-1$ est le minimum absolu de $f$.
2. Montrer que la fonction $f$ n’est pas majorée.

On considère les deux fonctions définies par : $f(x)=x^{2}-2 x+2$ et $g(x)=\sqrt{x-1}+1.$

1. Étudier les variations des deux fonctions $f$ et $g$.
2. Soit $h$ la restriction de $f$ à l’intervalle $[1,+\infty[$.
   1. Montrer que $f \circ h$ et $h\circ f$ sont définies sur $[1,+\infty[$.
   2. Montrer que $f \circ h=h \circ f=Id$.
   3. En déduire que $f$ et $h$ sont des bijections de $[1,+\infty[$ vers $[1,+\infty[$ et déterminer leur bijection réciproque.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0,12]$ par : $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{12-x}.$

1. 1. Montrer que $(\forall x \in[0,12])\,:\,\,\, 12-x \in[0,12]$ et $f(12-x)=f(x)$.
   2. Montrer que pour tout $(x, y) \in\mathbb{R}^{2}$ les points $M(x, y)$ et $M(12-x, y)$ son symétriques par rapport à la droite $(D)\,:\,\,\, x=6$.
   3. En déduire que la droite $(D)\,:\,\,\, x =6$ est un axe de symétrie de la courbe $\left(C_{f}\right)$.
2. Étudier les variation de la fonction $f$ sur $[0,6]$ puis sur $[6,12]$.
3. En déduire la comparaison des nombres $\sqrt{2}+\sqrt{10}$, $\sqrt{3}+3$ et $\sqrt{5}+\sqrt{7}.$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par : $f(x)=E\left(x^{2}\right)-2 E(x).$

1. 1. Montrer que $\left(\forall x \in\mathbb{R}^{+}\right)\,:\,\,\,(E(x))^{2} \leq E\left(x^{2}\right)$.
   2. En déduire que $-1$ et le maximum absolu de $f$.
2. On pose $x=n+\dfrac{1}{2}$ avec $x \in\mathbb{N}$.
   1. Calculer $f(x)$ en fonction de $n$.
   2. En déduire que $f$ n’est pas majorée.

Déterminer les abscisses curvilignes principales des points $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ dont l’une des abscisses est respectivement : $\dfrac{37 \pi}{3}, \dfrac{157 \pi}{4},-\dfrac{1115 \pi}{6}$ puis représenter ces points sur le cercle trigonométrique.

Représenter sur le cercle trigonométrique les points dont les abscisses curvilignes sont les nombres de la forme $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k \pi}{4}$ Avec $k \in \mathbb{Z}$.

Soit $ABC$ un triangle équilatère tel que $\overline {\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \equiv \dfrac{\pi }{3}[2\pi ]$.
Calculer : \[\overline {\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)} \quad ,\quad \overline {\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CB} } \right)} \quad ,\quad \overline {\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BA} } \right)}.\]

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls tel que : $(\overline{\vec{u}, \vec{v}}) \equiv \dfrac{3 \pi}{7}[2 \pi].$
Calculer : \[\overline {\left( {\overrightarrow u , – \overrightarrow v } \right)} \quad ,\quad \overline {\left( {\overrightarrow v ,2\overrightarrow u } \right)} \quad ,\quad \overline {\left( {\overrightarrow v , – 3\overrightarrow u } \right)} \quad ,\quad \overline {\left( { – \overrightarrow u , – \overrightarrow v } \right)} .\]

Soit $ABCD$ un parallélogramme, $M$ un point du segment $[AB]$ tel que $(DM)$ est bissectrice la de l’angle $\widehat {{\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {DA} } \right)}}$, et $N$ un point du segment $[AB]$ tel que $(CN)$ est la bissectrice de l’angle $\widehat {\left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CN} } \right)}.$
Démontrer que $(CN)$ et $(DM)$ sont perpendiculaires.

Soit $A$ et $B$ deux points du cercle trigonométrique tel que $\overline {\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)}  \equiv \dfrac{\pi}{2}[2 \pi].$
Déterminer le point $M$ du cercle trigonométrique vérifiant:\[\overline {\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OA} } \right)} \equiv 2\overline {\left( {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OM} } \right)} [2\pi ].\]

Calculer : $$\cos \left(\dfrac{7 \pi}{6}\right)\,\,\, ,\,\,\,\sin \left(\dfrac{176 \pi}{3}\right)\,\,\, ,\,\,\,\cos \left(-\dfrac{139 \pi}{6}\right)\,\,\, ,\,\,\,\tan \left(\dfrac{173 \pi}{4}\right)$$

Soit $U$ le cercle trigonométrique lié au repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$ dont les abscisses curvilignes sont respectivement : $$\dfrac{37 \pi}{2}\,\, , \,\,\dfrac{117 \pi}{6}\,\, , \,\,\dfrac{-151 \pi}{3}\,\, , \,\, \dfrac{11983 \pi}{4}$$

Soit $x$ un nombre réel. Simplifier les expressions : $$
\begin{aligned}
& A=\sin (x+\pi)+\cos (x-\pi)-\sin (x-7 \pi)+\cos (x-121 \pi) \\
& B=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)+\sin \left(\dfrac{117 \pi}{2}-x\right)-\cos \left(x-\dfrac{119 \pi}{2}\right)
\end{aligned}$$

Soit $A$, $B$, $C$ trois points du cercle trigonométrique d’abscisses curvilignes $\alpha$, $\alpha+\dfrac{2 \pi}{3}$, $\alpha+\dfrac{4 \pi}{3}$ respectivement, avec $\alpha \in \mathbb{R}$.

1. Montrer que $ABC$ est un triangle équilatère.
2. En déduire que :$$
   \begin{aligned}
   & \cos (\alpha)+\cos \left(\alpha+\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\cos \left(\alpha+\dfrac{4 \pi}{3}\right)=0 \\
   & \sin (\alpha)+\sin \left(\alpha+\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\alpha+\dfrac{4 \pi}{3}\right)=0
   \end{aligned}
   $$

Montrer que pour tout réel $x$ on a :$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\,\,\ \sin ^{4} x+\cos ^{4} x=1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x\\
\mathbf{2.}\,\,\ (1+\sin x+\cos x)^{2}=2(1+\sin x)(1+\cos x) \\
\mathbf{3.}\,\,\ 2\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)-3\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)=-1\\
\mathbf{4.}\,\,\sin ^{3} x+\cos ^{3} x-\sin x \cos x(\sin x+\cos x)=\sin x+\cos x
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ 2 \cos x+\sqrt{3}=0 &\quad\mathbf{2.}\ 2 \cos x-1=0 &\quad\mathbf{3.}\ \sqrt{2} \sin x-1=0\\
\mathbf{4.}\ \sin x-\cos x=0 &\quad\mathbf{5.}\ \tan x-1=0 &\quad\mathbf{6.}\ \sqrt{3} \tan x+1=0
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \tan (3 x)-\tan (x)=0 &\quad\mathbf{2.}\ \tan (3 x)+\tan \left(x-\dfrac{2 \pi}{3}\right)=0\\
\mathbf{3.}\ \tan (x) \tan (4 x)=-1 &\quad\mathbf{4.}\ \cos (2 x)+\cos (3 x)=2\\
\mathbf{5.}\ \cos ^{2}(2 x)+\cos ^{2}(3 x)=1 &
\end{array}$$

Résoudre dans $[0,2 \pi]$ les équations suivantes : :$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ \sin \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos \left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=0\\
\mathbf{2.}\ \sqrt{3} \tan ^{2} x+(\sqrt{3}-1) \tan x-1=0 \\
\mathbf{3.}\ -2 \sin ^{2} x+\cos x+1=0
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ 2 \cos x-1 \geq 0 &\quad\mathbf{2.}\ 2 \cos x-1<0\\
\mathbf{3.}\ 2 \sin x-\sqrt{3} \geq 0 &\quad\mathbf{4.}\ 2 \sin x+1<0
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \sqrt{2} \cos (2 x)+1<0 &\quad\mathbf{2.}\ \cos \left(2 x-\dfrac{\pi}{4}\right) \geq \dfrac{1}{2}\\
\mathbf{3.}\ \tan x-1>0 &\quad\mathbf{4.}\ \tan \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3} \leq 0
\end{array}$$

Résoudre dans $[-\pi, \pi]$ les inéquations suivantes :$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ 2 \cos (3x)+1>0 &\quad\mathbf{2.}\ \sqrt{2} \sin \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)<1\\
\mathbf{3.}\ 2 \cos ^{2} x>1 &\quad\mathbf{4.}\ 2 \sqrt{2} \sin ^{2}x+(\sqrt{2}-2) \sin x-1 \geq 0
\end{array}$$

Résoudre le système suivant :$$
\left\{\begin{array}{l}
2 \sin x=\cos y \\
\sin ^{2} x+\sin ^{2} y+\cos y+\dfrac{3}{4}=0
\end{array}\right.
$$

On considère la fonction $f(x)=\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}$

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ et montrer que : $$(\forall x \in \mathbb{R}) \,:\,\,\, f(x+\pi)=f(x).$$
2. Montrer que $(f(x))^{2}=2(1+|\sin x|)$ et en déduire que : $$(\forall x \in \mathbb{R})\,:\,\, \sqrt{2} \leq f(x) \leq 2.$$
3. Montrer que $f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sqrt{2} \sqrt{1+|\cos x|}$ puis résoudre dans $[0, \pi]$ l’équation $$f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=f(x).$$

Soient $a, b, c$ les longueurs des trois cotés d’un triangle.
Montrer que : $$\left(\forall x \in \mathbb{R}-\left\{\dfrac{k \pi}{2} / k \in \mathbb{Z}\right\}\right);\,\,\,\, a^{2}<\dfrac{b^{2}}{\cos ^{2} x}+\dfrac{c^{2}}{\sin ^{2} x}.$$

Soient $a$, $b$ et $c$ les mesures des trois angles d’un triangle. Montrer ce qui suit : $$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ \sin b \cdot \cos c+\sin c \cdot \cos b=\sin a \\
\mathbf{2.}\ a=b \cos c+c \cos b\\
\mathbf{3.}\ \tan b+\tan c=\dfrac{\sin a}{\cos b \cos c}
\end{array}$$

1. Montrer que si $|a| \leq 1$ et $|b| \leq 1$ alors : $$ab=1 \Leftrightarrow (a=1 \,\,\text{ et }\,\, b=1) \,\,\text{ ou }\,\, (a=-1 \,\,\text{ et }\,\, b=-1)$$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\sin (4 x) \sin (6 x)=1.$

Soit $a \in\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que : $\sin (a)=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$

1. Montrer que : $\cos (2a)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$ et en déduire $\cos (4a)$.
2. Montrer que $a$ est solution de l’équation : $\cos (4x)=\sin (x)$.
3. Résoudre dans $[0, \pi]$ l’équation $\cos (4 x)=\sin (x)$ et en déduire la valeur de $a$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $S_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{k} \cos ^{3}\left(3^{k} x\right).$

1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}\,:$ $$\cos ^{3}(x)=\dfrac{1}{4}(3 \cos x+\cos 3 x).$$
2. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N})(\forall x \in \mathbb{R})\,:$  $$S_{n}(x)=\dfrac{3}{4} \cos x+\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n} \cos \left(3^{n+1} x\right)$$

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}-\{2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\}$, on pose : $$
S=\cos x+\cos 2 x+\ldots  \cos n x$$Démontrer que : $$S=\dfrac{\sin \left(\dfrac{n x}{2}\right) \cos \left((n+1) \dfrac{x}{2}\right)}{\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)}$$

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $\cos 3 \mathrm{x}=\cos 4 \mathrm{x}$.
2. Démontrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $\left\{\begin{array}{l}\cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x \\ \cos 4 x=8 \cos ^{4} x-8 \cos ^{2} x+1\end{array}\right.$
3. En déduire que les solutions de l’équation : $8 X^{4}-4 X^{3}-8 X^{2}+3 X+1=0$ sont : $1$, $\cos \dfrac{2 \pi}{7}$, $\cos \dfrac{4 \pi}{7}$, $\cos \dfrac{6 \pi}{7}$.
4. Factoriser $8X^{4}-4X^{3}-8X^{2}+3X+1$, et en déduire que :$$
   \begin{aligned}
   & \cos \dfrac{2 \pi}{7} \times \cos \dfrac{4 \pi}{7} \times \cos \dfrac{6 \pi}{7}=\dfrac{1}{8} \\
   & \cos \dfrac{2 \pi}{7}+\cos \dfrac{4 \pi}{7}+\cos \dfrac{6 \pi}{7}=-\dfrac{1}{2}
   \end{aligned}
   $$

1. Résoudre dans l’équation : $\cos \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin \left(3 x-\dfrac{\pi}{12}\right)$. Préciser les solutions appartenant à $]-\pi,+\pi[$ et les représenter sur un cercle trigonométrique.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\sqrt{2} \sin ^{2} x+3 \cos x-2 \sqrt{2}=0$, puis représenter les solutions sur un cercle trigonométrique.
3. Soit $\alpha$ la solution commune aux 1) et 2) et appartenant à $]-\pi,+\pi]$. Exprimer $\cos \alpha$ en fonction de $\cos \dfrac{\alpha}{2}$ et de $\sin \dfrac{\alpha}{2}$. En déduire la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$ et de $\sin \dfrac{\pi}{8}$.
4. Procéder comme au 3) pour obtenir la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{16}$ et $\sin \dfrac{\pi}{16}$. Peut-on faire une conjecture sur l’expression de $\cos \dfrac{\pi}{2^{n}}$ et $\sin \dfrac{\pi}{2^{n}}$ pour $n \geq 2$ et si oui laquelle?

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \sqrt{2} \sin \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)-\sin x=\cos x &\quad\mathbf{2.}\ \sin 2 x+\cos 2 x=-1\\
\mathbf{3.}\ \tan x=\sin 2 x &\quad\mathbf{4.}\ \sin ^{3} x+\sin 3 x=0\\
\mathbf{5.}\ \sin ^{2} x+\dfrac{5}{2} \cos x=2
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ (\sqrt{3}-1) \sin ^{2} x-(1+\sqrt{3}) \cos x \sin x+1=0\\
\mathbf{2.}\ \tan x+2 \cos x-2 \sin x=1
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante et représenter sur le cercle trigonométrique.$$
2 \sin ^{2} x+\sqrt{3} \sin 2 x=3$$et représenter sur le cercle trigonométrique.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ 1+\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x=\cos x-\cos 2 x+\cos 3 x \\
\mathbf{2.}\ \tan x+\tan 2 x+\tan 3 x=0\\
\mathbf{3.}\ \sin 5 x-\sin 3 x=\cos 6 x+\cos 2 x\\
\mathbf{4.}\ \tan x=\dfrac{\tan 2 x+1}{\tan 2 x+1}\\
\mathbf{5.}\ \sin (5 x)+\sin x+2 \sin ^{2} x=1
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ \sin a+\sin (a+x)+\sin (a+2 x)+\sin (a+3 x)=0 \text{ avec } \sin a \neq 0 \\
\mathbf{2.}\ \tan (a+x) \tan (a-x)=\dfrac{1-2 \cos (2 a)}{1+2 \cos (2 a)},\,\,\,a\in\mathbb{R}
\end{array}$$

1. Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R})\,:\,\,\, \cos ^{6} x+\sin ^{6} x=\dfrac{5+3 \cos (4 x)}{8}.$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation : $\cos ^{6} x+\sin ^{6} x>\dfrac{13}{16}.$

On considère la fonction : $$
g(x)=4 \cos ^{2} x+\sqrt{3} \cos x \sin x+3 \sin ^{2} x-4$$

1. Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R})\,:\,\,\, g(x)=2 \sin x \cos \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $g(x)=0$ et représenter les solution sur le cercle trigonométrique.
3. Résouder dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $g(x) \leq 0$.
4. Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R})\,:\,\,\, g(x)=\sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{6}\right)-\dfrac{1}{2}.$
5. Calculer $g\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et en déduire les valeurs de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.

1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}\,:\,\,\, \sin 3 x=(1+2 \cos 2 x) \sin x.$
2. Soit $\alpha \neq k \pi$. Montrer que : $\cos \alpha+\cos 3 \alpha+\cos 5 \alpha=\dfrac{\sin 6 \alpha}{2 \sin \alpha}.$
3. En déduire : $S=\cos ^{2} \dfrac{\pi}{14}+\cos ^{2} \dfrac{3 \pi}{14}+\cos ^{2} \dfrac{5 \pi}{14}.$

1. Montrer que : $\sin \dfrac{\pi}{9} \sin \dfrac{2 \pi}{9}=\dfrac{1}{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{9}-\cos \dfrac{3 \pi}{9}\right)$.
2. Montrer que : $\cos \dfrac{\pi}{9} \sin \dfrac{4 \pi}{9}-\cos \dfrac{3 \pi}{9} \sin \dfrac{4 \pi}{9}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$
3. En déduire que : $\sin \dfrac{\pi}{9} \sin \dfrac{2 \pi}{9} \sin \dfrac{3 \pi}{9} \sin \dfrac{4 \pi}{9}=\dfrac{3}{16}.$
4. Montrer que : $P=\cos \dfrac{\pi}{9} \cos \dfrac{2 \pi}{9} \cos \dfrac{3 \pi}{9} \cos \dfrac{4 \pi}{9}=\dfrac{1}{16}$.

On considère les nombres :$$\begin{array}{l}
\ A=\cos \dfrac{2 \pi}{7}+\cos \dfrac{4 \pi}{7}+\cos \dfrac{6 \pi}{7} \\
\ B=\cos \dfrac{2 \pi}{7} \cos \dfrac{4 \pi}{7}  \cos \dfrac{6 \pi}{7} \\
\ C=\cos \dfrac{2 \pi}{7} \cos \dfrac{4 \pi}{7}+\cos \dfrac{4 \pi}{7}  \cos \dfrac{6 \pi}{7}+\cos \dfrac{6 \pi}{7}  \cos \dfrac{2 \pi}{7}\end{array}$$

1. Montrer que $A=4 B-1$.
2. Montrer que $C=A$.
3. Calculer $B\sin \dfrac{2 \pi}{7}$ et en déduire les valeurs de $A$, $B$ et $C$.
4. En déduire que : $\sin \dfrac{\pi}{7}\sin \dfrac{2 \pi}{7}\sin \dfrac{3 \pi}{7}=\dfrac{\sqrt{7}}{8}$.

Soient $a, b, c, d \in \mathbb{R}$. Montrer ce qui suit :$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ \sin a-\sin b+\sin c=4 \sin \dfrac{a}{2} \cos \dfrac{b}{2} \sin \dfrac{c}{2},\text{ avec } a+b+c=\pi.\\
\mathbf{2.}\ \sin (a+c) \sin (a+d)=\sin (b+c) \sin (b+d),\text{ avec }  \sin (a+b+c+d)=0.\\
\mathbf{3.}\ 4 \sin \dfrac{a+b}{2} \sin \dfrac{b+c}{2} \sin \dfrac{c+a}{2}=\sin a+\sin b+\sin c-\sin (a+b+c+d)
\end{array}$$

1. Montrer que : $$P=\cos \dfrac{\pi}{9} \cos \dfrac{2 \pi}{9} \cos \dfrac{3 \pi}{9} \cos \dfrac{4 \pi}{9}=\dfrac{1}{16}.$$
2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[{P_n} = \cos \left( {\frac{\pi }{{2n + 1}}} \right) \times \cos \left( {\frac{{2\pi }}{{2n + 1}}} \right) \times \cos \left( {\frac{{3\pi }}{{2n + 1}}} \right) \times \cdots \times \cos \left( {\frac{{n\pi }}{{2n + 1}}} \right) = \frac{1}{{{2^n}}}\]

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$
Soit $ABC$ triangle, $I$, $J$, et $K$ sont trois points tels que :
$$\overrightarrow{BI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{CJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA}, \quad\overrightarrow{AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.
$$

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ par rapport à la base $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
2. Conclure que les points $I$, $J$, et $K$ sont alignés.

Le plan est muni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par $A(1,2)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(1,-1)$.
2. Soit $(\Delta)$ la droite dont la représentation paramétrique : $$\left\{\begin{aligned}x &= 1 + 2t \\y &= 2 -t\end{aligned}\right.$$
   1. Trouver un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$.
   2. Déterminer trois points appartenant à $(\Delta)$.
   3. Déterminer parmi les points $A(3,1)$ et $B(1,-1)$ celui qui appartient à la droite $(\Delta)$.
3. Déterminer le point d’intersection des droites $(D)$ et $(\Delta)$.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$ Soient les points $A(1,-1)$, $B(3,1)$, $C(1,-1)$.

1. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $D$ passant par $A$ et dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u}(1,2)$.
2. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(BC)$.
3. Étudier l’intersection des deux droites $(BC)$ et $(D)$.
4. Donner la représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $E(-2,1)$ et parallèle à la droite $\,\,(L) :\,\, 2x -y + 1 = 0$.
5. Étudier l’intersection des deux droites $(\Delta)$ et $(D)$.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$ On considère les deux droites : $$(D) \,\,:\,\, x-y = 0 \quad\text{et}\quad (D^\prime) \,\,:\,\, 3x -5y + 6 = 0$$

1. Trouver la représentation paramétrique des droites $(D)$ et $(D^\prime)$.
2. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ passant par $B(1,0)$ et parallèle à $(EC)$, où $E(3,3)$ et $C(4,0)$.
3. Déterminer les coordonnées du point $I$, intersection des droites $(\Delta)$ et $(D)$, ainsi que les coordonnées du point $J$, intersection des droites $(\Delta)$ et $(D^\prime)$.
4. Montrer que $J$ est le milieu du segment $[IB]$.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$
Considérons la droite $(\Delta) \,\,:\,\, 2x -y + 2 = 0$ et les points $A(3,2)$, $B(4,-2)$, et $C(-2,-2)$.

1. Trouver les coordonnées du point d’intersection $I$ de la droite $(\Delta)$ avec l’axe des ordonnées.
2. Montrer que les droites $(AI)$ et $(BC)$ sont parallèles.
3. Trouver l’équation cartésienne de la droite $(AB)$.
4. Montrer que les droites $(\Delta)$ et $(AB)$ se coupent en $E(2,6)$.
5. Soit $M_1$ et $M_2$ respectivement les milieux des segments $[AI]$ et $[BC]$.
   1. Déterminer les coordonnées des points $M_1$ et $M_2$.
   2. Montrer que les points $E$, $M_1$ et $M_2$ sont alignés.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$ Considérons les points $A(2,6)$ et $C(4,0)$.

1. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(AC)$.
2. Considérons la droite $(\Delta_1)$ dont l’une des représentations paramétriques est :$$\left\{\begin{aligned}x &= \frac{11}{2} +\frac{5}{2}t \\y &= \frac{7}{2}+\frac{1}{2}t \\\end{aligned}\right. \quad (t \in \mathbb{R})$$
3. Vérifier que l’équation $x-5y + 12 = 0$ est l’équation cartésienne de la droite $(\Delta_1)$.
4. Déterminer les coordonnées du point $I$, intersection des droites $(\Delta_1)$ et $(AC)$, et montrer que $I$ est le milieu du segment $[AC]$.
5. On considère la droite $(\Delta_2)$ d’équation $x+y=0$, et soit $B$ un point de $(\Delta_1)$ et $D$ un point de $(\Delta_2)$Déterminer les coordonnées des points $B$ et $D$ tels que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$ Considérons les droites $(D)$ et $(D’)$ définies respectivement par les équations paramétriques suivantes : $$
(D)\,\,:\,\, \left\{
\begin{aligned}
x &= 1 \\
y &= 2 -t
\end{aligned}
\right. \quad (t \in \mathbb{R})
\quad\text{et}\quad
(D’)\,\,:\,\, y=-2
$$

1. Déterminer le point d’intersection de $(D)$ avec l’axe des abscisses.
2. Déterminer le point d’intersection de $(D’)$ avec l’axe des ordonnées.
3. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(D)$ et une représentation paramétrique de la droite $(D’)$.
4. Déterminer les coordonnées du point d’intersection $I$ des droites $(D)$ et $(D’)$.
5. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ passant par $A(-1,1)$ et dirigée par le vecteur $\vec i$.
6. Montrer que les droites $(\Delta)$ et $(D)$ sont parallèles.

Soit $MNQ$ un triangle. On associe le plan au repère $(M,\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MQ})$

1. Déterminer les coordonnées du point $P$ pour que le quadrilatère $MNPQ$ soit un parallélogramme.
2. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(QJ)$ où $J$ est le milieu du segment $[MN]$.
3. Considérons la droite $(D)$ passant par $P$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}=-2\vec i+\vec j$.Montrer que les droites $(D)$ et $(QJ)$ sont parallèles.

Soit $ABCD$ un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$ tels que : $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}$.
On considère le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$.

1. Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$.
2. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(AC)$.
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(BD)$.
4. Vérifier que le point $L\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) est l’intersection des droites $(AC)$ et $(BD)$.
5. Soient $I$ et $J$ les milieux respectif des segments AL et BL. Montrer que CDIJ est un parallèlograme
6. Soient $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AL]$ et $[BL]$. Montrer que $CDIJ$ est un parallélogramme.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$ On considére les droites :
\[\begin{align*}
&\left( {{\Delta _m}} \right)  &&:\quad \left( {m -1} \right)x + \left( {m -2} \right)y + 3m -5 = 0\\
&\left( D \right) &&:\quad 2x -y + 5 = 0\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\\
&\left( {D’} \right)&&:\quad\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 -3t\\
y = 2 + t
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {t \in R} \right)
\end{align*}\]

1. Déterminer la valeur du paramètre $m$ dans chacun des cas suivants : $(D)\parallel(\Delta_m)$ ; $(D’)\parallel(\Delta_m)$ ; $(O,\vec j)\parallel(\Delta_m)$
2. Trouver la valeur de $m$ pour laquelle $A(1,1)$ appartient à $(\Delta_m)$.
3. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(L)$ passant par $A$ et parallèle à $(D)$.

On considère le polynôme $P(x) = 2x^3 -x^2 + 3x + 6$

1. Montrer que le polynôme $P(x)$ est divisible par $(x+1)$.
2. Déterminer le polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x+1)Q(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = x^3 -3x^2 + x + 2$

1. Calculer $P(2)$
2. Démontrer qu’il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x-2)Q(x)$ et déterminer $Q(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = x^3 + \left(\sqrt{5}-1\right)x^2 -\left( \dfrac{\sqrt{6}}{2} -\sqrt 5\right)x -\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
Montrer qu’il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x-1)Q(x)$ et déterminer $Q(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = -x^4 + x^3 + 5x^2 -3x -6$

1. Calculer $P(2)$ et $P(-1)$ puis factoriser $P(x)$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation: $P(x) \ge 0$.
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^+$ l’équation:  $-x^2-x\sqrt x +5x-3\sqrt x-6=0$.
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation: $(x-1)^4+|x-1|^3-5(x-1)^2+3|x-1|+6=0$.

On considère le polynôme $P(x) = 2x^3 -7x^2 + 7x -2$

1. Calculer $P(2)$.
2. Démontrez que si $\alpha$ est une racine de $P(x)$, alors $\dfrac{1}{\alpha}$ est une racine de $P(x)$.
3. En déduire une factorisation de $P(x)$.
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation: $P(|x|)\ge 0$.

On considère le polynôme $P(x) = (1 -\alpha)x^3 + \alpha x^2 + 3\alpha x -3$

1. Déterminer le nombre $\alpha$ pour que $P(x)$ soit divisible par $(x+1)$.
2. Déterminer dans ce cas les nombres $a, b$ et $c$ tels que : $P(x) = (x + 1)(ax^2 + bx + c)$.

On considère le polynôme $P(x) = ax^3 + bx^2 + 2x + 1$

1. Déterminer les nombres $a$ et $b$ pour que $1$ et $-1$ soient des racines de $P(x)$.
2. On suppose que : $a=-2$ et $b=-1$. Factoriser le polynôme $P(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = x^3 -(3 + \alpha)x^2 + (2 + 3\alpha)x -2\alpha$
Calculer $P(\alpha)$ puis factoriser $P(x)$.

Montrer qu’il existe un polynôme $P(x)$ de second degré qui satisfait : $$P(-1)=4\quad,\quad P(1)=3\quad,\quad P(2)=4$$

1. Déterminer un polynôme $P(x)$ de second degré tel que : $P(x+1)-P(x)=x$.
2. En déduire la somme : $S=1+2+3+\ldots+n$

Soit $ABC$ un triangle, et soit $M$ un point tel que : $\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}$.
Soit $M_1$ la projection de $M$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$, $M_2$ la projection de $M_1$ sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$ et $M_3$ la projection de $M_2$ sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$.

1. Exprimer $\overrightarrow {BM_3}$ en fonction de $\overrightarrow{BA}$.
2. En déduire que les segments $[AB]$ et $[MM_3]$ ont le même milieu.

Soit $ABCD$ un parallélogramme et soit $(\Delta)$ une droite mobile passant par $C$ et coupant $(AB)$ en $E$ et $(AD)$ en $F$.
Montrer que : $\dfrac{{\overline {AB} }}{{\overline {AE} }} + \dfrac{{\overline {AD} }}{{\overline {AF} }} = 1$

Soit $ABCD$ un trapèze, de bases $[AB]$ et $[CD]$.
Soit $I$ le milieu de $[AD]$, et $J$ le milieu de $[BC]$.

1. Montrer que $\overrightarrow{IM} = \overrightarrow{NJ}$.
2. En déduire que les segments $[MN]$ et $[IJ]$ ont le même milieu.

Soit un quadrilatère $ABCD$, et soit $M$ un point tel que : $\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{BA}$.
Soit $N$ la projection de $M$ sur $(BC)$ parallèlement à $(AC)$ et $P$ la projection de $N$ sur $(CD)$ parallèlement à $(BD)$

1. Montrer que : $\overrightarrow{DP} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}.$
2. On considère le point $Q$ tel que : $\overrightarrow{DQ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DA}.$
   Montrer que le quadrilatère $MNQP$ est un parallélogramme.

Soit $ABC$ un triangle, et soit $E$ et $F$ deux points tels que :
$$\overrightarrow{AE}= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{AF}= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$$

1. Comparer $\dfrac{\overline {AE}}{\overline {AB}}$ et $\dfrac{\overline {AF}}{\overline {AC}}$.
2. En déduire que $ (EF) \parallel (BC) $.
3. Soit $O$ le point d’intersection de $ (EC) $ et $ (BF)$.
   Vérifier que : $\dfrac{\overline {OE}}{\overline {OC}} = -\dfrac{1}{3}$
4. La droite $(OA)$ coupe $[EF]$ en $I$ et $[BC]$ en $J$. Montrer que $I$ est le milieu de $[EF]$ et $J$ est le milieu de $[BC].$

1. Donner l’encadrement du nombre $x^2+y^2+4x -2y$ sachant que $3 < x  < 4$ et $-5 < y < 2$.
2. Donner l’encadrement des nombres : $xy$ et $x^2y$ sachant que $-1 < x < 1$ et $-1 < y < 1$

Soit $A = x^2 -5x + 6$ avec $2 < x < 3$.

1. Donner un encadrement pour le nombre $A$.
2. Vérifier que $A = (x -2)(x -3)$ et déduire un encadrement plus précis du nombre $A$.
3. Vérifier que $A = \left( x -\dfrac{5}{2} \right)^2 -\dfrac{1}{4}$ et dédure un encadrement encore plus précis du nombre $A$.

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que $ \left| 2x-\dfrac{3}{2}\right| < \dfrac{1}{2}$ et $\left| y-\dfrac{3}{4}\right| < \dfrac{1}{4}$.

1. Montrer que $x$ et $y$ sont des éléments de l’intervalle $\left] \dfrac{1}{2}, 1 \right[$.
2. 1. Vérifier que : $xy -3x -2y -1 = (x -2)(y -3) -7$.
   2. Montrer que : $-5 < xy -3x -2y -1 < -\dfrac{13}{4}$.

Soit $a$ un nombre réel tel que $|a -1| < \dfrac{1}{2}$​.
Montrer que $\dfrac{4}{3}$ est une approximation du nombre $\dfrac{1}{a}$  avec une précision de $\dfrac{2}{3}$​.

Soit $x$ un nombre réel tel que  $\left| x-\dfrac{3}{2}\right|<\dfrac{1}{2}$. On pose : $a=\dfrac{1}{x^2+1}$.

1. Donner une approximation par défaut et par excès avec une précision de $\dfrac{3}{10}$.
2. Trouver une approximation du nombre $a$ avec une précision de $\dfrac{3}{20}$.

1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, $\sqrt{9 + x} \leq 3 + \dfrac{x}{6}$.
2. Montrer que pour tout $0\le x \le 7$, $3+\dfrac{x}{7} \leq \sqrt{9 + x}$.
3. Déduire un encadrement du nombre $\sqrt{9,789}$ avec une précision $2\times 10^{-2}$.

1. Vérifier que $\dfrac{1}{x+1}-(1-x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$ pour tout $x \neq -1$.
2. Montrer que si $|x| < \dfrac{1}{2}$, alors $0 \le \dfrac{1}{x + 1}-(1-x) < 2x^2$.
3. Trouvez une approximation du nombre $\dfrac{1}{1,0005}$ avec une précision de $5\times 10^{-7}$.

1. Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}^*$, $|x| < \sqrt{x^2 + 1} < |x|+ \dfrac{1}{2|x|}$.
2. Trouver un encadrement du nombre $\dfrac{\sqrt{122}}{3}$ avec une précision de $\dfrac{1}{66}$.

Soit $x$ un nomre réel.

1. Montrer que si $1\le x\le 3$, alors $\dfrac{1}{\left| x+2\right|} <\dfrac{1}{3}$.
2. En déduire que si $1 \leq x \leq 3$, alors $\left| \dfrac{x -1}{x + 2}-\dfrac{1}{4} \right| \le \dfrac{1}{4}\left| x-2\right|$.

Soit $x$ un nombres réel positif.

1. Montrer que : $\left|(1 -2x)^3 -(1 -6x)\right| = x^2\left|12-8x\right|$.
2. Supposons que $-\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{1}{2}$.
   1. Montrer que : $\left|12 -8x\right| \leq 16$.
   2. En déduire que : $\left|(1-2x)^3-(1-6x)\right| \leq 16x^2$.
   3. Donner une approximation du nombre $0,9998^3$ avec une précision de $16\times 10^{-8}$.

1. Montrer que pour tout $x \in ]-1,+\infty[$, $\sqrt{x + 1} -1 = \dfrac{x}{\sqrt{x + 1} + 1}$.
2. Montrer que si $-0,19 < x < 0,21$, alors $\dfrac{|x|}{2,1} \le \sqrt{x + 1} -1 \le \dfrac{|x|}{1,9}$.

Soient $ a $ et $ b $ deux réels tels que $ 0 < a \leq b \leq 2a $.

1. 1. Montrer que : $(a-b)(2a-b) \leq 0$.
   2. Développer et factoriser $ (a-b)(2a-b) $ et $ (a\sqrt{2} -b)^2 $.
2. Posons $ A = \dfrac{2a^2 + b^2}{3ab} $. Montrer que :$\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \leq A \leq 1$
3. Montrer que $ \dfrac{(1 + \sqrt{2})^2}{6} $ est une valeur approchée du nombre $A$ à $ \dfrac{(1 -\sqrt{2})^2}{6} $ près.

Soit $ a \in \mathbb{R} $ tel que $ |a| < \dfrac{1}{2} $. On pose : $A = \dfrac{1}{\sqrt{1 + a}} -\left(1 -\dfrac{a}{2}\right)$

1. 1. Montrer que : $A = \dfrac{{\sqrt {1 + a} -\left( {1 +\dfrac{a}{2}} \right) + \dfrac{{{a^2}}}{2}}}{{1 + a}}$
   2. Montrer que $ \sqrt{1 + a} \leq 1 + \dfrac{a}{2}$, puis en déduire que : $A\le a^2$
   3. Montrer que $ \dfrac{1}{\sqrt{1 + a}} \geq 1 -\dfrac{a}{2} $.
2. Déduire une valeur approchée du nombre $\dfrac{1}{\sqrt{1,01}} $ à $ 10^{-4}$ près.

Soient $ a $ et $ b $ deux réels tels que $ 1 \leq b \leq 3 $ et $ |a + 3| \leq 1 $.

1. 1. Montrer que $ -4 \leq a \leq -2 $
   2. Montrer que $|a + b + 1| \leq 2 $.
2. On Considère l’expression $E = 2b -3a + ab$.
   1. Vérifier que $E=(a+2)(b-3)+6$
   2. Montrer que $ 6 \leq E \leq 10 $.

On considère le nombre $a=\dfrac{\sqrt{5-\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}$

1. Vérifier que : $ a = \dfrac{\sqrt{7} -\sqrt{3}}{2} $
2. Sachant que $2,64 < \sqrt{7} < 2.65$ et $1,73 < \sqrt{3} < 1,74$, donner l’approximation décimale du nombre $a$ à $10^{-2}$ près, par excès et par défaut.

Soient $ x $ et $ y $ deux réels tels que $ 3,13 \leq x \leq 3,17 $ et $ |y + 1| \leq 3 \times 10^{-2} $.

1. Montrer que $ -1,03 \leq y \leq -0,97 $.
2. Déterminer un encadrement de $ (y -3)^2 $.
3. Comparer les deux expressions $2x+3y$ et $ x + 2y -xy $.

Soit $ABC$ un triangle. $M$, $N$, et $P$ sont respectivement les milieux des segments $[BC]$, $[CA]$, et $[AB]$.
Montrez que :  $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow 0.$

Soit $ABC$ un triangle. $I$, $J$, et $K$ sont trois points tels que : $$\overrightarrow {BI} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {BC}\,\,\,;\,\,\,\overrightarrow {CJ} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {CA}\,\,\,;\,\,\,\overrightarrow {AK} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {AB}$$Montrez que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.

Soit $ABC$ un triangle. $I$, $J$, et $K$ sont respectivement les milieux des segments $[BC]$, $[CA]$, et $[AB]$. Soit $L$ un point tel que $KBJL$ est un parallélogramme.

1. Construisez le point $L$.
2. Montrez que $J$ est le milieu de $[IL]$.
3. En déduisez que $ALCI$ est un parallélogramme.

Soient $A$, $B$, et $C$ trois points non alignés.

1. Exprimez $\overrightarrow {AB}$ en fonction de $\overrightarrow {CA}$ et $\overrightarrow {CB}$.
2. Soit $M$ un point tel que $\overrightarrow {CM}=3\overrightarrow {MB}$. Exprimez $\overrightarrow {AM}$ en fonction de $\overrightarrow {CA}$ et $\overrightarrow {CB}$.
3. Les points $A$, $M$, et $B$ sont-ils alignés ?

Soit $ABC$ un triangle. $M$ et $N$ sont deux points tels que : $$\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}\,\,\,;\,\,\,
\overrightarrow {NA} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {NC}$$

1. Montrez que $\overrightarrow {MC}$ et $\overrightarrow {BN}$ sont colinéaires.
2. Soit $I$ le milieu du segment $[BN]$. Construisez le point $D$ tel que $\overrightarrow {CI} + \overrightarrow {DI} = \overrightarrow {0}$, puis montrez que $BCND$ est un parallélogramme.

Soit $ABC$ un triangle. $B’$ et $C’$ sont deux points tels que : $\overrightarrow {AB’} = k\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC’} = (1-k)\overrightarrow {AC}$, avec $k\in\mathbb{R}$, et $I$ est le milieu du segment $[B’C’]$.

1. Montrez que : $\overrightarrow {AI} = \dfrac{{1 – k}}{2}\overrightarrow {AC} + \dfrac{k}{2}\overrightarrow {AB}$.
2. On Considère le point $A’$ tel que $I$ soit le milieu de $[AA’]$. Montrez que $\overrightarrow {BA’} = \left( {1 – k} \right)\overrightarrow {BC}$.
3. Montrez que : $\overrightarrow {IA} + k\overrightarrow {IB} + \left( {1 – k} \right)\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$.

Soit $ABC$ un triangle. $D$, $E$, et $F$ sont trois points tels que :
$$\overrightarrow {BD} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BC}\,\,\,;\,\,\,\overrightarrow {AE} = -2\overrightarrow {AD}\,\,\,;\,\,\,\overrightarrow {BF} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow {BE}$$

1. Construisez les points $D$, $E$, et $F$.
2. Montrez que $\overrightarrow {EA} = 2\overrightarrow {AB} + \dfrac{4}{3}\overrightarrow {BC}$ et que $\overrightarrow {FB} = \dfrac{9}{5}\overrightarrow {AB} + \dfrac{4}{5}\overrightarrow {BC}$.
3. Montrez que les points $A$, $F$, et $C$ sont alignés et que $F$ est le point d’intersection des droites $(AC)$ et $(BE)$.

$A$, $B$, et $C$ sont trois points non alignés, et $E$ et $F$ sont deux points tels que : $\overrightarrow {AE} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AF} = 3\overrightarrow {AC}$.

1. Construire la figure.
2. Soit $P$ le point d’intersection des droites $(BC)$ et $(EF)$. Montrez que $\overrightarrow {AP} = 2\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC}$.

$A$, $B$, et $C$ sont trois points non alignés, et $D$ est un point tel que : $\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC}$. $E$ est le point d’intersection de $(AD)$ et $(BC)$.

1. Trouvez une relation entre $\overrightarrow {AD}$ et $\overrightarrow {AE}$.
2. Déterminez la position du point $E$ sur $\overrightarrow {BC}$.

Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe tel que $\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {BC}$. $M$ et $N$ sont les milieux des segments $[AB]$ et $[DC]$ respectivement.

1. Montrez que : $\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {BC}$.
2. Soit $I$ et $P$ les milieux des segments $[BC]$ et $[BD]$ respectivement, et $J$ un point tel que $\overrightarrow {AJ} = \dfrac{5}{6}\overrightarrow {AD}$. Exprimez $\overrightarrow {IJ}$ et $\overrightarrow {IP}$ en fonction de $\overrightarrow {BA}$ et $\overrightarrow {BC}$ et montrez que les points $I$, $P$, et $J$ sont alignés.

Soit $ABCD$ un parallélogramme et $E$ et $F$ deux points tels que : $\overrightarrow {BE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} $ et $\overrightarrow {AF} = 3\overrightarrow {AD}$.

1. Montrez que : $\overrightarrow {CE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {BC}$ et que $\overrightarrow {CF} = 2\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {DC}$.
2. Montrez que les points $E$, $F$ et $C$ sont alignés.
3. Soit $N$ le milieu du segment $[DF]$ et $M$ un point tel que $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BM}$.
   1. Calculez $\overrightarrow {CM}$ et $\overrightarrow {CN}$ en fonction de $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AD}$.
   2. Montrez que $C$ est le milieu du segment $[MN]$.
   3. Montrez que $\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {BD}$.

Soit $ABCD$ un trapèze tel que $(AB)\parallel(CD)$ et $I$ et $J$ les milieux des segments $[AB]$ et $[DC]$ respectivement.

1. 1. Montrez que pour tout point $M$ du plan, on a : $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MJ}$.
   2. En déduire la construction du point $N$ tel que : $\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow{0}$.
2. Soit $G$ un point tel que : $\overrightarrow {CG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CI}$. Montrez que les points $N$, $B$ et $G$ sont alignés.

$ABCD$ est un parallélogramme. $E$ et $F$ sont les milieux des segments $[AB]$ et $[CD]$ respectivement. Les droites $(BD)$ et $(CE)$ se coupent en $I$. Les droites $(BD)$ et $(AF)$ se coupent en $J$.
Montrez que $\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {JD}$.

Soit $ABC$ un triangle.

1. Construisez les points $P$, $Q$ et $E$ tels que : $\overrightarrow {AP} = 2\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AQ} = 5\overrightarrow {AC}$ et $\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AQ} + \overrightarrow {AP}$.
2. Quelle est la nature du quadrilatère $APEQ$ ?
3. Les droites $(AE)$ et $(BC)$ se coupent en un point $D$.
   1. Exprimez $\overrightarrow {AE}$ en fonction de $\overrightarrow {AD}$, $\overrightarrow {DC}$ et $\overrightarrow {DB}$.
   2. En déduire que $\overrightarrow {AE}=7\overrightarrow {AD}$.
4. Soit $I$ le point d’intersection des droites $(AE)$ et $(PQ)$.
   1. Montrez que $\overrightarrow {AD}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow {DI}$, puis en déduire que $\overrightarrow {AD}=\dfrac{1}{5}\Big(\overrightarrow {DP} + \overrightarrow {DQ}\Big)$.
   2. Exprimez les vecteurs $\overrightarrow {AP}$ et $\overrightarrow {AQ}$ en fonction de $\overrightarrow {DP}$ et $\overrightarrow {DQ}$.

Rendre le dénominateur de chacun des nombres suivants un nombre entier :

1. $A = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
2. $B = \dfrac{{\sqrt 2 + 3}}{{2\sqrt 3 + \sqrt 5 }}$
3. $C = \dfrac{1}{{\sqrt {14} + \sqrt {21} + \sqrt {15} + \sqrt {10} }}$
4. $D = \dfrac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 + \sqrt 5 }}$

Démontrer les égalités suivantes :

1. $\sqrt {8 + \sqrt {15} } = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {1 + \sqrt {15} } \right)$
2. $\sqrt {17 + 12\sqrt 2 } + \sqrt {17 – 12\sqrt 2 } = 6$

Considérons le nombre : $A=\sqrt{6-2\sqrt{5}}-\sqrt{6+2\sqrt{5}}$

1. Déterminer le signe du nombre $A$.
2. Calculer $A^2$ et en déduire une forme simplifiée pour le nombre $A$.

Soit $a$ et $b$ dans $\mathbb{R}$ tels que $a+b=10$ et $ab=1$.

1. Calculer $\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
2. Calculer $\dfrac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$.

Soit $x$ et $y$ deux éléments de $\mathbb{R}$.

1. Montrer que si $x^2+y^2=0$, alors $x=y=0$.
2. Trouver tous les nombres réels $a$ et $b$ vérifiant : $2a^2+b^2+1=2ab-2a$.

Soit $x$ et $y$ deux entiers naturels premiers entre eux tels que : $\dfrac{1001}{5577}+\dfrac{285}{665}=\dfrac{x}{y}$.
Calculer $x+y$.

Soit $x$ et $y$ deux nombres entiers rationnels tels que : $x^2+2y+6=x(y+6)$.

1. Montrer que : $\big(2x-(y+6)\big)^2=(y+2)^2+8$.
2. Déterminer les valeurs de $x$ et $y$.

Trouver un nombre naturel $n$ composé de deux chiffres tel que : $\sqrt{n+\sqrt{n+7}}\in\mathbb{N}$

Effectuer les expressions : $A=x^8+x+1$ et $B=x^{10}+x^5+1$.