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Enoncé 
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2 \\ u_{n+1}=u_{n}+\arccos \left(\dfrac{1}{u_{n}}\right)\end{array}\right.$
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2 \\ u_{n+1}=u_{n}+\arccos \left(\dfrac{1}{u_{n}}\right)\end{array}\right.$
- Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}):\,\, u_{n}>1.$
- Etudier le sens de variation de $\left(u_{n}\right).$
- Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}):\,\, u_{n}>n \dfrac{\pi}{3}+2$.
- En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n’est pas majorée.
Enoncé
Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par : $\displaystyle u_{n}=\prod_{k=1}^{n} \cos \left(\dfrac{\alpha}{2^{k}}\right)$
Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par : $\displaystyle u_{n}=\prod_{k=1}^{n} \cos \left(\dfrac{\alpha}{2^{k}}\right)$
- Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et minorée et déduire qu’elle est convergente.
- Montrer que $(\forall n \geq 1):\,\, u_{n}=\dfrac{\sin (\alpha)}{2^{n} \sin \left(\dfrac{\alpha}{2^{n}}\right)}$ et en déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right).$
Enoncé
Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par : $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=\dfrac{n+u_{n}}{n^{2}}\end{array}\right.$
Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par : $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=\dfrac{n+u_{n}}{n^{2}}\end{array}\right.$
- Montrer que $(\forall n \geq 1): u_{n} \leq 2$. En déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite $\ell.$
- Montrer que $(\forall n \geq 2): \dfrac{1}{n-1} \leq u_{n} \leq \dfrac{n+1}{(n-1)^{2}}$. En déduire $\lim \left(n u_{n}\right).$
- On veut étudier la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$.
- Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)_{n \geq 2}$ définie par $v_{n}=\dfrac{n}{n^{2}-1}$ est décroissante.
- Montrer que pour tout $n \geq 2$, on a $u_{n} \geq v_{n}$.
- En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 2}$ est décroissante .
Enoncé
Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}u_{1}=2 \\ u_{n+1}=\dfrac{(n+2) u_{n}+2\left(n^{2}+n-1\right)}{(n+1)^{2}}\end{array}\right.$
Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}u_{1}=2 \\ u_{n+1}=\dfrac{(n+2) u_{n}+2\left(n^{2}+n-1\right)}{(n+1)^{2}}\end{array}\right.$
- Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
- Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite $\ell.$
- Calculer $u_{n+1}-\ell$ en fonction de $u_{n}-\ell$. En déduire $u_{n}$ en fonction de $n.$
Enoncé
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2 \\ u_{n+1}=2 \sqrt[3]{u_{n}}+\dfrac{1}{n+1}\end{array}\right.$
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2 \\ u_{n+1}=2 \sqrt[3]{u_{n}}+\dfrac{1}{n+1}\end{array}\right.$
- Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}): u_{n}>1.$
- Etudier le sens de variation de $\left(u_{n}\right).$
- Montrer que $\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)$ est convergente et donner sa limite.
Enoncé
Soit $\theta \in\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right[$, pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose $u_{n}=2^{n} \sin \left(\dfrac{\theta}{2^{n}}\right)$ et $v_{n}=2^{n} \tan \left(\dfrac{\theta}{2^{n}}\right).$
Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes et déterminer leur limite commune.
Soit $\theta \in\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right[$, pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose $u_{n}=2^{n} \sin \left(\dfrac{\theta}{2^{n}}\right)$ et $v_{n}=2^{n} \tan \left(\dfrac{\theta}{2^{n}}\right).$
Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes et déterminer leur limite commune.
Enoncé
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $0 < a < b$. On considère les deux suites $\left(a_{n}\right)_{n \ge 0}$ et $\left(b_{n}\right)_{n \ge 0}$ définies par :
$$\left\{\begin{aligned}& a_{0}=a,\,\,\, b_{0}=b\\ & a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)\end{aligned}\right.\,\,\,\text { et }\,\,\, b_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)}$$
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $0 < a < b$. On considère les deux suites $\left(a_{n}\right)_{n \ge 0}$ et $\left(b_{n}\right)_{n \ge 0}$ définies par :
$$\left\{\begin{aligned}& a_{0}=a,\,\,\, b_{0}=b\\ & a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)\end{aligned}\right.\,\,\,\text { et }\,\,\, b_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)}$$
- Montrer que les suites $\left(a_{n}\right)_{n \ge 0}$ et $\left(b_{n}\right)_{n \ge 0}$ sont convergentes et ont la même limite.
- Montrer que pour tout $n \geq 0 :$ $$0 \leq b_{n+1}-a_{n+1} \leq \dfrac{1}{8 a}\left(b_{n}-a_{n}\right)^{2}.$$
- En déduire que pour tout $n \geq 0:$ $$0 \leq b_{n}-a_{n} \leq 8 a\left(\dfrac{b-a}{8 a}\right)^{2^{n}}.$$
Enoncé
Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par : $$\left\{\begin{array}{l}u_{0}=1 \\ u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{u_{n}}\end{array}\right.$$
Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par : $$\left\{\begin{array}{l}u_{0}=1 \\ u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{u_{n}}\end{array}\right.$$
- Montrer que $(\forall n \geq 0): u_{n} \geq 1.$
- Etudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right).$
- Montrer que $(\forall n \geq 1)$ : $2 \leq u_{n}^{2}-u_{n-1}^{2} \leq 2+u_{n}-u_{n-1}$ et $2 n \leq u_{n}^{2}-1 \leq 2 n+u_{n}-1.$
- En déduire la divergence de la suite $\left(u_{n}\right).$
en déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite $l.$ - Montrer que $(\forall n \geq 0): 1-\dfrac{1}{u_{n}} \leq \dfrac{2 n}{u_{n}^{2}} \leq 1-\dfrac{1}{u_{n}^{2}}$. En déduire $\lim \left(\dfrac{1}{\sqrt{2 n}} u_{n}\right).$
Enoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$par : $f_{n}(x)=3 x^{n}-x-1$
Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$par : $f_{n}(x)=3 x^{n}-x-1$
- Montrer que $f_{n}$ est croissante sur $\left[\sqrt[n-1]{\dfrac{1}{3 n}},+\infty\right[$ et décroissante sur $\left[0, \sqrt[n-1]{\dfrac{1}{3 n}}\right],$ puis poser le tableau de variation de $f_{n}$.
- Montrer que l’équation $f_{n}(x)=0$ admet une solution unique $u_{n}$ dans l’intervalle $[0,+\infty[$.
- Calculer $f_{n}(1)$, en déduire que $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right):\,\,$ $0 < u_{n} < 1$.
- Montrer que : $(\forall x \in] 0,1[):\,\, f_{n+1}(x) < f_{n}(x)$
- Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est croissante, en déduire qu’elle est convergente.
- On pose $\lim u_{n}=\ell$
- Montrer que: $0 \leq \ell \leq 1$
- Montrer que: $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right): u_{n} \leq l$ (penser au raisonnement par absurde)
- Montrer que : $\ell=1.$ (penser au raisonnement par absurde encore)
Enoncé
On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $\left\{
\begin{array}{l}
u_{0} \in\ \left]0,1\right[\\
u_{n+1}=u_{n}-u_{n}^{2}
\end{array}\right.$
Et on pose $v_{n}=n u_{n}$
On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $\left\{
\begin{array}{l}
u_{0} \in\ \left]0,1\right[\\
u_{n+1}=u_{n}-u_{n}^{2}
\end{array}\right.$
Et on pose $v_{n}=n u_{n}$
-
- Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}):\,\, 0 < u_{n} < \dfrac{1}{n+1}$.
- Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est croissante.
- Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ converge vers un réel $\lambda$ tel que $0<\lambda \leq 1$
- Montrer que la suite $w_{n}=n\left(v_{n+1}-v_{n}\right)$ converge vers une limite $\ell$ à déterminer.
- Montrer que si $\lambda \neq 1$ alors : $$\left(\exists n_{0} \in \mathbb{N}^{*}\right)(\exists a>0): n>n_{0} \Rightarrow v_{n+1}-v_{n}>\frac{a}{n}$$
- En déduire que $\left(\forall n>n_{0}\right): v_{2 n} \rightarrow v_{n}>\dfrac{a}{2}$.
- Montrer que $\lim v_{n}=+\infty$.
- Déterminer $\lim v_{n}$.
Enoncé
Soit $a \in[0,1]$, et soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=0 \\ u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{2}\left(a^{2}-u_{n}^{2}\right)\end{array}\right.$
Soit $a \in[0,1]$, et soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=0 \\ u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{2}\left(a^{2}-u_{n}^{2}\right)\end{array}\right.$
- Soient $x_{n}=a-u_{n}$ et $y_{n}=a+u_{n}$. Trouver des relations liant $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ à $x_{n}$ et $y_{n}.$
- Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}): x_{n} \geq 0$ et $y_{n} \geq 0$. En déduire la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$.
- Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
Enoncé
Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ on définie la fonction $f_{n}$ sur $\mathbb{R}$ par : $f_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k x^{k}$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ on définie la fonction $f_{n}$ sur $\mathbb{R}$ par : $f_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k x^{k}$.
- Simplifier l’expression $(1-x)^{2} f_{n}(x)$. En déduire une autre expression de $f_{n}(x)$ pour $x \neq 1$.
- Pour tout $x \in[0,1]$, On pose $F(x)=\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x).$
- Donner l’expression de $F(x)$.
- Représenter sur un même graphique, dans l’intervalle $[0,1]$, les fonctions $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ et $F$.
- Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, l’équation $f_{n}(x)=1$ admet une unique solution, notée $u_{n}$, dans l’intervalle $[0,1]$. Puis calculer $u_{1}$ et $u_{2}.$
- Etudier le sens de variation de le suite $\left(u_{n}\right)$. En déduire qu’elle converge. On notera $\ell$ sa limite.
- Montrer que $\left(\forall x \in\left[0, \dfrac{1}{2}\right]\right)\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right):\left| F(x)-f_{n}(x)\right| \leq 6 \dfrac{n+1}{2^{n+1}}$.
- Montrer que $\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}\left(u_{n}\right)=F(\ell)$. En déduire la valeur de $\ell.$
Enoncé
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on définie la fonction $f_{n}$ sur $\mathbb{R}$ par: $f_{n}(x)=x^{n+1}+x^{n}+\cdots+x-1.$
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on définie la fonction $f_{n}$ sur $\mathbb{R}$ par: $f_{n}(x)=x^{n+1}+x^{n}+\cdots+x-1.$
- Montrer que l’équation $f_{n}(x)=0$ admet une seule solution dans $[0,1]$, notée $u_{n}$.
- Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}): f_{n}\left(u_{n+1}\right)<0$. En déduire le sens de variation de $\left(u_{n}\right)$.
- Calculer la limite de $\left(u_{n}\right)$.
- Soit $a_{n}=u_{n}-\dfrac{1}{2}$. Montrer que $\lim (n+1) a_{n}=0$. En déduire $\lim 2^{n+2}\left(u_{n}-\dfrac{1}{2}\right).$
Enoncé
On considère la fonction f définie par $\left\{\begin{align*}&f(x)=x \sin \left(\frac{1}{x}\right) &;&\,\, x>0 \\ &f(0)=1 & &\\ &f(x)=x E\left(\frac{1}{x}\right) &;&\,\, x<0\end{align*}\right.$
On considère la fonction f définie par $\left\{\begin{align*}&f(x)=x \sin \left(\frac{1}{x}\right) &;&\,\, x>0 \\ &f(0)=1 & &\\ &f(x)=x E\left(\frac{1}{x}\right) &;&\,\, x<0\end{align*}\right.$
- Etudier la continuité de la fonction $f$ en $0$.
- Calculer $\displaystyle\lim _{|x| \rightarrow+\infty} f(x).$
Enoncé
Etudier la continuité de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ dans les cas suivants : $$\begin{align}
&\textbf{1.}\quad f(x)=E(x)(x-E(x))
&\textbf{2.}&\quad f(x)=\left|x-2 E\left(\frac{x+1}{2}\right)\right|\\
&\textbf{3.}\quad f(x)= \begin{cases}0 & \text { si } x \in \mathbb{Z}\\ x & \text { si } x \notin \mathbb{Z}\end{cases}
&\textbf{4.}&\quad f(x)= \begin{cases}0 & \text { si } x \in \mathbb{Q} \\ x & \text { si } x \notin \mathbb{Q}\end{cases}\end{align}$$
&\textbf{1.}\quad f(x)=E(x)(x-E(x))
&\textbf{2.}&\quad f(x)=\left|x-2 E\left(\frac{x+1}{2}\right)\right|\\
&\textbf{3.}\quad f(x)= \begin{cases}0 & \text { si } x \in \mathbb{Z}\\ x & \text { si } x \notin \mathbb{Z}\end{cases}
&\textbf{4.}&\quad f(x)= \begin{cases}0 & \text { si } x \in \mathbb{Q} \\ x & \text { si } x \notin \mathbb{Q}\end{cases}\end{align}$$
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$.
Montrer qu’il existe $c \in[a, b]$ tel que $2 f(a)+3 f(b)=5 f(c).$
Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$.
Montrer qu’il existe $c \in[a, b]$ tel que $2 f(a)+3 f(b)=5 f(c).$
Enoncé
Soient $f$ et $g$ et $h$ trois fonctions continues sur un intervalle $I$ telles que:
$$(\forall x \in I):\,\, g(x) \leq f(x) \leq h(x)$$Montrer que si chacune des deux fonctions $g$ et $h$ admet un point fixe dans $I$ alors $f$ en admet un aussi.
Soient $f$ et $g$ et $h$ trois fonctions continues sur un intervalle $I$ telles que:
$$(\forall x \in I):\,\, g(x) \leq f(x) \leq h(x)$$Montrer que si chacune des deux fonctions $g$ et $h$ admet un point fixe dans $I$ alors $f$ en admet un aussi.
Enoncé
Soit $f, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ continue telle que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$
Montrer que $f$ s’annule. Appliquer ceci aux polynôme de degré impair.
Soit $f, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ continue telle que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$
Montrer que $f$ s’annule. Appliquer ceci aux polynôme de degré impair.
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f(0)=f(1)=0,\, (\forall x \in[0,1]):\,\, f(x) \geq 0.$
Montrer que : $\quad(\forall \lambda \in] 0,1[)\left(\exists x_{\lambda} \in[0,1]\right): f\left(x_{\lambda}+\lambda\right)=f\left(x_{\lambda}\right)$.
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f(0)=f(1)=0,\, (\forall x \in[0,1]):\,\, f(x) \geq 0.$
Montrer que : $\quad(\forall \lambda \in] 0,1[)\left(\exists x_{\lambda} \in[0,1]\right): f\left(x_{\lambda}+\lambda\right)=f\left(x_{\lambda}\right)$.
Enoncé
Soient $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ continues. On suppose que $(\forall x \in[a, b]): f(x)>g(x)>0$
Montrer qu’il existe $k>1$ tel que $f>k g.$
Soient $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ continues. On suppose que $(\forall x \in[a, b]): f(x)>g(x)>0$
Montrer qu’il existe $k>1$ tel que $f>k g.$
Enoncé
Soient $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ continues. On suppose que $(\forall x \in[a, b])(\exists y \in[a, b])$ tel que $f(x)=g(y)$.
Montrer qu’il existe $x \in[a, b]$ tel que $f(x)=g(x)$.
Soient $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ continues. On suppose que $(\forall x \in[a, b])(\exists y \in[a, b])$ tel que $f(x)=g(y)$.
Montrer qu’il existe $x \in[a, b]$ tel que $f(x)=g(x)$.
Enoncé
Montrer que toute fonction polynôme de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ de degré impaire, s’annule en au moins un point.
Montrer que toute fonction polynôme de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ de degré impaire, s’annule en au moins un point.
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$ et $[m, M]$ un segment contenant $f(a)$ et $f(b)$.
Montrer que la courbe représentative de $f$ coupe les diagonales du rectangle $[a, b] \times[m, M].$
Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$ et $[m, M]$ un segment contenant $f(a)$ et $f(b)$.
Montrer que la courbe représentative de $f$ coupe les diagonales du rectangle $[a, b] \times[m, M].$
Enoncé
- Montrer que : $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right)\left(\exists!a_{n} \in\right] 0,1[),\,\,\,\, 2 n a_{n} \tan \left(\dfrac{\pi}{2} a_{n}\right)=\pi$
- Comparer $a_{n}$ et $a_{n+1}.$
- Montrer que $a_{n}$ est solution de l’équation $2\arctan \left( {\dfrac{\pi }{{2nx}}} \right) – \pi x = 0.$
Enoncé
On considère la fonction $f(x)=\dfrac{4 x}{x^{2}+1}$. Montrer que $f$ est une bijection de $[-1,1]$ vers un intervalle à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x).$
On considère la fonction $f(x)=\dfrac{4 x}{x^{2}+1}$. Montrer que $f$ est une bijection de $[-1,1]$ vers un intervalle à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x).$
Enoncé
Soit $f$ une fonction définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ tel que:$$
f \text { continue en } 0 \quad \text { et } \quad\left(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\right): f(x+y)=f(x)+f(y)$$
Soit $f$ une fonction définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ tel que:$$
f \text { continue en } 0 \quad \text { et } \quad\left(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\right): f(x+y)=f(x)+f(y)$$
- Montrer que $f(0)=0$.
- Montrer que : $\left(\forall(x, y) \in I R^{2}\right): f(x)=f(x-y)+f(y)$.
- En déduire que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Enoncé
Soit $f$ une fonction définie sur $] 0,+\infty[$. On suppose que $f$ est croissante sur $] 0,+\infty[$ et la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ est décroissante sur $] 0,+\infty[$.
Soit $f$ une fonction définie sur $] 0,+\infty[$. On suppose que $f$ est croissante sur $] 0,+\infty[$ et la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ est décroissante sur $] 0,+\infty[$.
- Soit $\left.x_{0} \in\right] 0,+\infty\left[\right.$. Montrer que : $$\left(\forall x>x_{0}\right): 0 \leq f(x)-f\left(x_{0}\right) \leq\left(x-x_{0}\right) g\left(x_{0}\right)$$ et
\[\left( {\forall x < {x_0}} \right):\left( {x -{x_0}} \right)g\left( {{x_0}} \right) \le f(x) -f\left( {{x_0}} \right) \le 0\] - Montrer que $f$ est continue sur $] 0,+\infty[$.
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue sur $ \left] {a,b} \right[$ tel que : $\left\{\begin{align*}&\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty \\ &\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=-\infty\end{align*}\right.$
Soit $f$ une fonction continue sur $ \left] {a,b} \right[$ tel que : $\left\{\begin{align*}&\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty \\ &\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=-\infty\end{align*}\right.$
- Montrer que : $\exists(\alpha, \beta) \in\left] a, b\right[^{2}/\,\,\, f(\alpha) \cdot f(\beta)<0.$
- En déduire que l’équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l’intervalle $] a, b[$.
- Soit $g$ une fonction continue sur $[a, b]$. Montrer que: $\exists c \in] a, b[/\,\,\, f(c)=g(c)$
- Montrer que : \[\exists c \in \left] {a,b} \right[/\,\,\,\sqrt {\frac{{b -c}}{{c -a}}} – \sqrt {\frac{{c -a}}{{b -c}}} = \sqrt {\left( {b -c} \right)\left( {c -a} \right)} \]
Enoncé
On considère la fonction $f(x)=(\sqrt[3]{1-x}-1)^{3}+1$.
Montrer que $f$ est une bijection de $]-\infty, 1]$ vers un intervalle à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x)$.
On considère la fonction $f(x)=(\sqrt[3]{1-x}-1)^{3}+1$.
Montrer que $f$ est une bijection de $]-\infty, 1]$ vers un intervalle à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x)$.
Enoncé
On considère la fonction $f(x)=\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\pi} \arcsin x}-1\right)^{3}$.
On considère la fonction $f(x)=\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\pi} \arcsin x}-1\right)^{3}$.
- Déterminer le domaine de définition de $f$.
- Montrer que $f$ est une bijection de $[-1,1]$ vers un intervalle à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x)$.
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}.$
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}.$
- Déterminer le domaine de définition de $f$. est ce que $f$ réalise une bijection de $D_{f}$ vers $\mathbb{R}$?
- Soit $g$ la restriction de $f$ à $I=\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right]$.
- Montrer que $g$ est une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer.
- Déterminer $g^{-1}(x)$.
- En déduire que : $(\forall x \in J): \arcsin\left(\dfrac{2 x}{1+x^{2}}\right)=\arccos\left(\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)$
Enoncé
Pour tout entier $n$ non nul on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par : $f_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k x^{k}.$
Pour tout entier $n$ non nul on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par : $f_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k x^{k}.$
- Montrer que pour tout $n \geq 1$ l’équation $f_{n}(x)=1$ admet un unique solution positive que l’on notera $u_{n}$
- Comparer $u_{n}$ et $u_{n+1}.$
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\arcsin \left(\dfrac{2 x}{1+x^{2}}\right).$
On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\arcsin \left(\dfrac{2 x}{1+x^{2}}\right).$
- Déterminer $D_{f}$.
- Montrer que : $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-\pi-2 \arctan x & ; & x \leq-1 \\ 2 \arctan x & ; & -1 \leq x \leq 1 \\ \pi-2 \arctan x & ; & x \geq 1\end{array}\right.$
- Soit $g$ la restriction de $f$ à $I=[1,+\infty[$.
Montrer que $g$ est une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer puis déterminer $g^{-1}(x)$.
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie par : $$\left\{\begin{array}{l}f(x)=\arcsin (2 x-1)+\arctan \sqrt{\dfrac{1-x}{x}} ; x \in\left] 0,1\right] \\ f(0)=0\end{array}\right.$$
On considère la fonction $f$ définie par : $$\left\{\begin{array}{l}f(x)=\arcsin (2 x-1)+\arctan \sqrt{\dfrac{1-x}{x}} ; x \in\left] 0,1\right] \\ f(0)=0\end{array}\right.$$
- Montrer que : $(\forall x \in] 0,1])\left(\exists \alpha \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right[\right):\quad x=\cos ^{2} \alpha.$
- En déduire que $(\forall x \in[0,1]):\quad f(x)=\dfrac{\pi}{2}-\arccos \sqrt{x}.$
- Que $f$ est une bijection de $[0,1]$ vers un intervalle $J$ à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x)$.
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie par : $$f(x)=\arctan\left(\dfrac{x-\sqrt{1-x^{2}}}{x+\sqrt{1-x^{2}}}\right)$$
On considère la fonction $f$ définie par : $$f(x)=\arctan\left(\dfrac{x-\sqrt{1-x^{2}}}{x+\sqrt{1-x^{2}}}\right)$$
- Déterminer $D_{f}$.
- Montrer que : \[
\left\{
\begin{aligned}
&f(x)=\arcsin x+\dfrac{3\pi}{4} &si & & -1\le x\le \dfrac{-\sqrt{2}}{2}\\
& f(x)=\arcsin x-\dfrac{\pi}{4} &si & & -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\le x\le 1
\end{aligned}
\right.
\]
Enoncé
On considère dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante : $$(E): \arctan (x+1)+\arctan (x-1)=\dfrac{\pi}{4}$$
On considère dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante : $$(E): \arctan (x+1)+\arctan (x-1)=\dfrac{\pi}{4}$$
- Montrer que l’équation $( E )$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$ et qu’elle appartient $]0,1[$.
- Résoudre l’équation $(E)$.
- En déduire $\tan \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
Enoncé
On considère la fonction $f_{n}$ définie par : $$f_{n}(x)=\sqrt[n]{\arctan (x)}-\arccos (\sqrt[n]{x})\,\,\text{ où }\,\,\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)$$
On considère la fonction $f_{n}$ définie par : $$f_{n}(x)=\sqrt[n]{\arctan (x)}-\arccos (\sqrt[n]{x})\,\,\text{ où }\,\,\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)$$
- Montrer que $f_{n}$ est une bijection de $[0,1]$ vers un intervalle $J$ à déterminer.
-
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, l’équation $f_{n}(x)=0$ admet une unique solution $a_{n}$ dans l’intervalle $] 0,1$.
- Montrer que $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right)(\forall x \in] 0,1[$ ): $\sqrt[n]{x}<\sqrt[n+1]{x}$
- En déduire que : $\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\left( {\forall x \in \left] {0,1} \right[} \right):{f_n}\left( x \right) < {f_{n + 1}}\left( x \right)$
- Comparer $a_n$ et $a_{n+1}$
Enoncé
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que : $ab<1$. On pose : $$\alpha=\arctan(a) \quad \text{ et } \quad \beta=\arctan(b)$$
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que : $ab<1$. On pose : $$\alpha=\arctan(a) \quad \text{ et } \quad \beta=\arctan(b)$$
- Montrer que $\cos (\alpha+\beta)=\cos (\alpha) \cos (\beta)(1-a b)$
- En déduire que $-\dfrac{\pi}{2}<\alpha+\beta<\dfrac{\pi}{2}$
- Montrer que : $\arctan(a)+\arctan(b)=\arctan\left(\dfrac{a+b}{1-a b}\right)$
- Calculer $2 \arctan \left(\dfrac{1}{4}\right)+\arctan \left(\dfrac{1}{7}\right)+2 \arctan \left(\dfrac{1}{13}\right)$
Limite d’une fonction en un point
Activité:
- Calculer les limites suivantes :
\[
\begin{align*}
\bullet & \quad \lim_{x \to -1} x^3 -x + 2 &\quad\bullet\quad & \lim_{x \to 2} \frac{x^2 -3x + 2}{\sqrt{x} -\sqrt{2}}\\
\bullet & \quad \lim_{x \to 1} \frac{3x \sin(x^2 -1)}{x^2 -1}&\quad\bullet\quad &\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} -1}{\tan x} \\
\bullet & \quad \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left(x -\frac{\pi}{2}\right) \tan\frac{x}{2}
\end{align*}\] - Déterminez la valeur de $a$ pour que la fonction $f$ admette une limite en $x=1$.
\[\left\{ \begin{align*}
& f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 3x + a}}{{x – 1}} &;& &{x > 1}\\
& f\left( x \right) = x + 1&;& &{x \le 1}
\end{align*} \right.\]
Solution:
- Calculons les limites suivantes :
\[\begin{align*}\bullet & \quad \lim_{x \to -1} (x^3 – x + 2) = (-1)^3 -(-1) + 2 = 2. \\
\bullet & \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} -3x + 2}}{{\sqrt x -\sqrt 2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x -1} \right)\left( {x -2} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt 2 } \right)}}{{x -2}} = 2\sqrt 2. \\
\bullet & \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3x\sin \left( {{x^2} -1} \right)}}{{x -1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 3x.\frac{{\sin ({x^2} -1)}}{{{x^2} -1}}.\left( {x + 1} \right) = 3 \times 1 \times 2 = 6. \\
\bullet & \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \left( {x -\frac{\pi }{2}} \right)\tan x = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y\tan \left( {y + \frac{\pi }{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{ -y}}{{\sin y}} \times \cos y = -1. \\
\bullet & \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 1} -1}}{{\tan x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x}}{{\sin x}} \times \frac{x}{{\sqrt {x + 1} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}} \times \frac{{\cos x}}{{\sqrt {x + 1} + 1}} = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.\end{align*}\] - Déterminons la valeur de $a$ pour que la fonction $f$ admette une limite en $x=1.$
On a : $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = \ell,$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x)=2,$ donc $1$ est une racine du polynôme $(x^2-3x+a)$, alors $1-3+a=0$, donc $a=2$.
Définition : Soit $f$ une fonction numérique telle que $(\exists r>0); ]x_0-r;x_0+r[-\{x_0\}\subset D_f$ et $\ell \in \mathbb{R}.$
\[
\lim_{x \to x_0} f(x) =\ell \iff \Big( (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f);\,\, 0<|x – x_0| < \delta \implies |f(x) – \ell| < \varepsilon\Big)
\]
\[
\lim_{x \to x_0} f(x) =\ell \iff \Big( (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f);\,\, 0<|x – x_0| < \delta \implies |f(x) – \ell| < \varepsilon\Big)
\]
Exemple 1
Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=x^3 -x + 2$
Montrons en utilisant la définition que : $\lim_{x \to 1} f(x)=2$
Soit $I=]1-\dfrac{1}{2};1+\dfrac{1}{2}[=]\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}[$. On a pour tout $x\in I : $ \[\left| {f\left( x \right) – 2} \right| = \left| {x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right|\]
Montrons en utilisant la définition que : $\lim_{x \to 1} f(x)=2$
Soit $I=]1-\dfrac{1}{2};1+\dfrac{1}{2}[=]\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}[$. On a pour tout $x\in I : $ \[\left| {f\left( x \right) – 2} \right| = \left| {x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right|\]
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} \Rightarrow \left| x \right| < \frac{3}{2}\\
\frac{{ – 1}}{2} < x – 1 < \frac{1}{2} \Rightarrow \left| {x – 1} \right| < \frac{1}{2}\\
\Rightarrow \frac{3}{2} < x + 1 < \frac{5}{2} \Rightarrow \left| {x + 1} \right| < \frac{5}{2}\\
\Rightarrow \left| x \right|\left| {x – 1} \right|\left| {x + 1} \right| < \frac{5}{4}\left| {x – 1} \right|
\end{array}\]
Autrement dit : Lorsque $x$ se rapproche de $x_0$, $f(x)$ se rapproche de $\ell$.
Propriété 1 : Si $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(h) = \ell$ et $\displaystyle \lim_{x \to x_0} g(h) =\ell’$, alors :\[\begin{aligned}
\bullet&\quad \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = \ell + \ell’,\\
\bullet&\quad \lim_{x \to x_0} (f(x) \times g(x)) =\ell \times \ell’,\\
\bullet&\quad \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell}{\ell’}\,\text{ avec }\, \ell’\neq 0.\end{aligned}\]
\bullet&\quad \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = \ell + \ell’,\\
\bullet&\quad \lim_{x \to x_0} (f(x) \times g(x)) =\ell \times \ell’,\\
\bullet&\quad \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell}{\ell’}\,\text{ avec }\, \ell’\neq 0.\end{aligned}\]
Propriété 2 :\[\begin{aligned}
\bullet&\quad\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin ax}}{{ax}} = 1\\
\bullet&\quad\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}} = \frac{1}{2}\\
\bullet&\quad\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\tan x}} = 1
\end{aligned}\]
\bullet&\quad\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin ax}}{{ax}} = 1\\
\bullet&\quad\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}} = \frac{1}{2}\\
\bullet&\quad\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\tan x}} = 1
\end{aligned}\]
Continuité d’une fonction en un point
Activité: Soit $f$ une fonction définie sur un domaine ouvert centré en $x_0$ et $C_f$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,i,j)$.
Dans la figure 1, nous disons que $f$ est non continue en $x_0$.
Dans la figure 2, nous disons que $f$ est continue en $x_0$.
Dans la figure 1, nous avons :\[
\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)\]
Cela implique que $f$ est n’est pas continue en $x_0.$
Dans la figure 2, nous avons :\[
\lim_{x \to x_0^+} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^-} f(x)\]
Cela implique que $f$ est continue en $x_0.$
Définition : Soit $f$ définie sur un domaine ouvert centré en $x_0$, si :\[
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]Alors $f$ est dite continue en $x_0$.
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]Alors $f$ est dite continue en $x_0$.
Remarque : Si $f$ est discontinue et présente un saut à $x_0$ (discontinuité), alors il y a une rupture dans la continuité de la fonction, visible sur le graphique.
La continuité à gauche et la continuité à droite
Définition 1 : Soit $f$ une fonction définie sur un domaine de la forme $]x_0 ; x_0 + \alpha[$, où $\alpha > 0$. Si :\[\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)\]Alors, $f$ est dite continue à droite en $x_0$.
Définition 2 : Soit $f$ une fonction définie sur un domaine de la forme $]x_0 – \alpha ; x_0] $, où $\alpha > 0$. Si :\[\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)\]Alors, $f$ est dite continue à gauche en $x_0$.
Définition 3 : Soit $f$ une fonction définie sur un domaine de la forme $]x_0 – \alpha ; x_0 + \alpha[$, où $\alpha > 0$. Si :\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]Alors, $f$ est dite continue sur un intervalle symétrique autour de $x_0$.
Exemple 1
Soit la fonction numérique $f$ définie par :\[\left\{ \begin{align*}
f\left( x \right) &= \frac{{\left| {{x^2} -4} \right|}}{{x -2}} \quad ;\quad x\neq 2\\
f\left( 2 \right) &= 4
\end{align*} \right.\]Étudier la continuité de $f$ à droit et à gauche du point $2$.
Solution : Calcul de la limite :
\[\begin{align*}
&\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {{x^2} -4} \right|}}{{x -2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {x -2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x -2}} = 4 = f\left( 2 \right)\\
&\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^-}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^-}} \frac{{\left| {{x^2} -4} \right|}}{{x -2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^-}} \frac{{ -\left( {x -2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x -2}} = -4
\end{align*}\]Donc $f$ est continue à droit du point $2$, et n’est pas continue à gauche du point $2$.
f\left( x \right) &= \frac{{\left| {{x^2} -4} \right|}}{{x -2}} \quad ;\quad x\neq 2\\
f\left( 2 \right) &= 4
\end{align*} \right.\]Étudier la continuité de $f$ à droit et à gauche du point $2$.
Solution : Calcul de la limite :
\[\begin{align*}
&\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {{x^2} -4} \right|}}{{x -2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {x -2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x -2}} = 4 = f\left( 2 \right)\\
&\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^-}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^-}} \frac{{\left| {{x^2} -4} \right|}}{{x -2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^-}} \frac{{ -\left( {x -2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x -2}} = -4
\end{align*}\]Donc $f$ est continue à droit du point $2$, et n’est pas continue à gauche du point $2$.
Puissance d’un nombre relatif
Définition : Soit $a$ un nombre relatif non nul, $n$ un nombre entier supérieur à $1$.
$$a^{n}=\underbrace{a \times a \times \ldots \ldots \times a}_{n \text { facteurs }}$$
$a^n$ se lit « $a$ puissance $n$ » ou « $n$ exposant $n$ »
$$a^{n}=\underbrace{a \times a \times \ldots \ldots \times a}_{n \text { facteurs }}$$
$a^n$ se lit « $a$ puissance $n$ » ou « $n$ exposant $n$ »
- Si $n=1$, alors $a^1=a$.
- Si $n=0$ et $a \neq 0$ alors $a^0=1$.
Remarques :
- $a$ est la base de la puissance $a^n$.
- $n$ est l’exposant de la puissance $a^n$.
- $0^0$ n’existe pas.
- $a^2$ se lit aussi $a$ au carré.
- $a^3$ se lit aussi $a$ au cube.
Exemples :
$\quad\bullet\quad 3^{4}=\underbrace{3 \times 3 \times 3 \times 3}_{4 \text { fois le nombre } 3}=81$
$\quad\bullet\quad(-2)^3=\underbrace{(-2)\times(-2)\times(-2)}_{3 \text { fois le nombre } -2}=-8$
$\quad\bullet\quad (-7)^1=-7$
$\quad\bullet\quad \left(-9\right)^0=1$
Signe d’une puissance
Propriété : Soit $a$ un nombre relatif, $n$ un nombre entier naturel non nul.
- Si $a$ est positif, alors $a^n$ est positif.
- Si $a$ est négatif, alors :
- Si $n$ est pair, alors $a^n$ est positif.
- Si $n$ est impair, alors $a^n$ est négatif.
Exemples :
- La puissance $\left( -12 \right)^{17}$ est négatif, car la base est négatif et l’exposant est impair.
- La puissance $\left( -3 \right)^{48}$ est positif, car l’exposant est pair.
- La puissance $(17,6)^{21}$ est positif, car la base est positif.
Puissances de 10
Propriétés : Soit $n$ un nombre entier naturel.
- ${10^n} = 1\underbrace {00………0}_{n\,\,\text{zéros}}$
- $10^0=1$ et $10^1=10$
Exemples :
$\quad\bullet\quad$ $10^5=1\underbrace{00000}_{5\text{ zéros}}$
$\quad\bullet\quad$ $10^7=1\underbrace{0000000}_{7\text{ zéros}}$
$\quad\bullet\quad$ $1\underbrace{000000000}_{9\text{ zéros}}=10^9$
$\quad\bullet\quad$ $1\underbrace{0000}_{4\text{ zéros}}=10^4$
$\quad\bullet\quad$ $10^5 =100000$
Opérations sur les puissances
Propriétés : $a$, $b$ deux nombres relatifs non nuls, $n$ et $m$ deux entiers naturels.
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad a^n \times a^m = a^{n+m}\\
&\bullet\quad a^n \times b^n = (a \times b )^{n}\\
&\bullet\quad \left( a^n\right)^m=a^{n\times m}\\
&\bullet\quad \dfrac{a^n}{a^m}= a^{n-m}, \text{ avec } (n>m)\\
&\bullet\quad \dfrac{a^n}{b^n}= \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}\end{aligned}$$
Propriétés : $n$ et $m$ deux entiers naturels. $$\begin{aligned}
&\bullet\quad 10^n \times 10^m = 10^{n+m}\\
&\bullet\quad \left( 10^n\right)^m=a^{10\times m}\\
&\bullet\quad \dfrac{10^n}{10^m}= 10^{n-m}
\end{aligned}$$
&\bullet\quad 10^n \times 10^m = 10^{n+m}\\
&\bullet\quad \left( 10^n\right)^m=a^{10\times m}\\
&\bullet\quad \dfrac{10^n}{10^m}= 10^{n-m}
\end{aligned}$$
Exemples :
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad 10^9 \times 10^5= 10^{9+5}=10^{14}\\
&\bullet\quad 2^7 \times 5^7= (2 \times 5)^7=10^7\\
&\bullet\quad \left( 10^3\right)^4=10^{3 \times 4} =10^{12}\\
&\bullet\quad \dfrac{10^8}{10^3}=10^{8-3}=10^5\\
&\bullet\quad \dfrac{21^{13}}{7^{13}}=\left(\dfrac{21}{7}\right)^{13}=3^{13}
\end{aligned}$$
Somme des mesures des angles d’un triangle
Propriété : La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à $180^\circ.$
Exemple : Soit $ABC$ un triangle :
Triangles particuliers
Triangle rectangle
Définition : Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.
Propriétés :
- Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires.
- Si un triangle a deux angles complémentaires, alors il est rectangle.
Triangle isocèle
Définition : Un triangle est isocèle s’il a deux cotés de même longueur.
Propriétés :
- Si un triangle est isocèle, alors les deux angles à la base ont la même mesure.
- Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
Triangle équilatéral
Définition : Un triangle est équilatéral si les trois cotés sont de même longueur.
Propriétés :
- Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure $60^\circ$.
- Si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral.
Angles
Définition : Un angle est une portion du plan délimité par deux demi-droites de même origine.
- L’origine de ses deux demi-droites est le sommet de l’angle.
- Ces deux demi-droites sont les côtés de l’angle.
Exemple :
- L’angle noir est noté $\widehat {AOB}$.
- $O$ est le sommet de l’angle $\widehat {AOB}$.
- Les demi-droites $[OA)$ et $[OB)$ sont les cotés de l’angle $\widehat {AOB}$.
Remarques :
- Pour mesurer un angle on utilise le rapporteur.
- L’unité de mesure des angles est le degré.
Angles particuliers
Angle nul
- La mesure d’un angle nul est égale à $0^\circ$.
- Les cotes d’un angle nul sont confondues.
Angle aigu
La mesure de l’angle aigu est comprise entre $0^\circ$ et $90^\circ$.
Angle droit
La mesure d’un angle droit est égale à $90^\circ$.
Angle obtus
La mesure de l’angle obtus est comprise entre $90^\circ$ et $180^\circ$.
Angle plat
La mesure d’un angle plat est égale à $180^\circ.$
Angle plein
La mesure d’un angle plein est égale à $360^\circ.$
Relation entre deux angles
Angles adjacents
Définition : Deux angles adjacents sont deux angles qui :
- ont le même sommet;
- ont un côté commun;
- sont situés de part et d’autre de ce côté commun.
Angles opposés par le sommet
Définition :
- Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont le même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.
- Deux angles opposés par le sommet sont égaux.
Angles complémentaires
Définition : Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à $90^\circ$.
Angles supplémentaires
Définition : Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à $180^\circ$.
Droite
Propriété :
- Par deux points distincts $A$ et $B$, passe une et une seule droite, on la note: $(A B)$ ou $(B A)$.
- Si $M$ est un point de la droite $(A B)$, alors on note $M \in(A B)$ et se lit: $M$ appartient à la droite $(A B)$.
Remarques :
- Une droite est illimitée des deux côtés.
- Par un point, passe une infinité de droites.
- Tous les points qui appartiennent à la même droite, sont des points alignés.
Les points $A, B, C$ et $E$ sont alignés.
Demi-droite
Définition : Soit $(D)$ une droite. $A, B$ et $C$ sont des points de la droite $(D)$.
- La partie de la droite $(D)$ coloriée en rouge, limitée par le point $A$, et passant par le point $B$ est appelée: La demi-droite d’origine $A$, et qui passe par le point $B$. On la note: $[A B)$
- La partie de la droite $(D)$ coloriée en vert est la demi-droite $[A C)$
Segment-Milieu d’un segment
Définition : Soit $(D)$ une droite passant par les points $A$ et $B$.
![Segment [AB] délimité par deux points.](https://mathxi.com/wp-content/uploads/2024/09/segment.png)
Définition : Le milieu d’un segment est le point de ce segment, qui se situe à la même distance des deux extrémités du segment.
![Milieu M du segment [AB].](https://mathxi.com/wp-content/uploads/2024/09/milieu-segment.png)
Autrement dit: $M$ milieu de $[A B]$ signifie que : $M$ appartient à $[A B]$ et $M A=M B$
Positions relatives de deux droites
Droites sécantes
Définition :
- Deux droites $(D)$ et $(\Delta)$ qui se coupent en un seul point, sont appelées droites sécantes.
- On dit aussi que les droites $(D)$ et $(\Delta)$ sont sécantes en $A$
Droites parallèles
Définition : Deux droites $(D)$ et $(\Delta)$ qui ne se coupent pas, sont appelées droites parallèles et on note: $(D) / /(\Delta)$
Remarque : Deux droites confondues sont aussi parallèles.
Droites perpendiculaires
Définition : Deux droites $(D)$ et $(\Delta)$ sont perpendiculaires, et on note $(\Delta) \perp(D)$ si elles sont sécantes et forment quatre angles droits.
Définition : Soit $(D)$ et $(\Delta)$ deux droites perpendiculaires en $H$; et soit $M$ un point de la droite $(D)$.
- Le point $H$ est appelé le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite ($\Delta$)
- La longueur $M H$ est appelée la distance du point $M$ à la droite ($\Delta$)
Propriétés :
Propriétés :
- Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à lune est perpendiculaire à l’autre.
- Si deux droites sont parallèles, alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre,
- Si deux droites sont perpendiculaires, alors toute droite perpendiculaire à lune est parallèle à l’autre.
- Si deux droites sont perpendiculaires, alors toute droite parallèle à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Exemple : Dans la figure ci-dessous, on a : $(D)\perp (AB)$ et $(\Delta)\perp (AB)$, donc : $(D)\parallel (\Delta)$
Addition et soustraction
Avec même dénominateur
Règle 1 : Pour calculer la somme (ou la différence) de deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur :
- On additionne (ou on soustrait) les numérateurs.
- On conserve le dénominateur commun.
Autrement dit : Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres décimaux, où $(b\neq0)$.
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b} ~~~~et ~~~~
\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{b}=\dfrac{a-c}{b} ~~~~(avec~ a>c)
$$
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b} ~~~~et ~~~~
\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{b}=\dfrac{a-c}{b} ~~~~(avec~ a>c)
$$
Exemples : $$\begin{aligned}&\bullet\,\,\, \dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{1+3}{5}=\dfrac{4}{5}\\
&\bullet\,\,\,\dfrac{5,8}{2,5}-\dfrac{3}{2,5}=\dfrac{5,8-3}{2,5}=\dfrac{2,8}{2,5}=\dfrac{28}{25}\end{aligned}$$
Avec des dénominateurs différents
Règle 2 : Pour calculer la somme (ou la différence) de deux nombres en écriture fractionnaire qui ont des dénominateurs différents :
- On commence par les écrire avec le même dénominateur.
- On additionne (ou on soustrait) les numérateurs en conservant le dénominateur commun.
Exemples : $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\,\frac{7}{5} + \frac{4}{3} = \frac{{21}}{{15}} + \frac{{20}}{{15}} = \frac{{21 + 20}}{{15}} = \frac{{41}}{{15}}\\
&\bullet\,\,\,\frac{{14}}{{18}} – \frac{{10}}{{15}} = \frac{7}{9} – \frac{2}{3} = \frac{7}{9} – \frac{6}{9} = \frac{{7 – 6}}{9} = \frac{1}{9}\\
&\bullet\,\,\,\frac{{2,8}}{6} – \frac{{0,4}}{{2,4}} = \frac{{28}}{{60}} – \frac{4}{{24}} = \frac{{14}}{{30}} – \frac{1}{6} = \frac{{14}}{{30}} – \frac{5}{{30}} = \frac{9}{{30}} = \frac{3}{{10}}
\end{aligned}$$
Remarque 1 : Il faut toujours penser aux simplifications des fractions avant d’effectuer leur somme ou leur différence.
Multiplication et division
Règle 3 : Pour calculer le produit de deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateur entre eux.
Autrement dit : Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres décimaux, avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$ : $$\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$$
Remarque 2 : $a\times \dfrac{c}{b}=\dfrac{a\times c}{b}$. En effet : $a\times \dfrac{c}{b}=\dfrac{a}{1}\times\dfrac{c}{b}$
Exemples : $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\, \frac{5}{7} \times \frac{3}{2}\; = \frac{{5 \times 3}}{{7 \times 2}} = \frac{{15}}{{14}}\\
&\bullet\,\,\, \frac{{11}}{2} \times \frac{3}{2}\; = \frac{{11 \times 3}}{{2 \times 2}} = \frac{{33}}{4}\\
&\bullet\,\,\, 7 \times \frac{2}{3} = \frac{{7 \times 2}}{3}\; = \frac{{14}}{3}\\
&\bullet\,\,\,\frac{5}{7} \times 2,6 = \frac{{5 \times 2,6}}{7} = \frac{{13}}{7}\end{aligned}$$
Règle 4 : Pour faire la division d’un nombre en écriture fractionnaire par un
nombre en écriture fractionnaire non nul, on multiplie le premier nombre par l’inverse du deuxième
nombre en écriture fractionnaire non nul, on multiplie le premier nombre par l’inverse du deuxième
Autrement dit : Soit $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ deux nombres en écriture fractionnaire non nuls. $$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}=\dfrac{a\times d}{b\times c}$$
Exemples :
\[\begin{aligned}
&\bullet\,\,\,\frac{3}{5} \div 7 = \frac{3}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{3}{{35}}\\
&\bullet\,\,\,\frac{7}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{7} \times \frac{3}{2} = \frac{{15}}{{14}}\\
&\bullet\,\,\,\frac{2}{7} \div \frac{5}{3} = \frac{2}{7} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{{35}}
\end{aligned}\]
Règles de priorité :
Règle 5 : Les règles de priorité des calculs s’appliquent au calculs avec des nombres écrits sous forme fractionnaire.
- Les calculs entre parenthèses sont effectuées en premier.
- En l’absence de parenthèses, la multiplication et la division sont effectuées avant l’addition et la soustraction.
Exemples :
\[\begin{aligned}
&\bullet\,\,\,A = \frac{2}{3} \times \left( {\frac{7}{6} + \frac{5}{{12}}} \right) = \frac{2}{3} \times \left( {\frac{{14}}{{12}} + \frac{5}{{12}}} \right) = \frac{2}{3} \times \frac{{19}}{{12}} = \frac{{38}}{{36}} = \frac{{19}}{{18}}\\
&\bullet\,\,\,B = \frac{3}{5} – \frac{1}{5} \times \frac{7}{3} = \frac{3}{5} – \frac{7}{{15}} = \frac{9}{{15}} – \frac{7}{{15}} = \frac{2}{{15}}
\end{aligned}\]
Chapitre 2
Sens de l’écriture fractionnaire
Définition : Soient $a$ et $b$ deux nombres, avec $b \neq 0$
Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$ donne $a$.
Ce quotient se note $a \div b$ ou en écriture fractionnaire $\dfrac{a}{b}$
Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$ donne $a$.
Ce quotient se note $a \div b$ ou en écriture fractionnaire $\dfrac{a}{b}$
Exemples : $$\begin{aligned}
&\bullet\quad\dfrac{22}{4}=22 \div 4=5,5 & \text { car } &\quad 5,5 \times 4=22 \\
&\bullet\quad\dfrac{3,5}{7}=3,5 \div 7=0,5 & \text { car } &\quad 0,5 \times 7=3,5
\end{aligned}$$
Multiple et diviseurs
Exemple : Comme $\dfrac{48}{6}=48 \div 6=8$, on en déduit que :
- $4$ est un multiple de $6$
- $48$ est divisible par $6$
- $6$ est un diviseur de $48$.
Règle : (Critères de divisibilité)
- Un nombre entier est divisible par $2$ si son chiffre des unités est $0,2,4,6$ ou $8$.
- Un nombre entier est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
- Un nombre entier est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
Exemples :
- Le nombre $104$ est divisible par $2$ car son chiffre des unités est $4$.
- Le nombre $2460$ est divisible par $5$ car son chiffre des unités est $0$.
- Le nombre $78$ est divisible par $2$ car $7+8=15$ et $15$ divisible par $3$.
Égalité de quotients
Propriété des quotients
Règle : Un quotient ne change pas lorsque l’on multiplie ou l’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Autrement dit : Si $b \neq 0$ et $k \neq 0$, alors : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a \times k}{b \times k}$ et $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a \div k}{b \div k}$
Exemples : $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\dfrac{1}{2}=\dfrac{1 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{10}\\
&\bullet\,\,\dfrac{12}{8}=\dfrac{12 \div 4}{8 \div 4}=\dfrac{3}{2}\end{aligned}$$
Simplification de fractions
Règle : Simplifier une fraction signifie écrire une fraction qui lui est égale, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
Exemples : $$\begin{aligned}
&\bullet\quad \frac{42}{56}=\frac{21 \times 2}{28 \times 2}=\frac{21}{28}=\frac{3 \times 7}{4 \times 7}=\frac{3}{4} \\
&\bullet\quad\frac{75}{50}=\frac{75 \div 25}{50 \div 25}=\frac{3}{2} \\
&\bullet\quad\frac{2,5}{10}=\frac{25}{100}=\frac{25 \div 5}{100 \div 5}=\frac{1}{4}
\end{aligned}$$
Remarque : Lorsque la fraction trouvée n’admet pas de simplification, on dit qu’il s’agit d’une fraction irréductible.
Comme : $\dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{1}{3}$ ; $\dfrac{2}{5}$ ; $\ldots$
Comme : $\dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{1}{3}$ ; $\dfrac{2}{5}$ ; $\ldots$
Réduire au même dénominateur
Règle : Pour réduire des fractions au même dénominateur on cherche le plus petit multiple commun de leurs dénominateurs.
Exemples :
- Réduisons au même dénominateur les fractions : $\dfrac{3}{8}$ et $\dfrac{11}{12}$ $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\dfrac{3}{8}=\dfrac{3 \times 3}{8 \times 3}=\dfrac{9}{24}\\
&\bullet\,\,\dfrac{11}{12}=\dfrac{11 \times 2}{12 \times 2}=\dfrac{22}{24}\end{aligned}$$ - Réduisons au même dénominateur les fractions : $\dfrac{7}{8}$ et $\dfrac{13}{4}$ On remarque que $8$ est un multiple de $4$, donc le dénominateur commun c’est $8$. $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\frac{7}{8}=\frac{7 \times 1}{8 \times 1}=\frac{7}{8}\\
&\bullet\,\,\frac{13}{4}=\frac{13 \times 2}{4 \times 2}=\frac{26}{8}\end{aligned}$$ - Réduisons au même dénominateur les fractions : $\dfrac{7}{5} ; \dfrac{13}{15}$ et $\dfrac{5}{9}$ $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\frac{7}{5}=\frac{7 \times 9}{5 \times 9}=\frac{63}{45}\\
&\bullet\,\,\frac{13}{15}=\frac{13 \times 3}{15 \times 3}=\frac{39}{45}\\
&\bullet\,\,\frac{5}{9}=\frac{5 \times 5}{9 \times 5}=\frac{25}{45}\end{aligned}$$ - Réduisons au même dénominateur les fractions : $\dfrac{3}{27} ; \dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{7}{9}$
On remarque que $27$ est un multiple de $3$ et $9$, donc le dénominateur commun c’est $27$. $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\frac{3}{27}=\frac{3 \times 1}{27 \times 1}=\frac{3}{27}\\
&\bullet\,\,\frac{1}{3}=\frac{1 \times 9}{3 \times 9}=\frac{9}{27}\\
&\bullet\,\,\frac{7}{9}=\frac{7 \times 3}{9 \times 3}=\frac{21}{27}\end{aligned}$$
Comparaison de deux nombres en écriture fractionnaire
Ayant le même dénominateur
Règle : Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
Autrement dit : Si $a>c$, alors $\dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{b}$; Si $a<c$, alors $\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{b}$
Exemples :
- On a : $\dfrac{15}{13}<\dfrac{19}{13}$, car $15<19$
- On a : $\dfrac{11}{7}>\dfrac{6}{7}$, car $11>6$
Ayant le même numérateur.
Règle : Si deux fractions ont le même numérateur, alors le plus petit est celle qui a le plus grand dénominateur.
Autrement dit : $$\begin{aligned}
\bullet\,\,\text{ Si } b>c, \text{ alors } \dfrac{a}{b}<\dfrac{a}{c}\\
\bullet\,\,\text{ Si } b<c, \text{ alors } \dfrac{a}{b}>\dfrac{a}{c}
\end{aligned}$$
\bullet\,\,\text{ Si } b>c, \text{ alors } \dfrac{a}{b}<\dfrac{a}{c}\\
\bullet\,\,\text{ Si } b<c, \text{ alors } \dfrac{a}{b}>\dfrac{a}{c}
\end{aligned}$$
Exemples :
- On a : $\dfrac{13}{11}<\dfrac{13}{5}$ car $11>5$
- On a : $\dfrac{9}{17}>\dfrac{9}{38}$ car $\quad 17<38$
Un dénominateur est multiple de l’autre
Règle : On écrite les nombres avec le même dénominateur.
Exemples :
Comparons les nombres $\dfrac{5}{4}$ et $\dfrac{13}{12}$
On a $12$ est multiple de $4$ et $\dfrac{5}{4}=\dfrac{5 \times 3}{4 \times 3}=\dfrac{15}{12}$.
On compare alors $\dfrac{15}{12}$ et $\dfrac{13}{12}$. On a $13<15$ donc $\dfrac{13}{12}<\dfrac{15}{12}$
C’est-à-dire $\dfrac{13}{12}<\dfrac{5}{4}$
Comparaison d’un nombre en écriture fractionnaire et 1 .
Règle : $a$ et $b$ sont deux nombres entiers tel que $b \neq 0$.
- Si $a<b$ alors $\dfrac{a}{b}<1$.
- Si $a>b$ alors $\dfrac{a}{b}>1$.
Exemples :
- On a $\dfrac{17}{9}>1$, car $17>9$
- On a $\dfrac{8}{21}<1$, car $8<21$
Enoncé
Déterminer en extension les ensembles suivants :
\[\begin{aligned}
\textbf{1.}\,\,\,A &=\left\{{x \in\mathbb{Z} /\,\,\,\frac{{{x^2} -x + 2}}{{2x + 1}} \in\mathbb{Z} } \right\}\\
\textbf{2.}\,\,\,B &=\left\{ (x,y)\in\mathbb{Z}^2 /\,\,\, x^2+xy-2y^2=-5\right\}\\
\textbf{3.}\,\,\,C &=\left\{ x\in\mathbb{Z} /\,\,\, \left| {\frac{{\left| {3x} \right| -4}}{2}} \right| < 1 \right\}
\end{aligned}\]
Déterminer en extension les ensembles suivants :
\[\begin{aligned}
\textbf{1.}\,\,\,A &=\left\{{x \in\mathbb{Z} /\,\,\,\frac{{{x^2} -x + 2}}{{2x + 1}} \in\mathbb{Z} } \right\}\\
\textbf{2.}\,\,\,B &=\left\{ (x,y)\in\mathbb{Z}^2 /\,\,\, x^2+xy-2y^2=-5\right\}\\
\textbf{3.}\,\,\,C &=\left\{ x\in\mathbb{Z} /\,\,\, \left| {\frac{{\left| {3x} \right| -4}}{2}} \right| < 1 \right\}
\end{aligned}\]
Enoncé
Étant données $A$, $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$, montrer que :
Étant données $A$, $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$, montrer que :
- $A\Delta B= A\Delta C \Longleftrightarrow B = C$
- $A\backslash B = A \Longleftrightarrow B\backslash A = B$
- $A\Delta B = A\cap B \Longleftrightarrow A = B =\emptyset.$