Limite d’une fonction en un point

Activité:

Calculer les limites suivantes :
\[
\begin{align*}
\bullet & \quad \lim_{x \to -1} x^3 -x + 2 &\quad\bullet\quad & \lim_{x \to 2} \frac{x^2 -3x + 2}{\sqrt{x} -\sqrt{2}}\\
\bullet & \quad \lim_{x \to 1} \frac{3x \sin(x^2 -1)}{x^2 -1}&\quad\bullet\quad &\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} -1}{\tan x} \\
\bullet & \quad \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left(x -\frac{\pi}{2}\right) \tan\frac{x}{2}
\end{align*}\]
Déterminez la valeur de $a$ pour que la fonction $f$ admette une limite en $x=1$.
\[\left\{ \begin{align*}
& f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 3x + a}}{{x – 1}} &;& &{x > 1}\\
& f\left( x \right) = x + 1&;& &{x \le 1}
\end{align*} \right.\]

Solution:

Calculons les limites suivantes :
\[\begin{align*}\bullet & \quad \lim_{x \to -1} (x^3 – x + 2) = (-1)^3 -(-1) + 2 = 2. \\
\bullet & \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} -3x + 2}}{{\sqrt x -\sqrt 2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x -1} \right)\left( {x -2} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt 2 } \right)}}{{x -2}} = 2\sqrt 2. \\
\bullet & \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3x\sin \left( {{x^2} -1} \right)}}{{x -1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 3x.\frac{{\sin ({x^2} -1)}}{{{x^2} -1}}.\left( {x + 1} \right) = 3 \times 1 \times 2 = 6. \\
\bullet & \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \left( {x -\frac{\pi }{2}} \right)\tan x = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y\tan \left( {y + \frac{\pi }{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{ -y}}{{\sin y}} \times \cos y = -1. \\
\bullet & \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 1} -1}}{{\tan x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x}}{{\sin x}} \times \frac{x}{{\sqrt {x + 1} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}} \times \frac{{\cos x}}{{\sqrt {x + 1} + 1}} = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.\end{align*}\]
Déterminons la valeur de $a$ pour que la fonction $f$ admette une limite en $x=1.$
On a : $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = \ell,$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x)=2,$ donc $1$ est une racine du polynôme $(x^2-3x+a)$, alors $1-3+a=0$, donc $a=2$.

Définition : Soit $f$ une fonction numérique telle que $(\exists r>0); ]x_0-r;x_0+r[-\{x_0\}\subset D_f$ et $\ell \in \mathbb{R}.$
\[
\lim_{x \to x_0} f(x) =\ell \iff \Big( (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f);\,\, 0<|x – x_0| < \delta \implies |f(x) – \ell| < \varepsilon\Big)
\]

Exemple 1

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=x^3 -x + 2$
Montrons en utilisant la définition que : $\lim_{x \to 1} f(x)=2$
Soit $I=]1-\dfrac{1}{2};1+\dfrac{1}{2}[=]\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}[$. On a pour tout $x\in I : $ \[\left| {f\left( x \right) – 2} \right| = \left| {x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right|\]

\[\begin{array}{l}
\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} \Rightarrow \left| x \right| < \frac{3}{2}\\
\frac{{ – 1}}{2} < x – 1 < \frac{1}{2} \Rightarrow \left| {x – 1} \right| < \frac{1}{2}\\
\Rightarrow \frac{3}{2} < x + 1 < \frac{5}{2} \Rightarrow \left| {x + 1} \right| < \frac{5}{2}\\
\Rightarrow \left| x \right|\left| {x – 1} \right|\left| {x + 1} \right| < \frac{5}{4}\left| {x – 1} \right|
\end{array}\]

Autrement dit : Lorsque $x$ se rapproche de $x_0$, $f(x)$ se rapproche de $\ell$.

Propriété 1 : Si $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(h) = \ell$ et $\displaystyle \lim_{x \to x_0} g(h) =\ell’$, alors :\[\begin{aligned}
\bullet&\quad \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = \ell + \ell’,\\
\bullet&\quad \lim_{x \to x_0} (f(x) \times g(x)) =\ell \times \ell’,\\
\bullet&\quad \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell}{\ell’}\,\text{ avec }\, \ell’\neq 0.\end{aligned}\]

Propriété 2 :\[\begin{aligned}
\bullet&\quad\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin ax}}{{ax}} = 1\\
\bullet&\quad\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}} = \frac{1}{2}\\
\bullet&\quad\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\tan x}} = 1
\end{aligned}\]

Continuité d’une fonction en un point

Activité: Soit $f$ une fonction définie sur un domaine ouvert centré en $x_0$ et $C_f$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,i,j)$.

Dans la figure 1, nous disons que $f$ est non continue en $x_0$.

Dans la figure 2, nous disons que $f$ est continue en $x_0$.

Dans la figure 1, nous avons :\[
\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)\]
Cela implique que $f$ est n’est pas continue en $x_0.$

Dans la figure 2, nous avons :\[
\lim_{x \to x_0^+} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^-} f(x)\]
Cela implique que $f$ est continue en $x_0.$

Définition : Soit $f$ définie sur un domaine ouvert centré en $x_0$, si :\[
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]Alors $f$ est dite continue en $x_0$.

Remarque : Si $f$ est discontinue et présente un saut à $x_0$ (discontinuité), alors il y a une rupture dans la continuité de la fonction, visible sur le graphique.

La continuité à gauche et la continuité à droite

Définition 1 : Soit $f$ une fonction définie sur un domaine de la forme $]x_0 ; x_0 + \alpha[$, où $\alpha > 0$. Si :\[\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)\]Alors, $f$ est dite continue à droite en $x_0$.

Définition 2 : Soit $f$ une fonction définie sur un domaine de la forme $]x_0 – \alpha ; x_0] $, où $\alpha > 0$. Si :\[\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)\]Alors, $f$ est dite continue à gauche en $x_0$.

Définition 3 : Soit $f$ une fonction définie sur un domaine de la forme $]x_0 – \alpha ; x_0 + \alpha[$, où $\alpha > 0$. Si :\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]Alors, $f$ est dite continue sur un intervalle symétrique autour de $x_0$.

Exemple 1

Soit la fonction numérique $f$ définie par :\[\left\{ \begin{align*}
f\left( x \right) &= \frac{{\left| {{x^2} -4} \right|}}{{x -2}} \quad ;\quad x\neq 2\\
f\left( 2 \right) &= 4
\end{align*} \right.\]Étudier la continuité de $f$ à droit et à gauche du point $2$.
Solution : Calcul de la limite :
\[\begin{align*}
&\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {{x^2} -4} \right|}}{{x -2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {x -2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x -2}} = 4 = f\left( 2 \right)\\
&\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^-}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^-}} \frac{{\left| {{x^2} -4} \right|}}{{x -2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^-}} \frac{{ -\left( {x -2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x -2}} = -4
\end{align*}\]Donc $f$ est continue à droit du point $2$, et n’est pas continue à gauche du point $2$.

Puissance d’un nombre relatif

Définition : Soit $a$ un nombre relatif non nul, $n$ un nombre entier supérieur à $1$.
$$a^{n}=\underbrace{a \times a \times \ldots \ldots \times a}_{n \text { facteurs }}$$
$a^n$ se lit « $a$ puissance $n$ » ou « $n$ exposant $n$ »

Si $n=1$, alors $a^1=a$.
Si $n=0$ et $a \neq 0$ alors $a^0=1$.

Remarques :

$a$ est la base de la puissance $a^n$.
$n$ est l’exposant de la puissance $a^n$.
$0^0$ n’existe pas.
$a^2$ se lit aussi $a$ au carré.
$a^3$ se lit aussi $a$ au cube.

Exemples :

$\quad\bullet\quad 3^{4}=\underbrace{3 \times 3 \times 3 \times 3}_{4 \text { fois le nombre } 3}=81$

$\quad\bullet\quad(-2)^3=\underbrace{(-2)\times(-2)\times(-2)}_{3 \text { fois le nombre } -2}=-8$

$\quad\bullet\quad (-7)^1=-7$

$\quad\bullet\quad \left(-9\right)^0=1$

Signe d’une puissance

Propriété : Soit $a$ un nombre relatif, $n$ un nombre entier naturel non nul.

Si $a$ est positif, alors $a^n$ est positif.
Si $a$ est négatif, alors :
1. Si $n$ est pair, alors $a^n$ est positif.
2. Si $n$ est impair, alors $a^n$ est négatif.

Exemples :

La puissance $\left( -12 \right)^{17}$ est négatif, car la base est négatif et l’exposant est impair.
La puissance $\left( -3 \right)^{48}$ est positif, car l’exposant est pair.
La puissance $(17,6)^{21}$ est positif, car la base est positif.

Puissances de 10

Propriétés : Soit $n$ un nombre entier naturel.

${10^n} = 1\underbrace {00………0}_{n\,\,\text{zéros}}$
$10^0=1$ et $10^1=10$

Exemples :

$\quad\bullet\quad$ $10^5=1\underbrace{00000}_{5\text{ zéros}}$

$\quad\bullet\quad$ $10^7=1\underbrace{0000000}_{7\text{ zéros}}$

$\quad\bullet\quad$ $1\underbrace{000000000}_{9\text{ zéros}}=10^9$

$\quad\bullet\quad$ $1\underbrace{0000}_{4\text{ zéros}}=10^4$

$\quad\bullet\quad$ $10^5 =100000$

Opérations sur les puissances

Propriétés : $a$, $b$ deux nombres relatifs non nuls, $n$ et $m$ deux entiers naturels.

$$\begin{aligned}
&\bullet\quad a^n \times a^m = a^{n+m}\\
&\bullet\quad a^n \times b^n = (a \times b )^{n}\\
&\bullet\quad \left( a^n\right)^m=a^{n\times m}\\
&\bullet\quad \dfrac{a^n}{a^m}= a^{n-m}, \text{ avec } (n>m)\\
&\bullet\quad \dfrac{a^n}{b^n}= \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}\end{aligned}$$

Propriétés : $n$ et $m$ deux entiers naturels. $$\begin{aligned}
&\bullet\quad 10^n \times 10^m = 10^{n+m}\\
&\bullet\quad \left( 10^n\right)^m=a^{10\times m}\\
&\bullet\quad \dfrac{10^n}{10^m}= 10^{n-m}
\end{aligned}$$

Exemples :
$$\begin{aligned}
&\bullet\quad 10^9 \times 10^5= 10^{9+5}=10^{14}\\
&\bullet\quad 2^7 \times 5^7= (2 \times 5)^7=10^7\\
&\bullet\quad \left( 10^3\right)^4=10^{3 \times 4} =10^{12}\\
&\bullet\quad \dfrac{10^8}{10^3}=10^{8-3}=10^5\\
&\bullet\quad \dfrac{21^{13}}{7^{13}}=\left(\dfrac{21}{7}\right)^{13}=3^{13}
\end{aligned}$$

Somme des mesures des angles d’un triangle

Propriété : La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à $180^\circ.$

Exemple : Soit $ABC$ un triangle :

$$\widehat {ABC}+\widehat {BCA}+\widehat {CAB}=180^\circ.$$

Triangles particuliers

Triangle rectangle

Définition : Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.

Propriétés :

Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires.
Si un triangle a deux angles complémentaires, alors il est rectangle.

Triangle isocèle

Définition : Un triangle est isocèle s’il a deux cotés de même longueur.

Propriétés :

Si un triangle est isocèle, alors les deux angles à la base ont la même mesure.
Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.

Triangle équilatéral

Définition : Un triangle est équilatéral si les trois cotés sont de même longueur.

Propriétés :

Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure $60^\circ$.
Si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral.

Angles

Définition : Un angle est une portion du plan délimité par deux demi-droites de même origine.

L’origine de ses deux demi-droites est le sommet de l’angle.
Ces deux demi-droites sont les côtés de l’angle.

Exemple :

L’angle noir est noté $\widehat {AOB}$.
$O$ est le sommet de l’angle $\widehat {AOB}$.
Les demi-droites $[OA)$ et $[OB)$ sont les cotés de l’angle $\widehat {AOB}$.

Remarques :

Pour mesurer un angle on utilise le rapporteur.
L’unité de mesure des angles est le degré.

Angles particuliers

Angle nul

La mesure d’un angle nul est égale à $0^\circ$.
Les cotes d’un angle nul sont confondues.

Angle aigu

La mesure de l’angle aigu est comprise entre $0^\circ$ et $90^\circ$.

Angle droit

La mesure d’un angle droit est égale à $90^\circ$.

Angle obtus

La mesure de l’angle obtus est comprise entre $90^\circ$ et $180^\circ$.

Angle plat

La mesure d’un angle plat est égale à $180^\circ.$

Angle plein

La mesure d’un angle plein est égale à $360^\circ.$

Relation entre deux angles

Angles adjacents

Définition : Deux angles adjacents sont deux angles qui :

ont le même sommet;
ont un côté commun;
sont situés de part et d’autre de ce côté commun.

Angles opposés par le sommet

Définition :

Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont le même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.
Deux angles opposés par le sommet sont égaux.

Angles complémentaires

Définition : Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à $90^\circ$.

Angles supplémentaires

Définition : Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à $180^\circ$.

Droite

Propriété :

Par deux points distincts $A$ et $B$, passe une et une seule droite, on la note: $(A B)$ ou $(B A)$.
Si $M$ est un point de la droite $(A B)$, alors on note $M \in(A B)$ et se lit: $M$ appartient à la droite $(A B)$.

Remarques :

Une droite est illimitée des deux côtés.
Par un point, passe une infinité de droites.
Tous les points qui appartiennent à la même droite, sont des points alignés.

Les points $A, B, C$ et $E$ sont alignés.

Demi-droite

Définition : Soit $(D)$ une droite. $A, B$ et $C$ sont des points de la droite $(D)$.

La partie de la droite $(D)$ coloriée en rouge, limitée par le point $A$, et passant par le point $B$ est appelée: La demi-droite d’origine $A$, et qui passe par le point $B$. On la note: $[A B)$
La partie de la droite $(D)$ coloriée en vert est la demi-droite $[A C)$

Segment-Milieu d’un segment

Définition : Soit $(D)$ une droite passant par les points $A$ et $B$.

Le segment d’extrémités $A$ et $B$ noté $[A B]$ ou $[B A]$ est la partie coloriée en bleu. ( $A$ et $B$ font parties du segment)

Définition : Le milieu d’un segment est le point de ce segment, qui se situe à la même distance des deux extrémités du segment.

Autrement dit: $M$ milieu de $[A B]$ signifie que : $M$ appartient à $[A B]$ et $M A=M B$

Positions relatives de deux droites

Droites sécantes

Définition :

Deux droites $(D)$ et $(\Delta)$ qui se coupent en un seul point, sont appelées droites sécantes.
On dit aussi que les droites $(D)$ et $(\Delta)$ sont sécantes en $A$

Droites parallèles

Définition : Deux droites $(D)$ et $(\Delta)$ qui ne se coupent pas, sont appelées droites parallèles et on note: $(D) / /(\Delta)$

Remarque : Deux droites confondues sont aussi parallèles.

Droites perpendiculaires

Définition : Deux droites $(D)$ et $(\Delta)$ sont perpendiculaires, et on note $(\Delta) \perp(D)$ si elles sont sécantes et forment quatre angles droits.

Définition : Soit $(D)$ et $(\Delta)$ deux droites perpendiculaires en $H$; et soit $M$ un point de la droite $(D)$.

Projection orthogonale du point A sur une droite.

Le point $H$ est appelé le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite ($\Delta$)
La longueur $M H$ est appelée la distance du point $M$ à la droite ($\Delta$)

Propriétés :

Propriétés :

Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à lune est perpendiculaire à l’autre.
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre,
Si deux droites sont perpendiculaires, alors toute droite perpendiculaire à lune est parallèle à l’autre.
Si deux droites sont perpendiculaires, alors toute droite parallèle à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Exemple : Dans la figure ci-dessous, on a : $(D)\perp (AB)$ et $(\Delta)\perp (AB)$, donc : $(D)\parallel (\Delta)$

Addition et soustraction

Avec même dénominateur

Règle 1 : Pour calculer la somme (ou la différence) de deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur :

On additionne (ou on soustrait) les numérateurs.
On conserve le dénominateur commun.

Autrement dit : Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres décimaux, où $(b\neq0)$.
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b} ~~~~et ~~~~
\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{b}=\dfrac{a-c}{b} ~~~~(avec~ a>c)
$$

Exemples : $$\begin{aligned}&\bullet\,\,\, \dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{1+3}{5}=\dfrac{4}{5}\\
&\bullet\,\,\,\dfrac{5,8}{2,5}-\dfrac{3}{2,5}=\dfrac{5,8-3}{2,5}=\dfrac{2,8}{2,5}=\dfrac{28}{25}\end{aligned}$$

Avec des dénominateurs différents

Règle 2 : Pour calculer la somme (ou la différence) de deux nombres en écriture fractionnaire qui ont des dénominateurs différents :

On commence par les écrire avec le même dénominateur.
On additionne (ou on soustrait) les numérateurs en conservant le dénominateur commun.

Exemples : $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\,\frac{7}{5} + \frac{4}{3} = \frac{{21}}{{15}} + \frac{{20}}{{15}} = \frac{{21 + 20}}{{15}} = \frac{{41}}{{15}}\\
&\bullet\,\,\,\frac{{14}}{{18}} – \frac{{10}}{{15}} = \frac{7}{9} – \frac{2}{3} = \frac{7}{9} – \frac{6}{9} = \frac{{7 – 6}}{9} = \frac{1}{9}\\
&\bullet\,\,\,\frac{{2,8}}{6} – \frac{{0,4}}{{2,4}} = \frac{{28}}{{60}} – \frac{4}{{24}} = \frac{{14}}{{30}} – \frac{1}{6} = \frac{{14}}{{30}} – \frac{5}{{30}} = \frac{9}{{30}} = \frac{3}{{10}}
\end{aligned}$$

Remarque 1 : Il faut toujours penser aux simplifications des fractions avant d’effectuer leur somme ou leur différence.

Multiplication et division

Règle 3 : Pour calculer le produit de deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateur entre eux.

Autrement dit : Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres décimaux, avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$ : $$\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$$

Remarque 2 : $a\times \dfrac{c}{b}=\dfrac{a\times c}{b}$. En effet : $a\times \dfrac{c}{b}=\dfrac{a}{1}\times\dfrac{c}{b}$

Exemples : $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\, \frac{5}{7} \times \frac{3}{2}\; = \frac{{5 \times 3}}{{7 \times 2}} = \frac{{15}}{{14}}\\
&\bullet\,\,\, \frac{{11}}{2} \times \frac{3}{2}\; = \frac{{11 \times 3}}{{2 \times 2}} = \frac{{33}}{4}\\
&\bullet\,\,\, 7 \times \frac{2}{3} = \frac{{7 \times 2}}{3}\; = \frac{{14}}{3}\\
&\bullet\,\,\,\frac{5}{7} \times 2,6 = \frac{{5 \times 2,6}}{7} = \frac{{13}}{7}\end{aligned}$$

Règle 4 : Pour faire la division d’un nombre en écriture fractionnaire par un
nombre en écriture fractionnaire non nul, on multiplie le premier nombre par l’inverse du deuxième

Autrement dit : Soit $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ deux nombres en écriture fractionnaire non nuls. $$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}=\dfrac{a\times d}{b\times c}$$

Exemples :
\[\begin{aligned}
&\bullet\,\,\,\frac{3}{5} \div 7 = \frac{3}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{3}{{35}}\\
&\bullet\,\,\,\frac{7}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{7} \times \frac{3}{2} = \frac{{15}}{{14}}\\
&\bullet\,\,\,\frac{2}{7} \div \frac{5}{3} = \frac{2}{7} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{{35}}
\end{aligned}\]

Règles de priorité :

Règle 5 : Les règles de priorité des calculs s’appliquent au calculs avec des nombres écrits sous forme fractionnaire.

Les calculs entre parenthèses sont effectuées en premier.
En l’absence de parenthèses, la multiplication et la division sont effectuées avant l’addition et la soustraction.

Exemples :
\[\begin{aligned}
&\bullet\,\,\,A = \frac{2}{3} \times \left( {\frac{7}{6} + \frac{5}{{12}}} \right) = \frac{2}{3} \times \left( {\frac{{14}}{{12}} + \frac{5}{{12}}} \right) = \frac{2}{3} \times \frac{{19}}{{12}} = \frac{{38}}{{36}} = \frac{{19}}{{18}}\\
&\bullet\,\,\,B = \frac{3}{5} – \frac{1}{5} \times \frac{7}{3} = \frac{3}{5} – \frac{7}{{15}} = \frac{9}{{15}} – \frac{7}{{15}} = \frac{2}{{15}}
\end{aligned}\]

Chapitre 2

Sens de l’écriture fractionnaire

Définition : Soient $a$ et $b$ deux nombres, avec $b \neq 0$
Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$ donne $a$.
Ce quotient se note $a \div b$ ou en écriture fractionnaire $\dfrac{a}{b}$

Exemples : $$\begin{aligned}
&\bullet\quad\dfrac{22}{4}=22 \div 4=5,5 & \text { car } &\quad 5,5 \times 4=22 \\
&\bullet\quad\dfrac{3,5}{7}=3,5 \div 7=0,5 & \text { car } &\quad 0,5 \times 7=3,5
\end{aligned}$$

Multiple et diviseurs

Exemple : Comme $\dfrac{48}{6}=48 \div 6=8$, on en déduit que :

$4$ est un multiple de $6$
$48$ est divisible par $6$
$6$ est un diviseur de $48$.

Règle : (Critères de divisibilité)

Un nombre entier est divisible par $2$ si son chiffre des unités est $0,2,4,6$ ou $8$.
Un nombre entier est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
Un nombre entier est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.

Exemples :

Le nombre $104$ est divisible par $2$ car son chiffre des unités est $4$.
Le nombre $2460$ est divisible par $5$ car son chiffre des unités est $0$.
Le nombre $78$ est divisible par $2$ car $7+8=15$ et $15$ divisible par $3$.

Égalité de quotients

Propriété des quotients

Règle : Un quotient ne change pas lorsque l’on multiplie ou l’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

Autrement dit : Si $b \neq 0$ et $k \neq 0$, alors : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a \times k}{b \times k}$ et $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a \div k}{b \div k}$

Exemples : $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\dfrac{1}{2}=\dfrac{1 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{10}\\
&\bullet\,\,\dfrac{12}{8}=\dfrac{12 \div 4}{8 \div 4}=\dfrac{3}{2}\end{aligned}$$

Simplification de fractions

Règle : Simplifier une fraction signifie écrire une fraction qui lui est égale, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits.

Exemples : $$\begin{aligned}
&\bullet\quad \frac{42}{56}=\frac{21 \times 2}{28 \times 2}=\frac{21}{28}=\frac{3 \times 7}{4 \times 7}=\frac{3}{4} \\
&\bullet\quad\frac{75}{50}=\frac{75 \div 25}{50 \div 25}=\frac{3}{2} \\
&\bullet\quad\frac{2,5}{10}=\frac{25}{100}=\frac{25 \div 5}{100 \div 5}=\frac{1}{4}
\end{aligned}$$

Remarque : Lorsque la fraction trouvée n’admet pas de simplification, on dit qu’il s’agit d’une fraction irréductible.
Comme : $\dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{1}{3}$ ; $\dfrac{2}{5}$ ; $\ldots$

Réduire au même dénominateur

Règle : Pour réduire des fractions au même dénominateur on cherche le plus petit multiple commun de leurs dénominateurs.

Exemples :

Réduisons au même dénominateur les fractions : $\dfrac{3}{8}$ et $\dfrac{11}{12}$ $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\dfrac{3}{8}=\dfrac{3 \times 3}{8 \times 3}=\dfrac{9}{24}\\
&\bullet\,\,\dfrac{11}{12}=\dfrac{11 \times 2}{12 \times 2}=\dfrac{22}{24}\end{aligned}$$
Réduisons au même dénominateur les fractions : $\dfrac{7}{8}$ et $\dfrac{13}{4}$ On remarque que $8$ est un multiple de $4$, donc le dénominateur commun c’est $8$. $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\frac{7}{8}=\frac{7 \times 1}{8 \times 1}=\frac{7}{8}\\
&\bullet\,\,\frac{13}{4}=\frac{13 \times 2}{4 \times 2}=\frac{26}{8}\end{aligned}$$
Réduisons au même dénominateur les fractions : $\dfrac{7}{5} ; \dfrac{13}{15}$ et $\dfrac{5}{9}$ $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\frac{7}{5}=\frac{7 \times 9}{5 \times 9}=\frac{63}{45}\\
&\bullet\,\,\frac{13}{15}=\frac{13 \times 3}{15 \times 3}=\frac{39}{45}\\
&\bullet\,\,\frac{5}{9}=\frac{5 \times 5}{9 \times 5}=\frac{25}{45}\end{aligned}$$
Réduisons au même dénominateur les fractions : $\dfrac{3}{27} ; \dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{7}{9}$
On remarque que $27$ est un multiple de $3$ et $9$, donc le dénominateur commun c’est $27$. $$\begin{aligned}
&\bullet\,\,\frac{3}{27}=\frac{3 \times 1}{27 \times 1}=\frac{3}{27}\\
&\bullet\,\,\frac{1}{3}=\frac{1 \times 9}{3 \times 9}=\frac{9}{27}\\
&\bullet\,\,\frac{7}{9}=\frac{7 \times 3}{9 \times 3}=\frac{21}{27}\end{aligned}$$

Comparaison de deux nombres en écriture fractionnaire

Ayant le même dénominateur

Règle : Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Autrement dit : Si $a>c$, alors $\dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{b}$; Si $a<c$, alors $\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{b}$

Exemples :

On a : $\dfrac{15}{13}<\dfrac{19}{13}$, car $15<19$
On a : $\dfrac{11}{7}>\dfrac{6}{7}$, car $11>6$

Ayant le même numérateur.

Règle : Si deux fractions ont le même numérateur, alors le plus petit est celle qui a le plus grand dénominateur.

Autrement dit : $$\begin{aligned}
\bullet\,\,\text{ Si } b>c, \text{ alors } \dfrac{a}{b}<\dfrac{a}{c}\\
\bullet\,\,\text{ Si } b<c, \text{ alors } \dfrac{a}{b}>\dfrac{a}{c}
\end{aligned}$$

Exemples :

On a : $\dfrac{13}{11}<\dfrac{13}{5}$ car $11>5$
On a : $\dfrac{9}{17}>\dfrac{9}{38}$ car $\quad 17<38$

Un dénominateur est multiple de l’autre

Règle : On écrite les nombres avec le même dénominateur.

Exemples :

Comparons les nombres $\dfrac{5}{4}$ et $\dfrac{13}{12}$

On a $12$ est multiple de $4$ et $\dfrac{5}{4}=\dfrac{5 \times 3}{4 \times 3}=\dfrac{15}{12}$.

On compare alors $\dfrac{15}{12}$ et $\dfrac{13}{12}$. On a $13<15$ donc $\dfrac{13}{12}<\dfrac{15}{12}$

C’est-à-dire $\dfrac{13}{12}<\dfrac{5}{4}$

Comparaison d’un nombre en écriture fractionnaire et 1 .

Règle : $a$ et $b$ sont deux nombres entiers tel que $b \neq 0$.

Si $a<b$ alors $\dfrac{a}{b}<1$.
Si $a>b$ alors $\dfrac{a}{b}>1$.

Exemples :

On a $\dfrac{17}{9}>1$, car $17>9$
On a $\dfrac{8}{21}<1$, car $8<21$

Exercice 1 Mathxi math

- Ecriture d'un ensemble [Signaler une erreur]

Enoncé

Déterminer en extension les ensembles suivants :
\[\begin{aligned}
\textbf{1.}\,\,\,A &=\left\{{x \in\mathbb{Z} /\,\,\,\frac{{{x^2} -x + 2}}{{2x + 1}} \in\mathbb{Z} } \right\}\\
\textbf{2.}\,\,\,B &=\left\{ (x,y)\in\mathbb{Z}^2 /\,\,\, x^2+xy-2y^2=-5\right\}\\
\textbf{3.}\,\,\,C &=\left\{ x\in\mathbb{Z} /\,\,\, \left| {\frac{{\left| {3x} \right| -4}}{2}} \right| < 1 \right\}
\end{aligned}\]

Indication math

Corrigé

Exercice 2 Mathxi math

- Opérations sur les ensembles [Signaler une erreur]

Enoncé

Étant données $A$, $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$, montrer que :

$A\Delta B= A\Delta C \Longleftrightarrow B = C$
$A\backslash B = A \Longleftrightarrow B\backslash A = B$
$A\Delta B = A\cap B \Longleftrightarrow A = B =\emptyset.$

Indication math

Corrigé

Chapitre 2

Notions d’ensembles

Un ensemble est une collection d’objets. Les objets qui forment l’ensemble sont appellés les éléments de cet ensemble.

Exemples : $A=\big\{-1;3;5\big\}$ et $B=\big\{a;b;c;d\big\}$ sont des ensembles. $-1$, $3$ et $5$ sont les élements de l’ensemble $A$ et on écrit $3\in A$ (lire $3$ appartient à $A$) et $8\not\in A$ (lire $8$ n’appartient pas à $A$)

Définition : (ensemble vide)
L’ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l’ensemble vide et est noté $\varnothing$.

Définition : (sous ensemble)
On dit qu’un ensemble $A$ est un sous ensemble ou une partie de $E$ si tout élément de $A$ est un élement de $E$, et on note $A\subset E$.

Exemlpe : $A=\{-3;9\}$ est une partie de $E=\{-5;-3;6;9;13\}$

Définition : (Égalité de deux ensemble)
Soit $E$ et $F$ deux ensembles.
On dit que $E$ et $F$ sont égaux lorsqu’ils ont les mêmes éléments et on écrit $E=F$.

Exemlpe : Si $A=\{x\in\mathbb{R}; |x|\le 2\}$ et $B=\big[-2;2\big]$, alors $A=B$

Inclusion

Définition : Soit $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$.
On dit que $A$ est incluse dans $B$ si tout élément de $A$ appartient à $B$, et on écrit $A \subset B$.\[\left[ {A \subset B} \right] \Leftrightarrow \left[ {\left( {\forall x \in E} \right);\,\,x \in A \Rightarrow x \in B} \right]\]On a toujours : $\varnothing \subset A$ et $A \subset A$.

Exemples :

On cosidère l’ensemble : $E=\{-5;-3;0;4;9\}$. On a : $$\{4\} \subset E\quad ; \quad\{-5;0;9\} \subset E\quad ; \quad\{-3;-1;4\}\not\subset E$$
On a : $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\quad ; \quad\left] {0; + \infty } \right[ \subset \mathbb{R}\quad ; \quad\{0;3;7;8\}\subset \mathbb{N}$$

Proposition : Soit $A$, $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$.

$\bullet\quad A = B \Leftrightarrow \left( {A \subset B\,\,\,et\,\,B \subset A} \right)$

$\bullet\quad \left\{ \begin{array}{l}
A \subset B\\
B \subset C
\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,\,A \subset C$

Ensemble des parties d’un ensemble

Définition : Soit $E$ un ensemble.
L’ensemble des parties d’un ensemble $E$ est un ensemble dont les éléments sont les parties de $E$.
Cet ensemble dont les éléments sont les sous-ensembles de $E$ est noté $\mathscr{P}(E)$. $$A \subset E \Longleftrightarrow A \in \mathscr{P}(E).$$

Remarques :

$\varnothing \in E \quad$ (ici $\varnothing$ est un élément)
$\varnothing \subset \mathscr{P}(E)$ (ici $\varnothing$ est un ensemble)
Le nombre de parties d’un ensemble $E$ constitué de $n$ éléments est égal à $2^n$.

Exemples : On cosidère l’ensemble $E=\{x,y,z\}$, dans ce cas, $\mathscr{P}(E)$ est constitué des $2^3=8$ éléments suivants : $$\mathscr{P}(E)=\Big\{\{\varnothing\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\Big\}$$

Complémentaire

Définition : Soit $A$ une partie d’un ensemble $E$.
L’ensemble des éléments de $E$ n’appartenant pas à l’ensemble $A$ est appelé le complémentaire de $A$ dans $E$. on le note $\complement_E^A$ ou $\overline A$.
On a : $$\complement_E^A=\big\{x\in E/ x\not\in A\big\}\quad\text{et}\quad x\in \overline A \Leftrightarrow x\not\in A$$

Exemples :

On a : $\quad\complement_\mathbb{N}^{\{0\}}=\mathbb{N}^*\quad$ ; $\quad\complement_{\mathbb{R}}^{\mathbb{R}^*}=\{0\}\quad$ ; $\quad\complement_{\mathbb{R}}^{[0;2]}=\left] { – \infty ;0} \right[ \cup \left] {2; + \infty } \right[$
On cosidère les deux ensembles : $$E=\big\{e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6\big\}\quad \text{et}\quad A=\big\{e_1,e_2\big\}$$ Dans ce cas, on a : $$\complement_{E}^{A}=\big\{e_3,e_4,e_5,e_6\big\}$$

Proposition : Soit $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$. On a :

$\bullet\quad \overline \varnothing =E\quad$ et $\quad\overline E =\varnothing$

$\bullet\quad \overline{(\overline A)} =A$

$\bullet\quad A \subset B \Leftrightarrow \overline B \subset \overline A$

Intersection

Définition : Soit $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$.
L’intersection des ensembles $A$ et $B$, ontée $A \cap B$, est l’ensemble des éléments de$E$ qui sont dans $A$ et dans $B$. C’est-à-dire :
\[x \in A \cap B \Leftrightarrow \left( {x \in A\,\,\text{ et }\,\,x \in B} \right)\] On a alors : \[A \cap B = \left\{ {x \in E/\,\,x \in A\,\,\text{ et }\,\,x \in B} \right\}\]

Exemples : On considères les ensemble suivantes : $$A=\big\{a,b,c,d\big\}\quad\text{et}\quad B=\big\{a,b,c,e\big\}$$ Dans ce cas, on a : $$A \cap B =\big\{a,b,c\big\}$$

Proposition : Soit $A$, $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$.
$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ A \cap B=B \cap A &\quad\quad\mathbf{2.}\ A \cap E=A\\
\mathbf{3.}\ A \cap \varnothing=\varnothing &\quad\quad\mathbf{4.}\ A \cap A=A\\
\mathbf{5.}\ A \cap \bar{A}=\varnothing &\quad\quad\mathbf{6.}\ A \cap B \subset A\\
\mathbf{7.}\ A \cap B \subset B &\quad\quad\mathbf{8.}\ A \cap B=A \Leftrightarrow A \subset B\\
\mathbf{9.}\ A \cap (B \cap C)=(A\cap B)\cap C &\quad\quad\\
\end{array}$$

Réunion

Définition : Soit $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$.
La réunion des ensembles $A$ et $B$, ontée $A \cup B$, est l’ensemble des éléments de $E$ qui sont dans $A$ ou dans $B$. C’est-à-dire :
\[x \in A \cup B \Leftrightarrow \left( {x \in A\,\,\text{ ou }\,\,x \in B} \right)\] On a alors : \[A \cup B = \left\{ {x \in E/\,\,x \in A\,\,\text{ ou }\,\,x \in B} \right\}\]

Exemples : On considères les ensemble suivantes : $$A=\big\{a,b,c,d\big\}\quad\text{et}\quad B=\big\{a,b,c,e\big\}$$ Dans ce cas, on a : $$A \cup B =\big\{a,b,c,d,e\big\}$$

Proposition : Soit $A$, $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$.
$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ A \cup B=B \cup A &\quad\quad\mathbf{2.}\ A \cup E=E\\
\mathbf{3.}\ A \cup \varnothing=A &\quad\quad\mathbf{4.}\ A \cup A=A\\
\mathbf{5.}\ A \cup \bar{A}=E &\quad\quad\mathbf{6.}\ A \subset A \cup B\\
\mathbf{7.}\ B \subset A \cup B &\quad\quad\mathbf{8.}\ A \cup B=A \Leftrightarrow B\subset A\\
\mathbf{9.}\ A \cup (B \cup C)=(A\cup B)\cup C &\quad\quad
\end{array}$$

Proposition : Soit $A$, $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$. \[\begin{aligned}
&\bullet\quad A \cup \left( {B \cap C} \right) = \left( {A \cup B} \right) \cap \left( {A \cap C} \right)\\
&\bullet\quad A \cap \left( {B \cup C} \right) = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap C} \right)
\end{aligned}\]

Lois de Morgan : Soit $A$, $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$. \[\begin{aligned}
&\bullet\quad\overline {B \cap C} = \overline A \cup \overline B \\
&\bullet\quad\overline {B \cup C} = \overline A \cap \overline B
\end{aligned}\]

Différence de deux ensembles

Définition : Soit $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$.
La différence des ensembles $A$ et $B$, ontée $A\backslash B$, est l’ensemble des éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$. C’est-à-dire :
\[x \in A \backslash B \Leftrightarrow \left( {x \in A\,\,\text{ et }\,\,x \not\in B} \right)\] On a alors : \[A \backslash B = \left\{ {x \in E/\,\,x \in A\,\,\text{ et }\,\,x \not\in B} \right\}\]

Exemples : On considères les ensemble suivantes : $$A=\big\{a,b,c,d,e,f\big\}\quad\text{et}\quad B=\big\{e,f,g,h\big\}$$ Dans ce cas, on a : $$A \backslash B =\big\{a,b,c,d\big\}$$

Proposition : Soit $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$. \[\begin{aligned}
&\bullet\quad A\backslash B = A \cap \overline B \\
&\bullet\quad A = \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {A \cap B} \right)
\end{aligned}\]

Produit cartésien

Définition : Soit $E$ et $F$ deux ensembles.
Le produit cartésien des ensembles $E$ et $F$, ontée $E\times F$, est l’ensemble des couple $(x,y)$ tels que $x\in E$ et $y\in F$. C’est-à-dire :
\[(x,y) \in E\times F \Leftrightarrow \big( {x \in E\,\,\text{ et }\,\,y \in F} \big)\] On a alors : \[E\times F = \left\{ {(x,y) /\,\,x \in E\,\,\text{ et }\,\,y \in F} \right\}\]

Exemples : On considères les ensemble suivantes : $$E=\big\{a,b,c\big\}\quad\text{et}\quad F=\big\{x,y\big\}$$ Dans ce cas, on a : \[\begin{aligned}
&E \times F = \left\{ {\left( {a,x} \right),\left( {a,y} \right),\left( {b,x} \right),\left( {b,y} \right),\left( {c,x} \right),\left( {c,y} \right)} \right\}\\
&F \times E = \left\{ {\left( {x,a} \right),\left( {x,b} \right),\left( {x,c} \right),\left( {y,a} \right),\left( {y,b} \right),\left( {y,c} \right)} \right\}\\
&{E^2} = \left\{ {\left( {a,a} \right),\left( {a,b} \right),\left( {a,c} \right),\left( {b,a} \right),\left( {b,b} \right),\left( {b,c} \right),\left( {c,a} \right),\left( {c,b} \right),\left( {c,c} \right)} \right\}\\
&{F^2} = \left\{ {\left( {x,x} \right),\left( {x,y} \right),\left( {y,x} \right),\left( {y,y} \right)} \right\}
\end{aligned}\] À partir des exemples, il est clair que $E\times F \neq F\times E$.

La différence symétrique de deux ensembles

Définition : La différence symétrique de deux ensembles $A$ et $B$, notée $A\Delta B$, est l’ensemble des éléments qui appartiennent soit à $A$ soit à $B$, mais pas aux deux à la fois.
Autrement dit, elle représente les éléments qui sont dans l’un des ensembles mais pas dans leur intersection.

Formellement :$$A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$$

Cela peut également être exprimé de la manière suivante :

$$A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$$

Exemple : Si $A = \{1, 2, 3\}$ et $B = \{3, 4, 5\}$, alors :$$A \Delta B = \{1, 2, 4, 5\}$$

Les éléments communs (ici $3$) sont exclus.

Chapitre 1

Proposition

Définition : Une proposition mathématique est tout énoncé mathématique qui porte un sens vrai ou faux. On peut représenter les propositions par les lettres $P$, $Q$, $R$, etc.

Si la proposition $P$ est vraie, on le note par $V$ ou $1$.
Si la proposition $P$ est fausse, on la note par $F$ ou $0$.

Exemple :

$P$ : «$-2\in\mathbb{N}$» est une proposition fausse.
$Q$ : «$\frac{5}{3}>0$» est une proposition vraie.
$R$ : «$14$ est divisible par $6$» est une proposition fausse.

Fonction propositionnelle

Définition : Une fonction propositionnelle est une expression mathématique contenant une ou plusieurs variables qui devient une proposition lorsque les variables sont remplacées par des valeurs spécifiques.

Exemple :

$P(x)$ : « $x$ est un nombre pair ». Lorsque $x = 4$, $P(4)$ devient une proposition vraie.

Quantificateurs

Définition : Les quantificateurs sont des symboles utilisés pour indiquer la portée des variables dans une fonction propositionnelle. Les deux principaux quantificateurs sont :

Quantificateur universel ($\forall$) : Indique que la proposition est vraie pour tous les éléments d’un ensemble donné.
Quantificateur existentiel ($\exists$) : Indique qu’il existe au moins un élément dans l’ensemble pour lequel la proposition est vraie.
Quantificateur existentiel unique ($\exists!$) : Indique qu’il existe un et un seul élément dans l’ensemble pour lequel la proposition est vraie.

Exemples :

$(\forall x \in \mathbb{N}), x + 0 = x$ (vrai pour tous les nombres naturels $x$).
$(\exists x \in \mathbb{Z}), x^2 = 4$ (il existe un entier $x$ tel que $x^2 = 4$, par exemple $x = 2$).
$(\exists ! x\in\mathbb{N}), x+5=8$. Cet énoncé signifie qu’il existe un et un seul nombre naturel $x$ tel que $x+5=8$. En effet, la seule solution dans les nombres naturels est $x=3$, donc l’énoncé est vrai.

Négation d’une proposition

Définition : La négation d’une proposition $P$ est une nouvelle proposition qui est vraie lorsque $P$ est fausse et fausse lorsque $P$ est vraie. On note la négation de $P$ par $\neg P$ ou $\overline P$.

Table de vérité de $\overline P$
$\,\, P \,\,$	$\,\,\overline P\,\,$
$F$	$V$
$V$	$F$

Exemple :

La proposition $P$ : «$2$ est un nombre pair» (proposition vraie).
La négation $\overline P$ : «$2$ n’est pas un nombre pair» (proposition fausse).

Proposition : Soit $P(x)$ une fonction proportionnelle d’une variable $x$ d’un ensemble non vide $E$.

La négation de la proposition $«(\forall x\in E); P(x)»$ est la proposition $«(\exists x\in E); \overline{P(x)}».$
La négation de la proposition $«(\exists x\in E); P(x)»$ est la proposition $«(\forall x\in E); \overline{P(x)}».$

Exemples :

Proposition : $\forall x \in \mathbb{N}, x \geq 0$.
Négation : $\exists x \in \mathbb{N}, x < 0$ (Il existe un $x$ dans les naturels tel que $x$ est inférieur à 0).

Conjonction de deux propositions

Définition : La conjonction de deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est vraie si et seulement si $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies. On note la conjonction par $P \land Q$.

Table de vérité de $P \land Q$
$P$	$Q$	$P$ et $Q$
$F$	$F$	$F$
$F$	$V$	$F$
$V$	$F$	$F$
$V$	$V$	$V$

Exemple :

$P$ : « $2$ est un nombre pair » (vraie).
$Q$ : « $3$ est un nombre impair » (vraie).
$P \land Q$ : « $2$ est un nombre pair et 3 est un nombre impair » (vraie).

Disjonction de deux propositions

Définition : La disjonction de deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est vraie si au moins une des deux propositions est vraie. On note la disjonction par $P \lor Q$.

Table de vérité de $P \lor Q$
$P$	$Q$	$P$ ou $Q$
$F$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$
$V$	$F$	$V$
$V$	$V$	$V$

Exemple :

$P$ : « 2 est un nombre impair » (fausse).
$Q$ : « 3 est un nombre impair » (vraie).
$P \lor Q$ : « 2 est un nombre impair ou 3 est un nombre impair » (vraie).

Implication de deux propositions

Définition : L’implication entre deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est fausse uniquement si $P$ est vraie et $Q$ est fausse. On note l’implication par $P \Rightarrow Q$.

Table de vérité de $P \Rightarrow Q$
$P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$
$F$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$
$V$	$F$	$V$
$V$	$V$	$V$

Exemple :

$P$ : « 4 est un nombre pair » (vraie).
$Q$ : « 4 est un multiple de 2 » (vraie).
$P \Rightarrow Q$ : « Si 4 est un nombre pair, alors 4 est un multiple de 2 » (vraie).

Équivalence de deux propositions

Définition : L’équivalence entre deux propositions $P$ et $Q$ est une nouvelle proposition qui est vraie si et seulement si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité. On note l’équivalence par $P \Leftrightarrow Q$.

Table de vérité de $P \Leftrightarrow Q$
$P$	$Q$	$P\Leftrightarrow Q$
$F$	$F$	$V$
$F$	$V$	$F$
$V$	$F$	$F$
$V$	$V$	$V$

Exemple :

$P$ : « 5 est un nombre premier » (vraie).
$Q$ : « 5 n’a que deux diviseurs distincts » (vraie).
$P \Leftrightarrow Q$ : « 5 est un nombre premier si et seulement si 5 n’a que deux diviseurs distincts » (vraie).

Lois logiques et raisonnements

Loi logique ou tautologie

Exemple : Les propositions suivantes sont des lois logiques :

$P$ et $(Q$ ou $R) \Leftrightarrow (P$ et $Q)$ ou $(P$ et $R)$
$P$ ou $(Q$ et $R) \Leftrightarrow (P$ ou $Q)$ et $(P$ ou $R)$

Loi de Morgan

Proposition : Soit $P$ et $Q$ deux propositions. Les deux propositions suivantes sont des lois logiques:

$\overline{ (P \text{ et } Q)} \Leftrightarrow \overline{P} \text{ ou } \overline{Q}$
$\overline{(P \text{ ou } Q)} \Leftrightarrow \overline{P} \text{ et } \overline{Q}$

Implication

Proposition : Soit $P$ et $Q$ deux propositions :

$(P \Rightarrow Q )\Leftrightarrow (\overline{P} \text{ ou } Q)$

Raisonnement par contraposée

Proposition : Soit $P$ et $Q$ deux propositions.

$(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\overline{Q}\Rightarrow \overline{P})$

Exemple :

Soit $x$ et $y$ deux nombres réels dans $]1;+\infty[$. Montrons que : $$x\neq y\Rightarrow x^2-2x\neq y^2-2y$$
Il suffit d’utiliser le raisennement par contraposé en montrant que : $$x^2-2x = y^2-2y \Rightarrow x=y$$

On a :
\[\begin{aligned}
{x^2}- 2x = {y^2}- 2y &\Rightarrow {x^2}- {y^2}- 2\left( {x{\rm{\;}}- y} \right) = 0\\
&\Rightarrow \left( {x- y} \right)\left( {x + y} \right)- 2\left( {x- y} \right) = 0\\
&\Rightarrow \left( {x- y} \right)\left( {x + y- 2} \right) = 0\\
&\Rightarrow x- y = 0\,\,ou\,\,x + y- 2 = 0\\
&\Rightarrow x = y\,\,ou\,\,x + y = 2
\end{aligned}\]
Puisque $x>1$ et $y>1$, alors $x+y>2$, donc $x+y\neq 2$
Donc : ${x^2}- 2x = {y^2}- 2y \Rightarrow x=y$. Ainsi : $x\neq y\Rightarrow x^2-2x\neq y^2-2y$

Raisonnement par l’absurde

Proposition : Soit $P$ et $Q$ deux propositions. La propositions suivante est une loi logique : \[\left[ {\left( {\overline P \Rightarrow Q} \right)\,\,et\,\,\left( {\overline P \Rightarrow \overline Q } \right)} \right] \Rightarrow P\]

Exemple : Montrons que $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5n + 7} \notin \mathbb{N}$

Raisonnement par l’absurde : On suppose que $\left( {\exists {n_0} \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5n_0 + 7} \in \mathbb{N}$,
donc : $\left( {\exists {N_0} \in \mathbb{N}} \right)$ tel que :
\[\begin{aligned}
\sqrt {5{n_0} + 7} = {N_0}\\
5{n_0} + 7 = N_0^2\\
5\left( {{n_0} + 1} \right) + 2 = N_0^2
\end{aligned}\]

Ainsi, $2$ est le reste de la division euclidienne de $N_0^2$ par $5$, ce qui est impossible car le reste de la division euclidienne d’un entier naturel $n$ par $5$ est $1$ ou $4$. Par conséquent, l’hypothèse est fausse, et donc : \[\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {5n + 7} \notin \mathbb{N}\]

Raisennement par disjonction des cas

Proposition : Soit $P$, $Q$ et $R$ trois propositions.
La proposition suivante est une loi logique : \[\left[ {\left( {P \Rightarrow R} \right)\,\,et\,\,\left( {Q \Rightarrow R} \right)} \right] \Leftrightarrow \left[ {\left( {P\,\,ou\,\,Q} \right) \Rightarrow R} \right]\]

Exemple : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $$(E) : x^2 – 2(1+m)x + 4 = 0,$$ où $m$ est un paramètre réel.

Solution : Calculons le discriminant $\Delta$ de cette équation : \[\Delta = 4{\left( {1 + m} \right)^2} – 16 = 4\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)\]

1ère cas : Si $\Delta <0$, c’est-à-dire $m\in ]-3;1[$, alors l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est: $$S=\varnothing.$$

2ème cas : Si $\Delta =0$, c’est-à-dire $m=1$ ou $m=-3$, alors l’équation $(E)$ admet une seule solution qui est $1+m$, alors l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est : $$S=\{1+m\}.$$

3ème cas : Si $\Delta >0$, c’est-à-dire $m \in \left] { – \infty ; – 3} \right[ \cup \left] {1; + \infty } \right[$, alors l’équation $(E)$ admet deux solutions distinctes données par : $${x_1} = m + 1 – \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)}\,\,\text{ et } \,\, {x_2} = m + 1 + \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)},$$ alors l’ensemble des solutions de l’équation $E$ est : $$S = \left\{ {m + 1 – \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)} \,\,;\,\,m + 1 + \sqrt {\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right)} } \right\}.$$

Raisonnement par récurrence

Proposition : Soit $P(n)$ une proposition qui dépend d’un entier naturel $n$ et $n_0\in\mathbb{N}$.

Si la proposition $P(n_0)$ est vraie et si l’implication «$P\left( n \right) \Rightarrow P\left( {n + 1} \right)$» est vraie pour tout $n\ge n_0$, alors, la proposition $P(n)$ est vraie, pour tout entier $n\ge n_0$.

Exemple : Montrons par récurrence que : $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,{3^n} \ge 1 + 2n$

Pour $n=0$, on a : $3^0\ge 1+2\times 0$
Supposons que : ${3^n} \ge 1 + 2n$ et montrons que : ${3^{n+1}} \ge 1 + 2(n+1)$
On a : \[\begin{aligned}
{3^n} \ge 1 + 2n &\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 3\left( {1 + 2n} \right)\\
&\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 3 + 6n\\
&\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 3 + 2n\,\,\,\,\left( {\text{ car }\,\,6n \ge 2n} \right)\\
&\Rightarrow {3^{n + 1}} \ge 1 + 2\left( {n + 1} \right)
\end{aligned}\]
Finalement $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right),\,\,\,\,\,{3^n} \ge 1 + 2n$